Оператор сдвига

Оператор сдвига T^t (где t ∈ R) переводит функцию f на R в её трансляцию f_t ,

${\displaystyle T^{t}f(x)=f_{t}(x)=f(x+t)~.}$

В операционном исчислении, практическое представление линейного оператора T^t в терминах простой производной ddx было введено Лагранжем,

${\displaystyle T^{t}=e^{t{\frac {d}{dx}}}~,}$

что может быть интерпретировано операционально через формальное разложение Тейлора по t; по биному Ньютона очевидно действие оператора на одночлен xⁿ, и, следовательно, на все ряды по x, а значит, и на все функции f(x), как указано выше^[3]. Таким образом, формально это кодировка разложения Тейлора в исчислении Хевисайда.

Таким образом, оператор является прототипом^[4] адвективного потока Ли для абелевых групп,

${\displaystyle e^{t\beta (x){\frac {d}{dx}}}f(x)=e^{t{\frac {d}{dh}}}F(h)=F(h+t)=f\left(h^{-1}(h(x)+t)\right),}$

где канонические координаты h (функции Абеля) определены так, что

${\displaystyle h'(x)\equiv {\frac {1}{\beta (x)}}~,\qquad f(x)\equiv F(h(x)).}$

Например, из этого легко следует, что ${\displaystyle \beta (x)=x}$ даёт масштабирование,

${\displaystyle e^{tx{\frac {d}{dx}}}f(x)=f(e^{t}x),}$

следовательно ${\displaystyle e^{i\pi x{\frac {d}{dx}}}f(x)=f(-x)}$ (чётность); аналогично, ${\displaystyle \beta (x)=x^{2}}$ даёт^[5]

${\displaystyle e^{tx^{2}{\frac {d}{dx}}}f(x)=f\left({\frac {x}{1-tx}}\right),}$

${\displaystyle \beta (x)=1/x}$ даёт

${\displaystyle e^{{\frac {t}{x}}{\frac {d}{dx}}}f(x)=f\left({\sqrt {x^{2}+2t}}\right),}$

${\displaystyle \beta (x)=e^{x}}$ даёт

${\displaystyle \exp \left(te^{x}{\frac {d}{dx}}\right)f(x)=f\left(\ln \left({\frac {1}{e^{-x}-t}}\right)\right),}$

и т.д.

Начальное условие потока и свойство группы полностью определяют весь поток Ли, предоставляя решение функционального уравнения трансляции^[6]

${\displaystyle f_{t}(f_{\tau }(x))=f_{t+\tau }(x).}$

Оператор левого сдвига действует на одностороннюю бесконечную последовательность чисел через

${\displaystyle S^{*}:(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )\mapsto (a_{2},a_{3},a_{4},\ldots )}$

и на двухсторонние бесконечные последовательности чисел:

${\displaystyle T:(a_{k})_{k=-\infty }^{\infty }\mapsto (a_{k+1})_{k=-\infty }^{\infty }.}$

Оператор правого сдвига действует на одностороннюю бесконечную последовательность чисел через

${\displaystyle S:(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )\mapsto (0,a_{1},a_{2},\ldots )}$

и на двусторонние бесконечные последовательности:

${\displaystyle T^{-1}:(a_{k})_{k=-\infty }^{\infty }\mapsto (a_{k-1})_{k=-\infty }^{\infty }.}$

Операторы сдвига вправо и влево, действующие на двусторонние бесконечные последовательности, называются двусторонними сдвигами.

В целом, как было показано выше, если F есть функция абелевой группы G, а h есть элемент из G, то оператор сдвига T ^g отображает F в^[6][7]

${\displaystyle F_{g}(h)=F(h+g).}$

Оператор сдвига, действующий на вещественные или комплекснозначные функции или последовательности, является линейным оператором, сохраняющим большинство стандартных норм, которые встречаются в функциональном анализе. Поэтому он обычно является непрерывным оператором с 1-нормой.

Оператор сдвига, действующий на двусторонние последовательности, является унитарным оператором на ℓ₂(Z). Оператор сдвига, действующий на функции вещественного переменного, является унитарным оператором на L₂(R).

В обоих случаях (левый) оператор сдвига удовлетворяет следующему коммутативному соотношению с преобразованием Фурье:

$${\displaystyle {\mathcal {F}}T^{t}=M^{t}{\mathcal {F}},}$$

Односторонний сдвиг S, действующий на ℓ₂(N), является собственной изометрией с областью значений функции, равной всем векторам, которые исчезают в первой координате. Оператор S является сжатием T^-1, в том смысле, что

$${\displaystyle T^{-1}y=Sx{\text{, }}x\in \ell ^{2}(\mathbb {N} ),}$$

Спектр S — это единичный диск. Сдвиг S является одним из примеров оператора Фредгольма; он имеет индекс Фредгольма -1.

Жан Дельсарт ввёл понятие обобщённого оператора сдвига (также называемого обобщённым оператором смещения); в дальнейшем оно было развито Борисом Левитаном^[2][8][9].

Семейство операторов {L^x}_{x ∈ X}, действующих на пространстве Φ функций из множества X в C, называется семейством обобщённых операторов сдвига, если выполняются следующие свойства:

1. Ассоциативность: пусть (R^yf)(x) = (L^xf)(y). Тогда L^xR^y = R^yL^x.
2. Существует e в X такое, что L^e — оператор тождества.

В этом случае множество X называется гипергруппой.