Кандидат физико-математических наук (1965), доктор физико-математических наук (1971). Профессор (1975). Член-корреспондент АН СССР с 26 декабря 1984 года — отделение механики и процессов управления (процессы управления), академик АН СССР с 23 декабря 1987 года — отделение проблем машиностроения, механики и процессов управления (механика и процессы управления). Член отделения математических наук РАН.
С сентября 1991 года возглавил оргкомитет Российской академии наук. Президент Российской академии наук с 17 декабря 1991 года по 29 мая 2013 года. Переизбирался на пост главы РАН в 1996, 2001, 2006 и 2008 годах.
С 1992 года председатель Комиссии по государственным премиям Российской Федерации в области науки и техники. В 1992 году стал председателем межведомственной экспертной комиссии по космосу.
Является председателем Некоммерческого партнёрства «Международное партнёрство распространения научных знаний»[3]. Председатель Научно-редакционного совета Большой Российской энциклопедии[4].
Специалист в области прикладной математики и механики. Основные научные исследования посвящены теории управления, дифференциальным уравнениям и их приложениям.
Создал законченную теорию стабилизации стационарных и периодических динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом.
Разработал теорию дифференциальных игр для динамических систем с запаздывающим аргументом.
Открыл конструктивный локальный принцип управления системами с запаздыванием.
Построил теорию антагонистических позиционных дифференциальных игр для другого класса конфликтно управляемых систем с бесконечномерными пространствами фазовых состояний — систем, описываемых дифференциальными уравнениями с частными производными, в первую очередь параболическими.
Цикл работ посвящён созданию теории устойчивого динамического обращения управляемых систем.
Получил серию результатов в смежных направлениях: им выполнен ряд работ по оптимизации форм, в одной из которых был, в частности, дан ответ на вопрос о существовании оптимума, поставленный Ж.-Л. Лионсом[5].
Научные достижения Осипова реализуются в прикладной тематике, направленной на создание образцов новой техники. Им выполнен цикл исследований по плавности и устойчивости движения транспортных средств специального назначения. Являлся руководителем широкого круга опытно-конструкторских работ, связанных с созданием летательных аппаратов.
В сентябре 2013 года телеканал Рен-ТВ выпустил фильм «Диагностика РАН», посвящённый некоторым фактам коррупции в Российской Академии наук. Большая часть обнародованных фактов касаются использования в коммерческих целях недвижимости, принадлежащей РАН, в интересах лиц, занимающих ключевые должности в руководстве РАН.
В частности было обнаружено, что академику Осипову принадлежит квартира в Москве в элитном жилом комплексе, площадью 462 м²., стоимостью около 215 миллионов рублей, а также загородный дом в посёлке Барвиха Московской области[6].
Задачи динамического восстановления, в сб.: Число и мысль, в. 10, М., 1987
Основы метода динамической регуляризации: учебное пособие / Ю. С. Осипов, Ф. П. Васильев, М. М. Потапов. — М.: Изд-во МГУ, 1999. — 236; 22 см; ISBN 5-211-04085-6
Osipov Yu.S., Kryazhimskii A.V., Inverse problem of ordinary differential equations: dynamical solutions. Gordon and Breach Sci. Publ., 1995: монография.
Избранные труды / Ю. С. Осипов. — М.: Изд-во Московского ун-та, 2009. ISBN 978-5-211-05766-1, 656 с.
Избранные статьи
Линейные дифференциально-разностные игры // Доклады АН СССР. — 1971. — № 4 (соавт. Н. Н. Красовский)
Позиционное управление в параболических системах // Прикл. матем. и механ., т. 41, вып. 2, 1977
К теории дифференциальных игр // ДАН СССР, 1975, т. 223, 6
Пакеты программ: подход к решению задач позиционного управления с неполной информацией. // Успехи математических наук. 2006, 61:4 (370).
Под ред. акад. Ю. С. Осипова
Математические события XX века: сб.ст. / Редкол.: Ю. С. Осипов (пред.) и др. — М.: ФАЗИС, 2003 — англ. пер.: Mathematical events of the twentieth century. Springer, 2005
Орден «За заслуги перед Отечеством» I степени (7 июля 2006 года) — за выдающийся вклад в развитие отечественной науки и многолетнюю добросовестную работу[8].
Орден «За заслуги перед Отечеством» II степени (4 июня 1999 года) — за большой вклад в развитие отечественной науки, подготовку высококвалифицированных кадров и в связи с 275-летием Российской академии наук[9].
Орден «За заслуги перед Отечеством» III степени (7 июня 1996 года) — за заслуги перед государством, большой личный вклад в развитие науки и подготовку высококвалифицированных кадров[10].
Орден «За заслуги перед Отечеством» IV степени (14 июня 2013 года) — за большие заслуги перед государством в области науки и многолетнюю плодотворную деятельность[11].
Орден Александра Невского (22 апреля 2011 года) — за особые личные заслуги перед Отечеством в развитии российской науки и плодотворную научно-организационную деятельность[12].
Орден Почёта (4 июля 2016 года) — за заслуги в развитии российской науки, образования, подготовке квалифицированных специалистов и многолетнюю плодотворную деятельность[13].
Медаль Столыпина П. А. I степени (7 июля 2011 года) — за заслуги в решении стратегических задач развития отечественной науки и многолетнюю плодотворную государственную деятельность[15]
Орден князя Ярослава Мудрого IV степени (Украина, 29 мая 1999 года) — за выдающиеся личные заслуги в развитии науки, укреплении научно-технического сотрудничества между Украиной и Российской Федерацией[21]
Орден «За заслуги» I степени (Украина, 6 июля 2011 года) — за выдающийся личный вклад в укрепление научно-технического сотрудничества между Украиной и Российской Федерацией, многолетнюю плодотворную научную деятельность[22]
Орден «За заслуги» III степени (Украина, 6 декабря 2002 года) — за весомый личный вклад в развитие украинско-российского сотрудничества, активное участие в обеспечении проведения Года Украины в Российской Федерации[23]
Международная премия святых равноапостольных Кирилла и Мефодия — за вклад в укрепление славянского братства и в сотрудничество между славянскими народами