T-норма и t-конорма

T-норма называется непрерывной, если она является непрерывной как функция в обычной топологии отрезка [0, 1]². (Аналогично — для левосторонней и правосторонней непрерывности.)

T-норма называется строгой, если она непрерывна и строго монотонна.

T-норма называется нильпатентной, если она непрерывна и для любого x из (0, 1) существует такое натуральное n, что x ${\displaystyle *}$ … ${\displaystyle *}$ x (n раз) равно 0.

T-норма ${\displaystyle *}$ называется архимедовой, если она обладает архимедовым свойством, то есть, для любых x, y из (0, 1) существует натуральное n, что x ${\displaystyle *}$ … ${\displaystyle *}$ x (n раз) не превосходит y.

Обычное частичное упорядочение t-норм осуществляется покомпонентно (pointwise), то есть

T₁ ≤ T₂, если T₁(a, b) ≤ T₂(a, b) для всех a, b из [0, 1].

Функции, покомпонентно большие, иногда называют «сильнее», чем малые; однако, в семантике t-нормовых нечётких логик более крупная t-норма соответствует «слабой» по логической силе конъюнкции.

Хотя функции двух переменных могут быть непрерывны по каждой переменной отдельно, но не на всём квадрате [0, 1]², для t-норм это неверно: t-норма T непрерывна тогда и только тогда, когда она непрерывна по одной переменной, то есть если функции f_y(x) = T(x, y) непрерывны для каждого y из [0, 1]. Аналогично для лево- или правосторонней непрерывности.

Непрерывная t-норма архимедова тогда и только тогда, когда её единственные идемпотенты — это 0 и 1.

Непрерывная архимедова t-норма строгая, если её единственный нильпатентный элемент — 0; в противном случае она нильпатентная. По определению, непрерывная архимедова t-норма T нильпатентная тогда и только тогда, когда любой x < 1 является нильпатентным элементом T. Таким образом, либо все, либо ни один из элементов (0, 1) не являются нильпатентными. Если все элементы (0, 1) — нильпатентны, то t-норма изоморфна t-норме Лукашевича, то есть существует строго возрастающая функция f, для которой

${\displaystyle \top (x,y)=f^{-1}(\top _{\mathrm {Luk} }(f(x),f(y)))}$

Если же нет нильпатентных элементов, то t-норма изоморфна t-норме произведения. То есть все нильпатентные t-нормы изоморфны (типичный представитель — t-норма Лукашевича), все строгие — тоже изоморфны (типичный представитель — t-норма произведения). Сама t-норма Лукашевича изоморфна t-норме произведения на [0,25, 1]² подрезанной по виду p(x, y) = max(0,25, x·y).

Для любой непрерывной t-нормы множество её идемпотентов — замкнуто в [0, 1], а дополнение — объединение счётного множества несовпадающих открытых интервалов. Ограничение t-нормы на любой из этих интервалов (включая границы) — архимедова и, следовательно, изоморфна либо t-норме Лукашевича, либо t-норме произведения. Для x, y, не попадающих в один и тот же открытый интервал неидемпотентов, значение t-нормы совпадает с минимумом x и y. Эти условия дают характеризацию непрерывных t-норм, называемую теоремой Мостерта — Шилдса: любая непрерывная t-норма может быть таким образом декомпозирована; описанная конструкция всегда даёт непрерывную t-норму. Альтернативно: t-норма непрерывна, если и только если она изоморфна ординальной сумме минимальной t-нормы, t-нормы Лукашевича и t-нормы произведения.

Аналогичной теоремы для неконтинуальных t-норм (даже левосторонне непрерывных) не существует; известны лишь частичные методы построения t-норм.

Если ${\displaystyle \Rightarrow }$ — резидуум лево-непрерывной t-нормы ${\displaystyle \top }$, то

${\displaystyle (x\Rightarrow y)=\sup\{z\mid \top (z,x)\leq y\}}$

Следовательно, для всех x, y из [0, 1]:

${\displaystyle (x\Rightarrow y)=1\;\;{\text{тогда и только тогда, когда}}\;\;x\leq y}$

и

${\displaystyle (1\Rightarrow y)=y}$

Если ${\displaystyle *}$ — левосторонне непрерывная t-норма и ${\displaystyle \Rightarrow }$ её резидуум, то

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\min(x,y)&\geq &x*(x\Rightarrow y)\\\max(x,y)&=&\min((x\Rightarrow y)\Rightarrow y,(y\Rightarrow x)\Rightarrow x)\end{array}}}$

Если ${\displaystyle *}$ непрерывна, то первое равенство становится точным.

Если x ≤ y, то R(x, y) = 1 для любого резидуального оператора R. Таблица ниже приведена для случая x > y.

Резидуум от	Название	Значение при x > y	График
Минимальная t-норма	Стандартная импликация Гёделя	y	Стандартная импликация Гёделя
t-норма произведения	Импликация Гогуэна (Goguen)	y / x	Импликация Гогуэна
T-норма Лукашевича	Стандартная импликация Лукашевича	1 — x + y	Стандартная импликация Лукашевича
Нильпатентный минимум	Импликация Фодора	max(1 — x, y)	Резидуум нильпатентного минимума

Наиболее известные t-конормы — дуальные к основным t-нормам:

• Максимальная t-конорма (${\displaystyle \bot _{\mathrm {max} }(a,b)=\max\{a,b\}}$) — дуальна минимальной t-норме, наименьшая из t-конорм (см. свойства t-конорм). Обычная семантика дизъюнкции в нечёткой логике Гёделя и слабой дизъюнкции во всех t-нормных нечётких логиках.

• Вероятностная сумма (${\displaystyle \bot _{\mathrm {sum} }(a,b)=a+b-ab=1-(1-a)\cdot (1-b)}$) — дуальна t-норме произведения. В теории вероятностей даёт вероятность объединения независимых событий. Также реализует сильную дизъюнкцию в расширениях нечёткой логики произведения, когда определена (например, при наличии инволютивной отрицания).

• Ограниченная сумма (${\displaystyle \bot _{\mathrm {Luk} }(a,b)=\min\{a+b,1\}}$) — дуальна t-норме Лукашевича, реализует стандартную семантику сильной дизъюнкции в нечёткой логике Лукашевича.

• Жёсткая t-конорма (drastic t-conorm)

${\displaystyle \bot _{\mathrm {D} }(a,b)={\begin{cases}b,&{\text{если }}a=0\\a,&{\text{если }}b=0\\1,&{\text{иначе}}\end{cases}}}$

Дуальна жёсткой t-норме, наибольшая среди t-конорм (см. свойства t-конорм).

• Нильпатентный максимум (дуален нильпатентному минимуму):

${\displaystyle \bot _{\mathrm {nM} }(a,b)={\begin{cases}\max(a,b),&{\text{если }}a+b<1\\1,&{\text{иначе}}\end{cases}}}$

• Сумма Эйнштейна (аналог формулы сложения скоростей специальной теории относительности):

${\displaystyle \bot _{\mathrm {H} _{2}}(a,b)={\frac {a+b}{1+ab}}}$

Дуальна одной из t-норм Хамахера.

Многие свойства t-конормы выводятся дуализацией свойств t-норм:

• Для любой t-конормы ⊥ число 1 — аннигилирующий элемент: ⊥(a, 1) = 1 для любого a ∈ [0, 1].
• Аналог t-норм: все t-конормы ограничены максимальной и жёсткой t-конормой:

${\displaystyle \mathrm {\bot _{max}} (a,b)\leq \bot (a,b)\leq \bot _{\mathrm {D} }(a,b)}$

для любой t-конормы ${\displaystyle \bot }$ и любых a, b ∈ [0, 1]. В частности, выполняется:^[1]

${\displaystyle \mathrm {\bot _{max}} (a,b)\leq \bot _{\mathrm {sum} }(a,b)\leq \bot _{\mathrm {Luk} }(a,b)\leq \bot _{\mathrm {D} }(a,b)}$

для любых a, b ∈ [0, 1].

Дополнительные свойства связаны с взаимодействием t-норм и t-конорм, а также с другими операторами, например:

• T-норма T дистрибутивна относительно t-конормы ⊥, то есть

T(x, ⊥(y, z)) = ⊥(T(x, y), T(x, z)) для всех x, y, z ∈ [0, 1]

тогда и только тогда, когда ⊥ — максимальная t-конорма. Дуально — любая t-конорма дистрибутивна относительно минимума, но не по отношению к другим t-нормам.

Негатор ${\displaystyle n\colon [0,1]\to [0,1]}$ — монотонно убывающая функция, такая что ${\displaystyle n(0)=1}$ и ${\displaystyle n(1)=0}$. Негатор n называется

• строгим, если строго монотонен;
• сильным, если он строгий и инволютивен, то есть ${\displaystyle n(n(x))=x}$ для всех x ∈ [0, 1].

Стандартный негатор — это ${\displaystyle n(x)=1-x,\;\;x\in [0,1]}$, является и строгим, и сильным. Поскольку стандартный негатор используется в определении пары t-норма/t-конорма, это понятие обобщается далее:

Тройка де Моргана — это тройка (T, ⊥, n), где^[2]

1. T — t-норма
2. ⊥ — t-конорма по аксиоматическому определению выше
3. n — сильный негатор
4. ${\displaystyle \forall a,b\in [0,1]:\;\;n({\perp }(a,b))=\top (n(a),n(b))}$