Двойственное пространство

Пусть ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$. Отображение ${\displaystyle f\colon V\to K}$ называется линейным функционалом, если

${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y),\qquad f(\lambda x)=\lambda f(x)}$

для любых ${\displaystyle x,y\in V}$ и ${\displaystyle \lambda \in K}$. Множество всех линейных функционалов

${\displaystyle V^{*}={\mathcal {L}}(V,\,K)}$

называется (алгебраическим) двойственным пространством к ${\displaystyle V}$. Для ${\displaystyle f,g\in V^{*}}$ и ${\displaystyle \lambda \in K}$ полагают

${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x),\qquad (\lambda f)(x)=\lambda f(x)}$;

относительно этих поточечных операций ${\displaystyle V^{*}}$ само является векторным пространством над ${\displaystyle K}$; его нулевой элемент — функционал, тождественно равный нулю^[21][22].

Геометрически ненулевой линейный функционал задаёт семейство параллельных гиперплоскостей уровня: для каждого ${\displaystyle c\in K}$ множество ${\displaystyle f^{-1}(c)=\{x\colon f(x)=c\}}$ — аффинная гиперплоскость, а ядро ${\displaystyle \ker f=f^{-1}(0)}$ — гиперплоскость, проходящая через ноль; все гиперплоскости семейства параллельны друг другу и «нумеруются» значением ${\displaystyle c}$. В тензорном исчислении и дифференциальной геометрии элементы двойственного пространства называются ковекторами (ковариантными векторами, 1-формами)^[6].

В конечномерном случае двойственное пространство тесно связано с тензорным произведением. Существует естественный изоморфизм ${\displaystyle V^{*}\otimes W^{*}\cong (V\otimes W)^{*}}$. В частности, пространство линейных операторов ${\displaystyle {\mathcal {L}}(V,W)}$ изоморфно ${\displaystyle V^{*}\otimes W}$. Это позволяет интерпретировать линейный функционал как тензор типа ${\displaystyle (0,1)}$, а билинейную форму — как тензор типа ${\displaystyle (0,2)}$.

Если ${\displaystyle V}$ — топологическое векторное пространство, то двойственным к нему называют пространство ${\displaystyle V'}$ всех непрерывных линейных функционалов; при этом ${\displaystyle V'}$ снабжается топологией равномерной сходимости на соответствующих множествах (например, на ограниченных множествах ${\displaystyle V}$) и само становится локально выпуклым пространством^[16]. Для нормированного пространства ${\displaystyle V}$ непрерывность функционала равносильна его ограниченности, и на ${\displaystyle V'}$ вводится норма

${\displaystyle \|f\|=\sup _{x\neq 0}{\frac {|f(x)|}{\|x\|}}}$;

с этой нормой ${\displaystyle V'}$ — банахово пространство независимо от того, полно ли само ${\displaystyle V}$^[3]. В бесконечномерном случае не всякий линейный функционал непрерывен (разрывные функционалы строятся с помощью базиса Гамеля), поэтому алгебраическое двойственное пространство заведомо шире топологического^[23].

В паре двойственных базисов ковектор ${\displaystyle f}$ записывается строкой своих значений на базисных векторах, а вектор ${\displaystyle \mathbf {v} }$ — столбцом координат. Значение функционала на векторе равно сумме произведений соответствующих координат:

${\displaystyle f(\mathbf {v} )=\sum _{i=1}^{n}f(\mathbf {e} {i}),x{i},}$

то есть вычислительно — «строка, умноженная на столбец». Изоморфизм ${\displaystyle V\to V^{}}$, сопоставляющий вектору-столбцу ковектор-строку с теми же числами, зависит от базиса: при смене базиса правило соответствия меняется. Отсюда принципиальный вывод конечномерной теории — пространства ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle V^{}}$ изоморфны, но канонического, не зависящего от произвола, изоморфизма между ними нет^[1].

Пусть новый базис выражается через старый матрицей перехода ${\displaystyle S}$, столбцы которой — координаты новых базисных векторов в старом базисе. Столбец координат тогда пересчитывается формулой ${\displaystyle x'=S^{-1}x}$, а координаты ковекторов (строки) — формулой ${\displaystyle f'=fS}$: строка умножается справа на матрицу ${\displaystyle S}$^[24]. Компоненты ковектора преобразуются согласованно с матрицей базиса, поэтому их называют ковариантными; компоненты вектора преобразуются противоположным образом — контравариантно^[24]. В тензорном исчислении это различие фиксируется положением индекса: ковектор имеет нижний индекс, вектор — верхний^[25].

Каждому линейному отображению ${\displaystyle A\colon V\to W}$ отвечает отображение ${\displaystyle A^{}\colon W^{}\to V^{*}}$, называемое сопряжённым оператором:

${\displaystyle (A^{*}g)(\mathbf {v} )=g(A\mathbf {v} ).}$

Функционал ${\displaystyle g}$, определённый на ${\displaystyle W}$, переносится назад по ${\displaystyle A}$ и становится функционалом на ${\displaystyle V}$. Операция сопряжения линейна: ${\displaystyle (A+B)^{}=A^{}+B^{}}$ и ${\displaystyle (\lambda A)^{}=\lambda A^{}}$; композиция переводится в композицию в обратном порядке: ${\displaystyle (AB)^{}=B^{}A^{}}$, а для обратимого ${\displaystyle A}$ оператор ${\displaystyle (A^{})^{-1}}$ совпадает с ${\displaystyle (A^{-1})^{}}$^[24].

В паре двойственных базисов матрица сопряжённого оператора — транспонированная матрица ${\displaystyle A}$^[24]. Отсюда следует, что ранги ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle A^{}}$ равны, а образ ${\displaystyle A^{}}$ является аннулятором ядра ${\displaystyle A}$ — это конечномерные аналоги теорем Фредгольма, которые в бесконечномерной теории формулируются как альтернатива Фредгольма^[26]. Такое транспонирование не случайно: каждая строка матрицы и есть функционал, действующий на векторах-столбцах^[27].

В пространствах со скалярным произведением сопряжённый оператор допускает второе описание. Отождествив пространство с двойственным по теореме Рисса, получают оператор ${\displaystyle A^{}\colon V\to V}$ с равенством ${\displaystyle \langle A\mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} ,A^{}\mathbf {y} \rangle }$; операторы, совпадающие со своим сопряжённым, называются самосопряжёнными и составляют основной класс спектральной теории^[3].

Для бесконечномерного нормированного пространства ${\displaystyle X}$ различают два двойственных пространства. Алгебраическое ${\displaystyle X^{*}}$ содержит все линейные функционалы без ограничений; топологическое, или непрерывное, сопряжённое ${\displaystyle X'}$ — только непрерывные, и в нормированном случае непрерывность равносильна ограниченности: существует константа ${\displaystyle C}$ такая, что ${\displaystyle |f(\mathbf {x} )|\leqslant C,|\mathbf {x} |}$. Наименьшую такую константу называют нормой функционала; норма функционала задаётся как ${\displaystyle |f|=\sup _{\mathbf {x} \neq 0}|f(\mathbf {x} )|/|\mathbf {x} |}$, и с этой нормой ${\displaystyle X'}$ — банахово пространство^[3]. Мостом между двумя теориями служит теорема Хана — Банаха: каждый функционал, заданный на подпространстве, продолжается на всё пространство с сохранением нормы^[28]. Её следствие — разделимость точек: для любого ненулевого вектора найдётся функционал, отправляющий его в единицу, поэтому сопряжённое пространство всегда достаточно богато^[3]. Алгебраическое двойственное пространство к бесконечномерному ${\displaystyle X}$ имеет строго большую размерность, и потому естественного изоморфизма с исходным пространством нет^[1].

В гильбертовом пространстве ${\displaystyle H}$ со скалярным произведением всякий непрерывный линейный функционал представляется единственным образом в виде

${\displaystyle f(\mathbf {x} )=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {h} \rangle }$

с некоторым вектором ${\displaystyle \mathbf {h} \in H}$, причём ${\displaystyle |\mathbf {h} |=|f|}$^[29]. Соответствие ${\displaystyle f\mapsto \mathbf {h} }$ переводит двойственное пространство ${\displaystyle H'}$ в само ${\displaystyle H}$ с сохранением норм; в комплексном случае оно антилинейно (линейно по сопряжению)^[3]. Теорема носит имя Фридьеша Рисса, чьи работы 1907—1910-х годов положили начало описанию функционалов в конкретных пространствах^[30]. Геометрический смысл прост: множество решений ${\displaystyle f(\mathbf {x} )=c}$ — гиперплоскость уровня, а вектор ${\displaystyle \mathbf {h} }$ перпендикулярен ей, и его длина характеризует «крутизну» функционала. Так в гильбертовом случае двойственное пространство получает наглядную модельИосида К. Функциональный анализ / пер. с англ. В. М. Волосова. — М.: Мир, 1967. — С. 121—125..

Двойственное пространство определяет на исходном слабую топологию — самую слабую, в которой непрерывны все функционалы из ${\displaystyle X'}$. Последовательность ${\displaystyle \mathbf {x} {n}}$ слабо сходится к ${\displaystyle \mathbf {x} }$, если ${\displaystyle f(\mathbf {x} {n})\to f(\mathbf {x} )}$ для каждого ${\displaystyle f\in X'}$; это условие слабее, чем покоординатная или нормовая сходимость, и в приложениях нередко выполняется там, где сильная сходимость отсутствует^[31].

Пространство называется рефлексивным, если каноническое вложение ${\displaystyle J\colon X\to X^{**}}$ сюръективно. Рефлексивны все гильбертовы пространства и пространства ${\displaystyle L^{p}}$ при ${\displaystyle 1<p<\infty }$; не рефлексивны ${\displaystyle \ell ^{1}}$, ${\displaystyle c_{0}}$ и ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$^[3]. Рефлексивность гарантирует компактность шара в слабой топологии, что является ключом к доказательству существования решений экстремальных задач^[31].

Дифференцируемая функция ${\displaystyle F}$ в каждой точке порождает линейный функционал на векторах приращения — дифференциал ${\displaystyle dF(\mathbf {v} )}$, равный производной по направлению ${\displaystyle \mathbf {v} }$^[32]. Семейство этих функционалов по точкам образует ковекторное поле. В евклидовом пространстве со стандартной метрикой каждому функционалу отвечает вектор — градиент; на искривлённых пространствах отождествление зависит от метрики, а дифференциал от неё не зависит, поэтому строгое определение градиента опирается именно на двойственное пространство^[24]. Из ковекторов собираются дифференциальные формы — объекты, по которым определено интегрирование вдоль кривых и поверхностей. При замене координат компоненты формы преобразуются ковариантно, и это согласуется с формулой ${\displaystyle f'=fS}$ из конечномерной теории^[33]. Различие между векторами и ковекторами, невидимое в ортонормированных координатах, становится рабочим инструментом тензорного исчисления и общей теории относительности^[25].

В выпуклом анализе каждой функции сопоставляется сопряжённая по Фенхелю: ${\displaystyle f^{*}(\mathbf {y} )=\sup _{\mathbf {x} },(\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle -f(\mathbf {x} ))}$ — функция на двойственном пространстве. Эта конструкция позволяет свести задачу минимизации к задаче максимизации и лежит в основе современных методов оптимизации^[3]. В линейном программировании той же идеей устроена двойственная задача: каждой прямой задаче отвечает двойственная, переменные которой интерпретируются как оценки ресурсов, а оптимальные значения обеих задач совпадают^[24].