Теорема Хана — Банаха

Оба свойства ${\displaystyle p}$ в совокупности (сублинейность) и составляют стандартное предположение теоремы; положительной однородности в отдельности недостаточно. Если же отказаться от положительной однородности, доказательство разрушается уже на шаге продолжения в одном направлении: ключевая оценка ${\displaystyle (a+b),p(\ldots )\leqslant a,p(\ldots )+b,p(\ldots )}$ существенно использует однородность мажоранты^[15].

Неотрицательный функционал ${\displaystyle p}$ на комплексном линейном пространстве ${\displaystyle L}$ называется (в терминологии Колмогорова — Фомина) однородно-выпуклым, если для всех ${\displaystyle x,y\in L}$ и всех комплексных ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle p(x+y)\leqslant p(x)+p(y),\qquad p(\lambda x)=|\lambda |,p(x);}$

такой функционал — в точности полунорма на ${\displaystyle L}$ (неотрицательность следует из ${\displaystyle 0=p(0)\leqslant p(x)+p(-x)=2p(x)}$).

Комплексный случай сводится к вещественному рассмотрением действительной части: ${\displaystyle u=\operatorname {Re} f_{0}}$ — вещественно-линейный функционал с ${\displaystyle u\leqslant p}$, и ${\displaystyle f_{0}}$ восстанавливается по ${\displaystyle u}$ формулой ${\displaystyle f_{0}(x)=u(x)-i,u(ix)}$; продолжив ${\displaystyle u}$ вещественной теоремой и собрав продолжение той же формулой, получают искомый комплексный функционал.

Это — частный случай теоремы Хана — Банаха о продолжении с мажорантой при ${\displaystyle p(x)=\|f\|\cdot \|x\|}$ (положительно однородный субаддитивный функционал). Из этих теорем вытекает много важных следствий.

Замечание. Это наиболее общая форма теоремы о непрерывном продолжении. Доказательство сводится к полунормовому варианту: непрерывность линейного функционала на локально выпуклом пространстве равносильна оценке ${\displaystyle |f(x)|\leqslant p(x)}$ некоторой непрерывной полунормой ${\displaystyle p}$; применяя теорему продолжения с сохранением полунормы, получаем функционал ${\displaystyle \Lambda }$ с ${\displaystyle |\Lambda x|\leqslant p(x)}$ на всём ${\displaystyle X}$, непрерывный в силу непрерывности ${\displaystyle p}$. В нормированном пространстве ${\displaystyle p(x)=|f|\cdot |x|}$, и утверждение совпадает с теоремой о продолжении с сохранением нормы.

Геометрическая форма теоремы Хана — Банаха — теорема о разделении выпуклых множеств гиперплоскостью^[1][22][23]:

Эта форма эквивалентна аналитической (о продолжении функционала) и служит основой выпуклого анализа, математической экономики и теории оптимизации^[1].

В упорядоченных векторных пространствах действует аналог теоремы Хана — Банаха для положительных функционалов (теорема Канторовича):

Достаточным условием мажорируемости является непустота пересечения ${\displaystyle Y}$ с внутренностью конуса ${\displaystyle K}$ (такое подпространство называют фундаментом): если существует ${\displaystyle y_{0}\in Y}$ с ${\displaystyle y_{0}\in \operatorname {int} (K)}$, то для любого ${\displaystyle x\in X}$ найдётся достаточно большое ${\displaystyle t>0}$ такое, что ${\displaystyle ty_{0}-x\in K}$, то есть ${\displaystyle ty_{0}\geqslant x}$, откуда немедленно следует ${\displaystyle Y-K=X}$.

Доказательство разбито на пять шагов: вспомогательное неравенство, выбор константы продолжения, проверка продолжения в одном направлении, трансфинитное завершение по лемме Цорна и вывод следствий.

Шаг 1 (вспомогательное неравенство). Фиксируем произвольный вектор ${\displaystyle z\in X}$ — направление, в котором будем продолжать функционал. Пусть ${\displaystyle y_{1},y_{2}\in Y}$ и ${\displaystyle a,b>0}$. Точка ${\displaystyle {\tfrac {a}{a+b}}y_{1}+{\tfrac {b}{a+b}}y_{2}}$ принадлежит ${\displaystyle Y}$, поэтому линейность ${\displaystyle f}$ и неравенство ${\displaystyle f\leqslant p}$ на ${\displaystyle Y}$ дают:

${\displaystyle f(ay_{1}+by_{2})=(a+b)\,f\left({\frac {a}{a+b}}y_{1}+{\frac {b}{a+b}}y_{2}\right)\leqslant (a+b)\,p\left({\frac {a}{a+b}}y_{1}+{\frac {b}{a+b}}y_{2}\right).}$

Аргумент ${\displaystyle p}$ тождественно равен ${\displaystyle {\frac {a}{a+b}}(y_{1}-bz)+{\frac {b}{a+b}}(y_{2}+az)}$ (слагаемые с ${\displaystyle z}$ взаимно уничтожаются). Применяя субаддитивность и положительную однородность ${\displaystyle p}$, получаем

${\displaystyle (a+b)\,p\left({\frac {a}{a+b}}(y_{1}-bz)+{\frac {b}{a+b}}(y_{2}+az)\right)\leqslant a\,p(y_{1}-bz)+b\,p(y_{2}+az),}$

а после перегруппировки и деления на ${\displaystyle ab>0}$:

${\displaystyle {\frac {f(y_{1})-p(y_{1}-bz)}{b}}\ \leqslant \ {\frac {p(y_{2}+az)-f(y_{2})}{a}}\qquad (1)}$

для всех ${\displaystyle y_{1},y_{2}\in Y}$ и всех ${\displaystyle a,b>0}$. Именно на этом шаге существенно используются оба условия на ${\displaystyle p}$ (сублинейность).

Шаг 2 (выбор константы продолжения). Неравенство (1) означает, что каждое число правой части является верхней гранью левого семейства; следовательно,

${\displaystyle \sup _{b>0,\,y\in Y}{\frac {f(y)-p(y-bz)}{b}}\ \leqslant \ \inf _{a>0,\,y\in Y}{\frac {p(y+az)-f(y)}{a}},}$

и можно выбрать ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ между этими sup и inf. Положим ${\displaystyle {\tilde {f}}(z)=c}$.

Шаг 3 (продолжение в одном направлении).

Если ${\displaystyle z\in Y}$, продолжать нечего; потому считаем ${\displaystyle z\notin Y}$ — тогда каждый ${\displaystyle x\in Y_{z}}$ единственным образом представляется в виде ${\displaystyle y+az}$, и функционал корректно определён. Определим на ${\displaystyle Y_{z}\doteq Y+\mathbb {R} z}$ функционал ${\displaystyle {\tilde {f}}(y+az)\doteq f(y)+ac}$. Мажоранта ${\displaystyle {\tilde {f}}\leqslant p}$ на ${\displaystyle Y_{z}}$ равносильна неравенству

${\displaystyle ac\leqslant p(y+az)-f(y)\qquad (2)}$

при всех ${\displaystyle y\in Y}$ и всех ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$. Разбираем три случая:

• ${\displaystyle a>0}$: (2) — правая половина выбора ${\displaystyle c}$ на шаге 2;
• ${\displaystyle a<0}$: подставляем в (1) значения ${\displaystyle b=-a>0}$ и ${\displaystyle y_{1}=y}$: ${\displaystyle f(y)-p(y+az)\leqslant bc=-ac}$, что и есть (2);
• ${\displaystyle a=0}$: (2) совпадает с исходным ${\displaystyle f(y)\leqslant p(y)}$.

Итак, ${\displaystyle {\tilde {f}}(x)\leqslant p(x)}$ при всех ${\displaystyle x\in Y_{z}}$ — продолжение в направлении ${\displaystyle z}$ построено.

Шаг 4 (максимальное продолжение; лемма Цорна). Пусть ${\displaystyle E}$ — множество пар ${\displaystyle (L,g)}$, где ${\displaystyle L}$ — подпространство ${\displaystyle X}$, содержащее ${\displaystyle Y}$, а ${\displaystyle g:L\to \mathbb {R} }$ — линейное продолжение ${\displaystyle f}$ с ${\displaystyle g\leqslant p}$ на ${\displaystyle L}$. Упорядочим ${\displaystyle E}$ по включению графиков: ${\displaystyle (L_{1},g_{1})\preccurlyeq (L_{2},g_{2})}$, если ${\displaystyle g_{2}}$ продолжает ${\displaystyle g_{1}}$. Это частично упорядоченное множество; любая цепь имеет верхнюю грань — объединение графиков (объединение цепи линейных графиков есть линейный график, и мажоранта сохраняется). По лемме Куратовского — Цорна в ${\displaystyle E}$ существует максимальный элемент ${\displaystyle (L^{*},g^{*})}$.

Осталось заметить, что ${\displaystyle L^{*}=X}$: если ${\displaystyle z\in X\setminus L^{*}}$, то шаг 3, применённый к паре ${\displaystyle (L^{*},g^{*})}$, даёт её нетривиальное продолжение, противоречащее максимальности. Значит, ${\displaystyle g^{*}}$ — искомое продолжение ${\displaystyle f}$ на всё ${\displaystyle X}$ с сохранением мажоранты. Теорема доказана.

Шаг 5 (вывод следствий). Подстановка ${\displaystyle p(x)=\|f\|\cdot \|x\|}$ (сублинейность очевидна) даёт теорему о продолжении с сохранением нормы; применяя её к прямой ${\displaystyle \mathbb {R} x_{0}}$ с функционалом ${\displaystyle f_{0}(tx_{0})=t\|x_{0}\|}$, получаем функционал нормы 1, разделяющий точки. Теорема о разделении выпуклых множеств выводится из нормированного варианта применением к функционалу Минковского выпуклого множества ${\displaystyle A-B}$, а теорема о положительном продолжении повторяет ту же схему шагов 1—4 с порядковой мажорантой^[1][3]; операторное обобщение в K-пространства — теорема Канторовича раздела «Продолжение положительных функционалов»^[12].

Теорема Хана — Банаха — один из фундаментальных инструментов функционального анализа; она обеспечивает нетривиальность двойственного пространства и лежит в основе большинства разделов, где возникают линейные функционалы. Ниже перечислены основные направления.