Бесконечномерное пространство

Первые бесконечномерные конструкции появились задолго до общего определения. Тригонометрические ряды (Фурье, 1807) и степенные ряды неявно работали с бесконечными системами координат — коэффициентами; Дирихле, Бессель и Парсеваль в 1830-е фактически пользовались сходимостью в среднеквадратичном смысле. Решающий сдвиг произошёл в теории множеств: Г. Кантор в 1874 году доказал несчётность континуума, а в 1891 году — диагональным аргументом^[5], заложив язык, на котором стало возможным говорить о размерности бесконечномерных пространств.

На рубеже XIX—XX веков Э. Фредгольм (1900) и Д. Гильберт (1904—1906) в теории интегральных уравнений фактически работали в бесконечномерном евклидовом пространстве последовательностей коэффициентов; Гильберт ввёл предельный процесс, эквивалентный проецированию на орты, — «гильбертово пространство» ${\displaystyle \ell ^{2}}$ сложилось именно в этих работах^[6]. М. Фреше в диссертации 1906 года ввёл общее понятие метрического пространства и начал систематическое изучение «функциональных пространств»^[7]; Ф. Рисс (1907) связал пространства ${\displaystyle L^{2}}$ и ${\displaystyle \ell ^{2}}$ изоморфизмом (теорема Рисса — Фишера) и развил спектральную теорию компактных операторов^[8].

1920-е — годы аксиоматизации: С. Банах, Г. Хан, Э. Хильб и другие формулировали понятие полного нормированного пространства; итог подвела монография Банаха «Théorie des opérations linéaires» (1932)^[9]. Дж. фон Нейман в 1929—1932 годах дал аксиоматику гильбертова пространства (введя сам термин), строго определил неограниченные операторы и связал их с квантовой механикой^[10]. А. Н. Колмогоров (1934) охарактеризовал нормируемость топологических векторных пространств выпуклой ограниченной окрестностью нуля^[11]. Дальнейшие вехи — теория распределений (Л. Шварц, 1945—1950), пространства ядерных операторов (А. Гротендик, 1950-е), банаховы пространства как категория и контрпример Энфло (1973).

Линейное пространство ${\displaystyle X}$ над произвольным полем ${\displaystyle K}$ (в функциональном анализе чаще всего рассматриваются поля ${\displaystyle \mathbb {R} }$ или ${\displaystyle \mathbb {C} }$) называется бесконечномерным, если для любого натурального ${\displaystyle n}$ в нём найдётся ${\displaystyle n+1}$ линейно независимых векторов; эквивалентно, если всякий его базис (система образующих, через которую каждый вектор выражается конечной линейной комбинацией) бесконечен^[1][12]. Размерность линейного пространства определяется как мощность его базиса Гамеля и является кардинальным числом. Два векторных пространства над одним полем изоморфны тогда и только тогда, когда их размерности (как кардинальные числа) совпадают.

Для гильбертовых пространств (полных пространств со скалярным произведением) вводится вторая, «аналитическая» размерность — мощность ортонормированного базиса (базиса, по которому вектор разлагается сходящимся рядом в смысле нормы). Существенно, что эти две размерности могут различаться: в сепарабельном гильбертовом пространстве ортонормированный базис счётен, тогда как базис Гамеля имеет мощность континуума^[13][14].

1. Пространство финитных последовательностей ${\displaystyle c_{00}}$. Простейший пример: множество последовательностей, в которых лишь конечное число членов отлично от нуля. Оно бесконечномерно (орты ${\displaystyle e_{1},e_{2},\dots }$ линейно независимы), но не является полным относительно естественной нормы^[1].

2. Пространства ${\displaystyle \ell ^{p}}$. При ${\displaystyle 1\leqslant p<\infty }$ это множество последовательностей ${\displaystyle x=(x_{n})}$, для которых ряд ${\displaystyle \sum |x_{n}|^{p}}$ сходится, с нормой ${\displaystyle \|x\|_{p}={\bigl (}\sum |x_{n}|^{p}{\bigr )}^{1/p}}$. Все они банаховы; ${\displaystyle \ell ^{2}}$ — гильбертово со скалярным произведением ${\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum x_{n}{\overline {y_{n}}}}$. Вектор ${\displaystyle x=(2^{-n})_{n\geqslant 1}}$ лежит в ${\displaystyle \ell ^{2}}$, но не представим конечной линейной комбинацией ортов: его разложение ${\displaystyle \sum 2^{-n}e_{n}}$ требует предельного перехода (сходящегося ряда)^[15].

3. Пространство ${\displaystyle C[a,b]}$. Непрерывные функции на отрезке с нормой ${\displaystyle \|f\|=\max |f|}$ образуют бесконечномерное банахово пространство; система степеней ${\displaystyle 1,x,x^{2},\dots }$ линейно независима. По теореме Вейерштрасса многочлены плотны в ${\displaystyle C[a,b]}$, что позволяет строить базисы Шаудера (например, с помощью полиномов Бернштейна, для которых скорость равномерной сходимости оценивается через модуль непрерывности функции)^[16].

4. Пространство ${\displaystyle L^{2}[-\pi ,\pi ]}$ и ряды Фурье. Тригонометрическая система ${\displaystyle 1,\cos nx,\sin nx}$ после нормировки образует ортонормированный базис. Разложение по нему даёт ряд Фурье. Для функции ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ коэффициенты Фурье убывают как ${\displaystyle 1/n^{2}}$, а норма ошибки частичной суммы убывает как ${\displaystyle O(N^{-3/2})}$. Равенство Парсеваля ${\displaystyle \textstyle \int |f|^{2}=\sum |c_{n}|^{2}}$ является бесконечномерным аналогом теоремы Пифагора^[17].

5. Пространства Соболева. ${\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}$ — пространства функций, имеющих ${\displaystyle k}$ обобщённых производных из ${\displaystyle L^{p}}$. Они бесконечномерны и составляют естественную область определения для эллиптических уравнений в частных производных^[18].

6. Гильбертов куб. Множество ${\displaystyle Q=\{x\in \ell ^{2}:|x_{n}|\leqslant 1/n\}}$ является компактом в ${\displaystyle \ell ^{2}}$ (в отличие от единичного шара): «толщина» куба по ${\displaystyle n}$-й координате стремится к нулю, и диаметр хвоста последовательности ${\displaystyle \textstyle 2{\bigl (}\sum _{n>N}n^{-2}{\bigr )}^{1/2}}$ стремится к 0 при ${\displaystyle N\to \infty }$^[13][12].

7. Пространства аналитических функций. Пространство голоморфных функций в области (с топологией равномерной сходимости на компактах) является фрешетовым, но не нормируемым. Пространство Шварца быстро убывающих функций служит естественной ареной для преобразования Фурье^[19].

Некомпактность шара. В ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ замкнутое ограниченное множество компактно (Больцано — Вейерштрасс). В бесконечномерном нормированном пространстве это не так: теорема Рисса (1918) утверждает, что единичный шар некомпактен^[8][1]. Причина видна на ортах: ${\displaystyle \|e_{n}-e_{m}\|={\sqrt {2}}}$ при ${\displaystyle n\neq m}$, так что из последовательности ${\displaystyle e_{1},e_{2},\dots }$ нельзя выбрать фундаментальную подпоследовательность. Именно поэтому в бесконечномерном анализе компакты «узки» (компактные операторы — пределы конечномерных), а прямые методы вариационного исчисления требуют заменять компактность слабой компактностью^[20].

Два понятия базиса. Базис Гамеля — чисто алгебраический: каждый вектор есть конечная линейная комбинация; он существует в любом пространстве (лемма Цорна), но в ${\displaystyle \ell ^{2}}$ несчётен (мощности континуума) и не описывается конструктивно. Базис Шаудера допускает бесконечные сходящиеся разложения; он счётен в сепарабельных пространствах, но существует не всюду (контрпример Энфло, 1973). В гильбертовом пространстве роль базиса играют ортонормированные системы: для них коэффициенты вычисляются проекционно, ${\displaystyle c_{n}=\langle x,e_{n}\rangle }$, и выполнено неравенство Бесселя ${\displaystyle \sum |c_{n}|^{2}\leqslant \|x\|^{2}}$ с равенством (тождество Парсеваля) для полных систем^[13][14].

Неэквивалентность норм и сходимостей. В ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ все нормы эквивалентны; в бесконечномерном случае это не так (${\displaystyle \|x\|_{\infty }\leqslant \|x\|_{2}}$ на ${\displaystyle c_{00}}$, но обратной оценки нет). Различаются и типы сходимости: сильная (по норме), слабая (${\displaystyle f(x_{n})\to f(x)}$ для всех функционалов ${\displaystyle f}$), поточечная; например, орты ${\displaystyle e_{n}\rightharpoonup 0}$ слабо, но не сильно^[2][20].

Роль слабой топологии. Из-за некомпактности шара в сильной топологии, в бесконечномерном анализе фундаментальную роль играет слабая топология (и слабая* топология для сопряжённых пространств). Согласно теореме Банаха — Алаоглу, замкнутый единичный шар в сопряжённом пространстве ${\displaystyle X^{*}}$ компактен в слабой* топологии, что позволяет применять компактные рассуждения (например, при доказательстве существования решений вариационных задач)^[13][2].

Различие сопряжённых пространств. В бесконечномерном нормированном пространстве ${\displaystyle X}$ пространство всех линейных функционалов (алгебраическое сопряжённое ${\displaystyle X^{\#}}$) имеет строго бóльшую алгебраическую размерность, чем пространство непрерывных линейных функционалов (топологическое сопряжённое ${\displaystyle X^{*}}$). Более того, размерность самого пространства ${\displaystyle X}$ и его топологического сопряжённого ${\displaystyle X^{*}}$ могут быть разными (например, для ${\displaystyle \ell ^{1}}$ сопряжённым является ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$, которые не изоморфны)^[12][14].

Теорема Хана — Банаха. Гарантирует возможность продолжения непрерывного линейного функционала с подпространства на всё пространство без увеличения его нормы. В бесконечномерном случае это нетривиальный факт, зависящий от аксиомы выбора (леммы Цорна), который обеспечивает «богатство» пространства сопряжённых функционалов^[2][20].

Спектр оператора. У оператора в конечномерном пространстве конечное число собственных значений; в бесконечномерном спектр может быть дискретным с точкой накопления (спектральная теорема), а может быть и непрерывным. Ключевой факт: спектр компактного оператора — не более чем счётен и накапливается лишь к нулю^[8][21].

• Математическая физика и квантовая механика. Состояние квантовой системы — вектор (луч) в бесконечномерном гильбертовом пространстве ${\displaystyle L^{2}}$; наблюдаемые — самосопряжённые операторы, спектр которых — наблюдаемые значения (спектральная теорема). Уравнение Шрёдингера — эволюция в бесконечномерном пространстве^[22][23].
• Уравнения с частными производными. Слабые решения живут в пространствах Соболева; существование и единственность доказываются через компактность вложений (Реллиха — Кондрашова) — бесконечномерный аналог теоремы Больцано — Вейерштрасса для «узких» множеств^[18].
• Обработка сигналов и сжатие данных. Ряды Фурье, вейвлет-разложения и JPEG/MPEG-кодирование — вычисление первых координат в ортонормированном базисе бесконечномерного пространства; оценки скорости опираются на гладкость (убывание коэффициентов)^[24].
• Машинное обучение. Метод опорных векторов и гауссовы процессы работают в пространствах с воспроизводящим ядром — бесконечномерных гильбертовых пространствах функций; «ядерный трюк» — вычисление скалярных произведений без явных координат^[25][26].
• Теория вероятностей. Случайные процессы — случайные элементы бесконечномерных пространств (броуновское движение — в ${\displaystyle C[0,1]}$); принцип инвариантности Донскера — компактность множеств траекторий (Арьела — Асколи)^[27][28].
• Численный анализ. Методы Галёркина и конечных элементов аппроксимируют бесконечномерную задачу конечномерными: сходимость — это сходимость проекций на растущие подпространства (лемма Сеа)^[29][30].
• Оптимизация. Выпуклый анализ в бесконечномерных пространствах (теоремы отделимости, Куна — Таккера в гильбертовых пространствах, метод проекции градиента) — основа задач оптимального управления и вариационных неравенств^[20][31].