Квадратичная форма

Квадратичная форма — функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора.

Определение

Пусть $L$ есть векторное пространство над полем $K$ и $e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}$ — базис в $L$.

Функция $Q:L\to K$ называется квадратичной формой, если её можно представить в виде

$Q(x)=\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j},$

где $x=x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+\cdots +x_{n}e_{n}$, а $a_{ij}$ — некоторые элементы поля $K$.

Связанные определения и свойства

• Матрицу $A=(a_{ij})$ называют матрицей квадратичной формы $Q(x)$ в данном базисе. В случае, если характеристика поля $K$ не равна 2, можно считать, что матрица квадратичной формы симметрична, то есть $a_{ij}=a_{ji}$. Так, например, квадратичную форму от двух переменных обычно записывают в виде

$Q(x_{1},x_{2})=a_{11}x_{1}^{2}+2a_{12}x_{1}x_{2}+a_{22}x_{2}^{2}$.

• При замене базиса (т.е. невырожденной линейной замене переменных $x_{1},\ldots ,x_{n}$) с матрицей замены $C$ матрица квадратичной формы изменяется по формуле

$A'=C^{T}A\,C,$

где $A'$ — матрица квадратичной формы в новом базисе.

• Из формулы $A'=C^{T}A\,C$ следует, что определитель матрицы квадратичной формы не является её инвариантом (т.е. не сохраняется при замене базиса, в отличие, например, от матрицы линейного отображения), но её ранг — является. Таким образом, определено понятие ранга квадратичной формы.
• Если матрица квадратичной формы имеет полный ранг $n$, то квадратичную форму называют невырожденной, в противном случае — вырожденной.
• Для любой квадратичной формы $Q$ существует единственная симметричная билинейная форма $B$, такая, что $Q(x)=B(x,x)$. Билинейную форму $B$ называют полярной к $Q$, если она может быть вычислена по формуле

$B(x,y)={\frac {1}{2}}\,(Q(x+y)-Q(x)-Q(y)).$

• Матрица квадратичной формы в произвольном базисе совпадает с матрицей полярной ей билинейной формы в том же базисе.

Знакоопределённые и знакопеременные формы

В случае, когда $K=\mathbb {R}$ (поле вещественных чисел), важную роль, в том числе, для различных приложений, играют понятия положительно и отрицательно определённой квадратичной формы.

• Квадратичная форма $Q$ называется положительно (отрицательно) определённой, если для любого $x\neq 0$ выполнено неравенство $Q(x)>0$ $(Q(x)<0)$. Положительно определённые и отрицательно определённые формы называются знакоопределёнными.
• Квадратичная форма $Q(x)$ называется знакопеременной (индефинитной), если она принимает как положительные, так и отрицательные значения.
• Квадратичная форма $Q(x)$ называется положительно (отрицательно) полуопределенной, если $Q(x)\geq 0$ $(Q(x)\leq 0)$ для любого $x\in L$ и существует $x\neq 0$ такой что $Q(x)=\ 0$.

Для решения вопроса о том, является ли данная квадратичная форма положительно (отрицательно) определённой, используется критерий Сильвестра:

• Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы строго положительны.
• Квадратичная форма является отрицательно определенной, тогда и только тогда, когда знаки всех угловых миноров её матрицы чередуются, причем минор порядка 1 отрицателен.

Билинейная форма, полярная положительно определённой квадратичной форме, удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения.

Канонический вид

Вещественный случай

В случае, когда $K=\mathbb {R}$ (поле вещественных чисел), для любой квадратичной формы существует базис, в котором её матрица диагональна, а сама форма имеет канонический вид, то есть содержит только квадраты переменных:

$Q(x)=a_{1}x_{1}^{2}+\cdots +a_{p}x_{p}^{2}-a_{p+1}x_{p+1}^{2}-\cdots -a_{p+q}x_{p+q}^{2},\quad \ 0\leq p,q\leq r,\quad p+q=r,\qquad (*)$

где $r$ — ранг квадратичной формы. . В этом случае коэффициенты $a_{i}$ называются каноническими коэффициентами. В случае невырожденной квадратичной формы $p+q=n$, а в случае вырожденной — $p+q<n$.

Существует также нормальный вид квадратичной формы: $Q_{n}(x)=x_{1}^{2}+\cdots +x_{p}^{2}-x_{p+1}^{2}-\cdots -x_{p+q}^{2},\quad \ 0\leq p,q\leq r,\quad p+q=r,\qquad (*)$.

Для приведения квадратичной формы к каноническому виду обычно используются метод Лагранжа или ортогональные преобразования базиса, причем привести данную квадратичную форму к каноническому виду можно не одним, а многими способами.

Запрос «Закон инерции Сильвестра»^[d] перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

Число $q$ (отрицательных членов) называется индексом инерции данной квадратичной формы, а число $p-q$ (разность между числом положительных и отрицательных членов) называется сигнатурой квадратичной формы. Отметим, что иногда сигнатурой квадратичной формы называют пару $(p,q)$. Числа $p,q,p-q$ являются инвариантами квадратичной формы, то есть не зависят от способа её приведения к каноническому виду (закон инерции Сильвестра).

Комплексный случай

В случае, когда $K=\mathbb {C}$ (поле комплексных чисел), для любой квадратичной формы существует базис, в котором форма имеет канонический вид

$Q(x)=x_{1}^{2}+\cdots +x_{r}^{2},\qquad (**)$

где $r$ — ранг квадратичной формы. Таким образом, в комплексном случае (в отличие от вещественного) квадратичная форма имеет один единственный инвариант — ранг, и все невырожденные формы имеют один и тот же канонический вид (сумма квадратов).

Примеры

• Скалярное произведение векторов $(x,y)$ — симметричная билинейная функция. Соответствующая квадратичная форма $Q(x)=(x,x)$ является положительно определённой, она сопоставляет вектору $x$ квадрат его длины.
• Квадратичная форма $Q(x)=x_{1}x_{2}$ на плоскости (вектор $x$ имеет две координаты: $x_{1}$ и $x_{2}$) является знакопеременной, она приводится к каноническому виду $x_{1}'^{2}-x_{2}'^{2}$ с помощью линейной замены $x_{1}=x_{1}'+x_{2}',\ x_{2}=x_{1}'-x_{2}'$.

См. также

• Теорема Витта
• Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду

Примечания

Литература

• Беклемишев Д. В. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.-М.: Высш. шк. 1998, 320с.
• Гельфанд И. М., Линейная алгебра. Курс лекций.
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
• Конвей Дж. Квадратичные формы, данные нам в ощущениях. — М.: МЦНМО, 2008. — 144 с. — 1000 экз. — [[Служебная:Источники книг/{{{isbn}}}|ISBN {{{isbn}}}]].
• Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1975.
• Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру, М.: Наука, 1977.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.