Рефлексивное пространство

Пусть ${\displaystyle X}$ — банахово пространство над полем ${\displaystyle {\mathbb {C} }}$ комплексных чисел^[1], а ${\displaystyle X^{*}}$ — пространство, сопряжённое к ${\displaystyle X}$, то есть совокупность всех непрерывных линейных функционалов ${\displaystyle f:X\to {\mathbb {C} }}$ с нормой:

${\displaystyle ||f||=\sup _{||x||\leq 1}|f(x)|}$.

Второе сопряжённое пространство ${\displaystyle X^{**}}$ определяется как пространство, сопряжённое к ${\displaystyle X^{*}}$. При фиксированном ${\displaystyle x\in X}$ отображение ${\displaystyle f\in X^{*}\mapsto f(x)\in {\mathbb {C} }}$ является линейным непрерывным функционалом на ${\displaystyle X^{*}}$, то есть элементом пространства ${\displaystyle X^{**}}$. Поэтому определено отображение ${\displaystyle J_{X}:X\to X^{**}}$, ${\displaystyle J_{X}(x)(f)=f(x)}$, ${\displaystyle x\in X}$, ${\displaystyle f\in X^{*}}$. Если оно является изоморфизмом банаховых пространств, то банахово пространство ${\displaystyle X}$ называется рефлексивным. Достаточным условием для этого является сюръективность отображения ${\displaystyle J_{X}:X\to X^{**}}$, то есть условие ${\displaystyle J_{X}(X)=X^{**}}$.

Понятие рефлексивности естественным образом распространяется на локально выпуклые пространства.

Для всякого локально выпуклого пространства ${\displaystyle X}$ обозначим через ${\displaystyle X^{*}}$ пространство линейных непрерывных функционалов на ${\displaystyle X}$, наделённое сильной топологией ${\displaystyle \beta (X',X)}$, то есть топологией равномерной сходимости на ограниченных множествах в ${\displaystyle X}$. Пространство ${\displaystyle X^{*}}$ называется сопряжённым пространством к пространству ${\displaystyle X}$. Как и в банаховом случае второе сопряжённое пространство ${\displaystyle X^{**}}$ определяется как пространство, сопряжённое к ${\displaystyle X^{*}}$. Формула ${\displaystyle J_{X}(x)(f)=f(x)}$, ${\displaystyle x\in X}$, ${\displaystyle f\in X^{*}}$ определяет естественное отображение пространства ${\displaystyle X}$ во второе сопряжённое пространство ${\displaystyle X^{**}}$.

Если отображение ${\displaystyle J_{X}:X\to X^{**}}$ является изоморфизмом локально выпуклых пространств, то пространство ${\displaystyle X}$ называется рефлексивным локально выпуклым пространством.

Примеры:

• В частном случае, когда пространство ${\displaystyle X}$ банахово, его рефлексивность как банахова пространства эквивалентна его рефлексивности как локально выпуклого пространства.
• Пространство ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$ гладких функций на гладком многообразии ${\displaystyle M}$ рефлексивно.
• Пространство ${\displaystyle {\mathcal {O}}(M)}$ голоморфных функций на комплексном аналитическом многообразии ${\displaystyle M}$ рефлексивно.

Среди всех локально выпуклых пространств (даже среди всех банаховых пространств), используемых в функциональном анализе, класс рефлексивных пространств слишком узок, чтобы образовывать самодостаточную категорию в каком-нибудь смысле. Отражаемая этим понятием идея двойственности, однако, рождает интуитивные ожидания, что подходящие изменения в определении рефлексивности могут привести к другому понятию, более удобному для внутренних целей математики. Одной из таких целей может считаться идея приближения анализа к другим частям математики, таким как алгебра и геометрия, путём переформулировки результатов анализа на чисто алгебраическом языке теории категорий.

Эта программа разрабатывается в теории стереотипных пространств, определяемых как локально выпуклые пространства, удовлетворяющие похожему условию рефлексивности, однако с топологией равномерной сходимости на вполне ограниченных множествах (вместо ограниченных множеств) в определении пространства ${\displaystyle X^{*}}$. По сравнению с классическими рефлексивными пространствами, класс Ste стереотипных пространств весьма широк (он содержит, в частности, все пространства Фреше, и поэтому все банаховы пространства), он образует замкнутую моноидальную категорию и допускает стандартные операции (определённые внутри Ste) построения новых пространств, такие как взятие замкнутого подпространства, отделимого факторпространства, проективные и инъективные пределы, пространства операторов, тензорные произведения и т. д. Категория Ste имеет приложения в теории двойственности некоммутативных групп.

Аналогично можно заменять класс ограниченных (и вполне ограниченных) подмножеств в ${\displaystyle X}$ в определении сопряжённого пространства ${\displaystyle X^{*}}$ другими классами подмножеств, например, классом компактных подмножеств в${\displaystyle X}$ — пространства, определённые соответствующим условием рефлексивности, называются рефлективными^[2][3] и образуют даже более широкий класс, чем Ste, однако неизвестно (2012), образует ли этот класс категорию со свойствами, близкими к свойствам Ste.