Эллиптический оператор

Дифференциальный оператор Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle L = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}(\mathbf{x}) \frac{\partial^2}{\partial x_i \partial x_j} + \sum_{k=1}^n b_k(\mathbf{x}) \frac{\partial}{\partial x_k} + c} называется эллиптическим оператором, если квадратичная форма Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}(\mathbf{x}) \xi_i \xi_j } имеет один и тот же знак для всех ${\displaystyle \mathbf {x} }$^[1].

Эллиптические операторы применяются для исследования и решения эллиптических уравнений. Любое эллиптическое уравнение можно записать в виде Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle Lu = f} . Так же свойства операторов используются при построении численных методов для решения уравнений. В некоторых случаях эти результаты обобщаются на параболические и гиперболические уравнения (при дискретизации этих уравнений только по времени, получаются эллиптические уравнения для каждого временного слоя).

• Оператор Лапласа, записывается в виде Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle L = \nabla \cdot \nabla}
• Обобщения оператора Лапласа, оператор вида Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle L = -\nabla \cdot p(\mathbf{x}) \nabla + q(\mathbf{x})} , где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle p(\mathbf{x}) > 0, \ q(\mathbf{x}) \ge 0 } . Собственные значения такого оператора находятся из задачи Штурма-Лиувилля. На множестве функций Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle H_0(\Omega) = \left \{u \in H(\Omega), \Bigl. u \Bigr|_{\partial \Omega} = 0 \right\}} (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle H(\Omega)} пространство Лебега на ${\displaystyle \Omega }$) данный оператор является самосопряжённым и положительно определённым^[2].
• Примером нелинейного эллиптического оператора является оператор Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle Lu = \sum_{i=1}^n \frac{\partial}{\partial x_i}\left( |\nabla u| \frac{\partial u}{\partial x_i}\right)}