Тогда и только тогда

Соответствующими логическими символами являются «${\displaystyle \leftrightarrow }$», «${\displaystyle \Leftrightarrow }$»^[1], и ${\displaystyle \equiv }$^[2], а иногда и «iff». Обычно они считаются эквивалентными. Однако в некоторых текстах по математической логике (особенно посвящённых предикатной логике, а не пропозициональной) проводится различие между ними: первый символ, ${\displaystyle \leftrightarrow }$, используется в формулах, а ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ или ${\displaystyle \equiv }$ — при рассуждениях о формулах (например, в металогике). В польской записи Яна Лукасевича используется префиксный символ ${\displaystyle E}$^[3].

Другой термин для логической связки, то есть символа в формулах, — исключающее НЕ-ИЛИ.

В TeX «тогда и только тогда» обозначается длинной двойной стрелкой: ${\displaystyle \iff }$ с помощью команд \iff или \Longleftrightarrow^[4].

В большинстве логических систем утверждение вида «P тогда и только тогда, когда Q» доказывается либо через доказательство «если P, то Q» и «если Q, то P», либо через «если P, то Q» и «если не P, то не Q». Доказательство этих пар утверждений иногда приводит к более естественному выводу, поскольку редко бывает удобно выводить двустороннюю импликацию напрямую. Альтернативой является доказательство дизъюнкции «(P и Q) или (не P и не Q)», которая может быть выведена непосредственно из любого из дизъюнктов — то есть, поскольку «тогда и только тогда» является булевой функцией, «P тогда и только тогда, когда Q» следует, если показано, что P и Q одновременно истинны или одновременно ложны.

Использование аббревиатуры «iff» впервые появилось в печати в книге Келли, Джон Л. «General Topology» (1955)^[5]. Её изобретение часто приписывают Полю Халмосу, который писал: «Я изобрёл 'iff' для 'if and only if', но никогда не мог поверить, что был действительно первым, кто это сделал»^[6].

Не вполне ясно, как предполагалось произносить «iff». В современной практике это «слово» почти всегда читается как четыре слова «if and only if» («тогда и только тогда»). Однако во введении к «General Topology» Келли предлагает читать иначе: «В некоторых случаях, когда математический смысл требует 'if and only if', а эвфония — чего-то менее громоздкого, я использую 'iff' Халмоса». Авторы одного из учебников по дискретной математике советуют:^[7] «Если вам нужно произнести 'iff', действительно удлиняйте 'ff', чтобы слушатели различали с 'if'», подразумевая, что «iff» можно произносить как [ɪfː].

Традиционно определения формулируются как утверждения «тогда и только тогда»; некоторые тексты — например, «General Topology» Келли — следуют этой традиции и используют «тогда и только тогда» или «iff» в определениях новых терминов^[8]. Однако такое использование относительно редко и игнорирует лингвистический факт, что «если» в определении интерпретируется как «тогда и только тогда». Большинство учебников, научных статей и публикаций (включая статьи в английской Википедии) следуют языковой конвенции, согласно которой «если» в определении всегда означает «тогда и только тогда» (например, «топологическое пространство компактно, если всякое открытое покрытие имеет конечное подпокрытие»)^[9]. Кроме того, в случае рекурсивного определения часть «только если» интерпретируется как утверждение в метаязыке о том, что предложения в определении предиката — это единственные предложения, определяющие область его применения.

Диаграммы Эйлера иллюстрируют логические отношения между событиями, свойствами и т. д. «P только если Q», «если P, то Q» и «P→Q» означают, что P — подмножество, собственное или несобственное, Q. «P если Q», «если Q, то P» и Q→P означают, что Q — собственное или несобственное подмножество P. «P тогда и только тогда, когда Q» и «Q тогда и только тогда, когда P» означают, что множества P и Q совпадают.

Термин «iff» используется и вне логики. Везде, где применяется логика, особенно в математических рассуждениях, он имеет то же значение: это сокращение от «тогда и только тогда», указывающее, что одно утверждение является одновременно необходимым и достаточным для другого. Это пример математического жаргона (хотя, как отмечено выше, в определениях чаще используется «если», чем «iff»).

Фраза «элементы X — все и только элементы Y» означает: «Для любого z из области определения, z принадлежит X тогда и только тогда, когда z принадлежит Y».

В книге Искусственный интеллект: современный подход Рассел и Норвиг отмечают (стр. 282)^[10], что часто естественнее выражать «тогда и только тогда» как «если» вместе с «семантикой базы данных (или логического программирования)». Они приводят пример английского предложения: «У Ричарда два брата — Джеффри и Джон».

В базе данных или логической программе это может быть представлено двумя предложениями:

Brother(Richard, Geoffrey).

Brother(Richard, John).

Семантика базы данных интерпретирует базу (или программу) как содержащую всю и только ту информацию, которая релевантна решаемой задаче. Она трактует «только если» как утверждение в метаязыке о том, что предложения в базе данных представляют единственные знания, которые следует учитывать при выводах.

В логике первого порядка (FOL) со стандартной семантикой то же английское предложение нужно было бы выразить с помощью «тогда и только тогда», причём «только если» интерпретируется в объектном языке, например так:

${\displaystyle \forall }$ X(Brother(Richard, X) \text{ тогда и только тогда, когда } X = \text{Geoffrey} \text{ или } X = \text{John}).

Geoffrey \neq John.

По сравнению со стандартной семантикой FOL, семантика базы данных реализуется эффективнее. Вместо рассуждений с предложениями вида

«вывод тогда и только тогда, когда условия»

используются предложения вида

«вывод если условия»

для прямого вывода из условий к выводам или обратного вывода от выводов к условиям.

Семантика базы данных аналогична юридическому принципу expressio unius est exclusio alterius (выражение одного исключает другое). Кроме того, она лежит в основе применения логического программирования к представлению юридических текстов и юридическим рассуждениям^[11].