Бесконечномерное пространство

Линейное векторное пространство называется бесконечномерным, если для любого целого числа ${\displaystyle N>0}$ в нем найдется линейно независимая система, состоящая из ${\displaystyle N}$ векторов^[2][3].

Для бесконечномерного пространства существуют различные определения базиса. Так, например, базис Гамеля определяется, как множество векторов в линейном пространстве, таких, что любой вектор пространства может быть представлен в виде некоторой их конечной линейной комбинации единственным образом.

Для топологических векторных пространств можно определить базис Шаудера. Система элементов ${\displaystyle \left\{e_{k}\right\}}$ образует базис Шаудера пространства ${\displaystyle E}$, если каждый элемент ${\displaystyle x\in E}$ представим единственным образом в виде сходящегося ряда ${\displaystyle x=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}e_{k}}$^[4]. Базис Шаудера существует не всегда.

• Линейное пространство непрерывных на данном промежутке функций^[2].
• Гильбертово пространство, образованное бесконечной последовательностью чисел ${\displaystyle x=(\xi _{1},...,\xi _{k},...)}$ со сходящейся суммой квадратов ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\xi _{n}^{2}<\infty }$^[5].
• Множество всех многочленов^[6].
• Фазовое пространство в статистической физике является почти бесконечномерным.^[7]
• Пространство квадратично-суммируемых последовательностей

• Бесконечномерное пространство не изоморфно никакому конечномерному^[8].