Уравнение Абеля

Второе уравнение может быть записано как:

${\displaystyle \alpha ^{-1}(\alpha (f(x)))=\alpha ^{-1}(\alpha (x)+1)\,.}$

Принимая x = α⁻¹(y), уравнение можно записать как:

${\displaystyle f(\alpha ^{-1}(y))=\alpha ^{-1}(y+1)\,.}$

Для известной функции f(x) задача состоит в решении функционального уравнение для функции α⁻¹ ≡ h, возможно, удовлетворяющей дополнительным требованиям, таким как α⁻¹(0) = 1.

Замена переменных s^α(x) = Ψ(x) для вещественного параметра s приводит уравнение Абеля к уравнению Шредера, Ψ(f(x)) = s Ψ(x).

Дальнейшая замена F(x) = exp(s^α(x)) приводит к уравнению Бёттхера, F(f(x)) = F(x)^s.

Уравнение Абеля является частным случаем уравнения переноса (и легко обобщается им)^[1],

${\displaystyle \omega (\omega (x,u),v)=\omega (x,u+v)}$,

например, для ${\displaystyle \omega (x,1)=f(x)}$,

${\displaystyle \omega (x,u)=\alpha ^{-1}(\alpha (x)+u)}$. (Обратите внимание, что ω(x,0) = x.)

Функция Абеля α(x) дополнительно обеспечивает каноническую координату для адвективных потоков Ли (однопараметрических групп Ли).

Изначально уравнение было получено в более общей форме^[2][3]. Даже в случае одной переменной уравнение нетривиально и требует специального анализа^[4][5][6].

В случае линейной передаточной функции решение выражается компактно^[7].

Уравнение тетрации является частным случаем уравнения Абеля, когда f = exp.

В случае целочисленного аргумента уравнение кодирует рекуррентную процедуру, например,

${\displaystyle \alpha (f(f(x)))=\alpha (x)+2}$,

и так далее,

${\displaystyle \alpha (f_{n}(x))=\alpha (x)+n.}$

Уравнение Абеля имеет хотя бы одно решение на ${\displaystyle E}$ тогда и только тогда, когда для всех ${\displaystyle x\in E}$ и для всех ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle f^{n}(x)\neq x}$, где ${\displaystyle f^{n}=f\circ f\circ ...\circ f}$, функция f, итерированная n раз^[8].

Аналитические решения (координаты Фату) могут быть приближены асимптотическим разложением функции, заданной степенным рядом в секторах вокруг параболической неподвижной точки^[9]. Аналитическое решение единственно с точностью до константы^[10].