Функциональное уравнение

Отдельные функциональные уравнения появлялись задолго до возникновения самого термина. Первым считается уравнение Даламбера f(x+y) + f(x−y) = 2f(x)f(y), встретившееся в исследованиях о форме колеблющейся струны^[4]; к середине XVIII века относятся и функциональные соотношения Эйлера для гамма-функции (формула дополнения, 1764) и для разложений рядов.

Первое систематическое исследование принадлежит Коши: в «Cours d’analyse» (1821) он решил аддитивное и показательное уравнения при условии непрерывности и доказал непрерывность решения, данную в одной точке^[5]. Незадолго до того Н. И. Лобачевский в «Новых началах геометрии» использовал мультипликативный аналог уравнения Йенсена при вычислении углов параллельности в своей геометрии^[6]. В XIX веке теория обогатилась итерационными уравнениями: уравнение Шрёдера (1870)^[7] о линеаризации итераций, его решение — функция Кёнигса (1884)^[8], уравнение Абеля из работ Абеля о непрерывных итерациях рядов и уравнение Бётчера (1904) о сопряжении с возведением в степень^[9].

Современный облик теория приобрела в XX веке. Результаты Й. Йенсена (1905) о выпуклых функциях^[10] и построение Г. Хамелем базиса рациональных чисел на прямой (1905)^[11] наметили две противоположные стороны теории: регулярные и патологические решения. В мемуаре 1859 года Риман придал дзета-функции симметричную форму и тем самым включил функциональное уравнение в арсенал теории чисел^[12]; в 1922 году Бор и Мёллеруп охарактеризовали гамма-функцию условиями регулярности^[13]. Вопрос Улама (1940) и теорема Хайерса (1941) открыли теорию устойчивости^[14][15].

Важной вехой стало основание в 1968 году международного математического журнала Aequationes Mathematicae, инициированное Я. Ацелем и М. Кучмой, который стал главным профильным изданием, посвящённым исключительно функциональным уравнениям и неравенствам. Систематическое изложение теории и её приложений (в том числе к геометрии, теории информации и вероятностям) дал Я. Ацель^[16]; школа М. Кучмы развила теорию итерационных уравнений^[17]; функциональные уравнения на группах систематизированы Х. Стеткером^[18]. Функциональные уравнения — постоянный материал математических олимпиад и сборников задач повышенной сложности.

Помимо уравнений для функций одной переменной, фундаментальное значение имеют уравнения, связывающие значения функций нескольких переменных или определённых на алгебраических структурах^[25]:

• Уравнение ассоциативности: f(f(x, y), z) = f(x, f(y, z)). Является краеугольным камнем теории полугрупп, формальных групп и теории нечётких множеств (где непрерывные ассоциативные функции характеризуются как t-нормы).
• Уравнение Леви-Чивиты: ${\displaystyle f(xy)=\sum _{i=1}^{n}g_{i}(x)h_{i}(y)}$. Его решениями являются так называемые экспоненциальные многочлены; это уравнение естественным образом обобщает аддитивное и мультипликативное уравнения Коши на случай конечной суммы разделимых функций.
• Уравнение деривации: f(xy) = f(x)y + x f(y). Определяет понятие дифференцирования (или деривации) в кольцах и алгебрах; его решениями являются операторы, удовлетворяющие правилу Лейбница.

Уравнения, связывающие значение функции от итерации данной функции h со значением от самого аргумента, составляют теорию итераций^[17]:

• f(h(x)) = f(x) + 1 — уравнение Абеля (итерации переводятся в сдвиг); восходит к работам Н. Абеля о непрерывных итерациях;
• f(h(x)) = cf(x) — уравнение Шрёдера (итерации переводятся в растяжение), предложенное Э. Шрёдером в 1870 году^[7]; его решение при |h′(0)| < 1, h′(0) ≠ 0 — функция Кёнигса — строится в виде ряда по итерациям^[8];
• f(h(x)) = f(x)^c — уравнение Бётчера (например, f(z²) = f(z)² вблизи бесконечности для многочленов z² + c; координата Бётчера — основной инструмент локальной теории множества Мандельброта)^[9];
• f(x + f(x)y) = f(x)f(y) — уравнение Гёлаба — Шинцеля; его регулярные решения — f(x) = 1 + cx; уравнение возникает при погружении дискретных итераций в непрерывные потоки^[26];
• f(f(x)) = x — уравнение Баббаджа (1820), описывающее инволюции. Более общая задача поиска итерационных корней имеет вид fⁿ(x) = g(x), где fⁿ обозначает n-кратную композицию функции f с самой собой.

К итерационным примыкает уравнение Фейгенбаума — уравнение перенормировки g(x) = −(1/α)·g(g(−αx)), определяющее универсальную константу каскада удвоений периода в теории хаоса.

Дзета-функция Римана. Уравнению

${\displaystyle f(s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)\,f(1-s)}$,

где Γ — гамма-функция, удовлетворяет дзета-функция Римана ζ; равенство установлено Б. Риманом в мемуаре 1859 года^[12]. В симметричной форме оно означает инвариантность ξ-функции: ξ(s) = ξ(1 − s), где

${\displaystyle \xi (s)={\tfrac {1}{2}}s(s-1)\pi ^{-s/2}\Gamma \!\left({\tfrac {s}{2}}\right)\zeta (s)}$.

Аналогичные уравнения s ↔ 1 − s (с характерами) выполняются для всех L-функций Дирихле и, в абстрактной форме, для L-функций эллиптических кривых — они составляют аксиоматику Сельберга класса функций, «похожих» на дзета-функцию.

Гамма-функция. Гамма-функция Γ — при естественных условиях регулярности единственное решение следующей системы трёх уравнений^[13]:

${\displaystyle f(x)={f(x+1) \over x}}$ (рекуррентное уравнение),

${\displaystyle f(y)f\left(y+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{2y-1}}}f(2y)}$ (формула удвоения Лежандра),

${\displaystyle f(z)f(1-z)={\pi \over \sin(\pi z)}}$ (формула дополнения Эйлера).

Впрочем, регулярность можно ослабить: по теореме Бора — Мёллерупа Γ — единственная функция с f(1) = 1, удовлетворяющая одному лишь рекуррентному уравнению и логарифмически выпуклая^[13].

Модулярные формы. Уравнение

${\displaystyle f\left({az+b \over cz+d}\right)=(cz+d)^{k}f(z)}$,

где a, b, c, d — целые числа с определителем ad − bc = 1 (матрица из группы SL₂(ℤ)), определяет f как модулярную форму веса k; строго говоря, к уравнению добавляются условия голоморфности на верхней полуплоскости и в «конусе» (ограниченность роста на бесконечности)^[27]. Достаточно проверять уравнение для двух образующих T: z → z + 1 и S: z → −1/z группы SL₂(ℤ); фундаментальная область этого действия изображена на соответствующем чертеже.

Другие классические примеры: тета-функции Якоби (уравнения модулярного преобразования и сдвига), дилогарифм (пятичленное соотношение Спенса — Абеля), полигамма-функции, дзета-функция Гурвица, пи-функция и уравнения Бесселя для функций специального вида.

Частным видом функциональных уравнений является рекуррентное соотношение — уравнение для функции от натурального аргумента, содержащее оператор сдвига^[28].

Линейные рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами

${\displaystyle a(n)=\sum _{i=1}^{k}c_{i}\,a(n-i)}$

(где c_i — константы, не зависящие от n) имеют теорию, аналогичную теории линейных дифференциальных уравнений: достаточно найти k линейно независимых решений, все остальные решения — их линейные комбинации.

Чтобы найти эти решения, надо подставить в соотношение пробную функцию a(n) = λⁿ и определить те λ, при которых соотношение выполняется. Для соотношения

a(n) = 3a(n−1) + 4a(n−2)

получается квадратное уравнение λ² = 3λ + 4 с корнями λ = 4 и λ = −1, поэтому общее решение имеет вид a(n) = d₁4ⁿ + d₂(−1)ⁿ (константы подбираются по начальным данным; например, при a(0) = 3, a(1) = 7 получается a(n) = 2·4ⁿ + (−1)ⁿ). В случае кратных корней характеристического многочлена дополнительными пробными решениями служат функции nλⁿ, n²λⁿ и так далее.

Широко известное рекуррентное соотношение a(n) = a(n−1) + a(n−2) определяет последовательность Фибоначчи; явная формула её членов — формула Бине — получается этим же методом. Общий аппарат работы с рекуррентностями — производящие функции, превращающие рекуррентности в функциональные (алгебраические или дифференциальные) уравнения для рядов.

Общих методов, гарантирующих решение произвольного функционального уравнения, нет; накоплен набор стандартных приёмов^[29][30]:

• Специальные подстановки. Подстановка конкретных значений (x = y = 0; y = −x; y = x; y = 1/x) часто даёт информацию о решении или полностью решает уравнение.
• Инволюции и циклы. Если замена аргумента φ — инволюция (φ(φ(x)) = x), то сопоставление уравнения в точках x и φ(x) образует систему двух уравнений с двумя неизвестными f(x), f(φ(x)). Простейшие инволюции: x → −x, x → 1/x, x → 1 − x. Аналогично работает метод циклов для подстановок третьего и большего порядка.
• Сведение к уравнению Коши. Многие уравнения подходящей заменой сводятся к аддитивному: например, f(x + y) = f(x) + f(y) + xy решается заменой g(x) = f(x) − x²/2.
• Индукция по рациональным аргументам. Для аддитивного уравнения по индукции f(nx) = n f(x) и f(x/n) = f(x)/n, откуда f(x) = x f(1) для всех рациональных x; непрерывность или монотонность распространяет формулу на всю прямую.
• Дифференцирование. Если известно, что решение дифференцируемо (или уравнение позволяет это доказать), дифференцирование по одному из аргументов превращает функциональное уравнение в дифференциальное с начальными условиями.
• Метод итераций и ряды. Для уравнений Шрёдера и Абеля решение ищется в виде предела итераций (функция Кёнигса — ряд по последовательным приближениям).
• Метод мажорант. Исторически использовался Коши и позже в теории уравнений Шрёдера для доказательства аналитичности решений: строится мажорантный степенной ряд, коэффициенты которого доминируют над коэффициентами искомого решения, что гарантирует сходимость.
• Метод неопределённых коэффициентов. Если по внешнему виду уравнения можно предположить общий вид искомой функции (например, многочлен, экспонента или дробно-рациональная функция), её подставляют в уравнение с неизвестными коэффициентами, которые затем находятся путём приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях или структурах.
• Производящие функции для рекуррентных соотношений (см. выше).

Пример (уравнение с единственным нулевым решением). Для решения уравнения

${\displaystyle f(x+y)^{2}=f(x)^{2}+f(y)^{2}}$

для всех x, y ∈ ℝ, f: ℝ → ℝ, положим x = y = 0: f(0)² = 2f(0)², откуда f(0) = 0. Далее, положив y = −x:

${\displaystyle f(x-x)^{2}=f(x)^{2}+f(-x)^{2},\qquad 0=f(x)^{2}+f(-x)^{2}.}$

Квадрат вещественного числа неотрицателен, и сумма неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда оба числа равны 0. Значит, f(x)² = 0 при всех x, и f(x) ≡ 0 — единственное решение.

• Теория чисел. Функциональные уравнения дзета- и L-функций — центральный инструмент аналитической теории чисел: симметрия s ↔ 1 − s доставляет аналитическое продолжение и служит источником информации о распределении простых чисел; уравнения модулярных форм лежат в основе доказательства Великой теоремы Ферма^[27].
• Математический анализ и специальные функции. Характеризации гамма-функции, тета-функций и других специальных функций функциональными уравнениями позволяют заменять вычисление проверкой простых тождеств; рекуррентные соотношения — основной способ задания и вычисления последовательностей (числа Люка, Каталана, многочлены Чебышёва).
• Теория информации. Энтропия характеризуется своей системой функциональных уравнений (аддитивность по независимым событиям и группировка) — классическая аксиоматика Шеннона, строго оформленная А. Я. Хинчиным^[33].
• Динамические системы и итерации. Уравнения Шрёдера, Абеля и Бётчера — рабочий аппарат локальной теории итераций: они дают сжимающие (линеаризующие) координаты возле неподвижных точек, описывают множество Мандельброта вблизи бесконечности и лежат в основе ренормализационного подхода к переходу к хаосу (уравнение Фейгенбаума)^[17].
• Геометрия. Тождество параллелограмма характеризует нормы, порождённые скалярным произведением (теорема Жордана — фон Неймана); уравнения Йенсена и Коши описывают аффинные и выпуклые структуры; функциональные уравнения метрик и определителей порождают теоремы характеризации геометрических инвариантов.
• Динамическое программирование. Уравнение Беллмана V(x) = max_a {R(x,a) + γV(T(x,a))} является ключевым функциональным уравнением в теории управления, экономике и искусственном интеллекте, решаемым методом последовательных приближений (итераций по значению).
• Физика и техника. Аксиоматики энтропии и информации, уравнения ренормгруппы (записываемые как функциональные уравнения масштабной инвариантности), характеризационные теоремы теории вероятностей (формулы для характеристических функций, устойчивые распределения); приближённые функциональные уравнения и их устойчивость применяются при анализе погрешностей численных алгоритмов^[32].
• Образование. Функциональные уравнения — традиционный материал математических олимпиад и кружков: они позволяют определять элементарные функции без техники пределов и приучают к идее перехода от локальных соотношений к глобальным.