Сила Кориолиса в гидроаэромеханике

В системе координат, вращающейся с угловой скоростью ${\displaystyle \mathbf {\omega } ,}$ материальная точка, движущаяся с относительной скоростью ${\displaystyle \mathbf {v} ,}$ участвует в сложном движении и, согласно теореме Кориолиса, приобретает добавочное поворотное ускорение, или кориолисово ускорение, равное векторному произведению ${\displaystyle 2\mathbf {\omega } \times \mathbf {v} }$. При этом считается, что псевдовектор ${\displaystyle \mathbf {\omega } }$ направлен по оси вращения согласно правилу правого винта.

Если ${\displaystyle \mathbf {v} }$ — вектор относительной скорости потока жидкости или газа, обладающего плотностью ${\displaystyle \rho ,}$ то во вращающейся системе координат вектор силы Кориолиса, приходящийся на единицу объёма, равен:

${\displaystyle \mathbf {F_{c}} ={-}2\mathbf {\omega } \times \rho \mathbf {v} .\qquad (1)}$

В гидроаэромеханике скорость потока и характеристики состояния вещества, в том числе плотность, подвержены флуктуациям разной природы — тепловое движение молекул, звуковые колебания, турбулентность. Влияние гидродинамических флуктуаций на динамику потока исследуется методами статистической гидромеханики. В статистической гидромеханике уравнения движения, описывающие поведение средних характеристик потока, в соответствии с методом О. Рейнольдса получаются путём осреднения уравнений Навье — Стокса^[4]. Если, следуя методу О. Рейнольдса, представить ${\displaystyle \rho ={\overline {\rho }}+\rho ',\ \mathbf {v={\overline {v}}+v'} ,}$ где черта сверху — знак осреднения, а штрих — отклонения от среднего, то вектор осреднённой плотности импульса^[4] приобретёт вид:

${\displaystyle {\overline {\rho \mathbf {v} }}={\overline {\rho }}~{\overline {\mathbf {v} }}+\mathbf {S} ,\qquad (2)}$

где ${\displaystyle \mathbf {S} ={\overline {\rho '\mathbf {v} '}}}$ — вектор плотности флуктуационного потока массы (или «плотность турбулентного импульса»^[4]). Усредняя силу Кариолиса из (1) и учитывая формулу (2), получим, что плотность усреднённой силы Кориолиса будет состоять из двух частей:

${\displaystyle {\overline {\mathbf {F_{c}} }}={-}2\mathbf {\omega } \times ({\overline {\rho }}~{\overline {\mathbf {v} }}+\mathbf {S} ).\qquad (3)}$

Таким образом, в турбулентной среде возникла вторая часть силы Кориолиса, называемая «плотностью турбулентной силы Кориолиса». Она приводит к появлению в гидродинамических явлениях дополнительных эффектов, отсутствующих в механике твёрдого тела.

Наиболее важную роль сила Кориолиса играет в глобальных геофизических процессах. Равновесие горизонтальной компоненты силы барического градиента и силы Кориолиса приводит к установлению потока, скорость которого направлена вдоль изобар (геострофический ветер). За исключением экваториальной зоны за пределами планетарного пограничного слоя движение атмосферы близко к геострофическому. Дополнительный учёт центробежной силы и силы трения даёт более точный результат. Совместное действие этих сил приводит к формированию в атмосфере циклонов, в которых ветер вращается против часовой стрелки в Северном полушарии, оставляя область низкого давления слева от себя. В антициклоне, в центре которого находится область повышенного давления, вращение происходит в противоположном направлении^[5]. В Южном полушарии направление вращения изменяется на противоположное.

Циклоны и антициклоны — это крупномасштабные вихри, участвующие в общей циркуляции атмосферы. В тропосфере в целом, под действием силы барического градиента и силы Кориолиса формируется общая циркуляция атмосферы. В каждом полушарии образуются по три циркуляционных ячейки: от экватора до широты 30° — ячейка Хэдли, примерно между 30° и 65° — ячейка Феррела, и в полярной области — Полярная ячейка. Атмосферная тепловая машина приводит эти шесть «колёс» циркуляции во вращение. Сила Кориолиса, отклоняя ветер, циркулирующий в вертикальной плоскости, приводит к появлению пассатов — восточных ветров в нижней части атмосферы в тропическом поясе. Отклоняющее действие силы Кориолиса в ячейке Феррела приводит к преобладанию западных ветров умеренного пояса. В верхней части тропосферы направление ветров противоположное.

Сила Кориолиса аналогичным образом участвует в формировании общей циркуляции океана.

В пограничных слоях атмосферы и океана, в том числе в переходном слое между атмосферой и океаном, наряду с силой Кориолиса и силой барического градиента существенную роль играет также и сила внутреннего трения. Действие трения в пограничном слое (слое Экмана) приводит к отклонению ветра от геострофического в область пониженного давления. В результате в нижней части циклона воздух направляется к его центру. Происходит «всасывание» воздуха, поднимающегося в центре циклона вверх, что из-за конденсации водяного пара приводит к выделению теплоты парообразования, образованию осадков и поддержанию энергии его вращения. В антициклонах движение ветра противоположное, что приводит к опусканию воздуха в его центре и рассеиванию облаков. По мере удаления от подстилающей поверхности роль силы трения падает, что приводит к повороту вектора скорости потока в сторону направления геострофического ветра. Поворот ветра с высотой в пограничном слое атмосферы на угол ~ 20—40° называется «спираль Экмана». Этот эффект наглядно проявляется в отклонении направления дрейфа льда от вектора скорости геострофического ветра, впервые обнаруженного Ф. Нансеном во время полярной экспедиции 1893—1896 гг. на судне «Фрам». Теорию явления представил В.Экман в 1905 году.

В инерциальной системе отсчёта инерционным является равномерное и прямолинейное движение, а на вращающейся планете на каждую материальную точку (а также на поток), свободно двигающуюся по искривлённой траектории, действуют две силы инерции — центробежная сила и сила Кориолиса. Эти силы могут уравновешивать друг друга. Пусть ${\displaystyle \ v}$ — относительная линейная скорость точки, направленная в горизонтальной плоскости по часовой стрелке в Северном, и против часовой стрелки — в Южном полушарии (как в антициклоне). Тогда равновесие сил инерции наступает, если

${\displaystyle {\frac {v^{2}}{R}}=fv}$,

где ${\displaystyle \ R=v/f}$ — радиус кривизны траектории частицы, ${\displaystyle \ f=2\omega \sin \varphi }$ — параметр Кориолиса, ${\displaystyle \varphi }$ — географическая широта. В отсутствии других сил равновесие силы Кориолиса и центробежной силы приведёт к вращению частицы (потока) по дуге, называемой «круг инерции», имеющей радиус ${\displaystyle \ R}$. Материальная точка совершает полный оборот по кругу инерции за период, равный ${\displaystyle \ 2\pi /f}$ — половине маятниковых суток.

В средних широтах параметр Кориолиса имеет порядок 10⁻⁴ с⁻¹. Геострофическая скорость в тропосфере составляет около 10 м/с, чему соответствует круг инерции с радиусом около 100 км. Средней скорости течения в океане 10 см/с соответствует круг инерции, имеющий радиус порядка 1 км. Циркуляция потока по кругу инерции образует антициклонический вихрь, для возникновения которого не требуется каких-либо иных причин, кроме инерции^[6].

Если для жидкости (или газа) сила Кориолиса является основной силой, возвращающей частицу в состояние равновесия, то её действие приводит к появлению планетарных инерционных волн (называемых также «инерционными колебаниями»). Период таких колебаний равен ${\displaystyle \ 2\pi /f}$, а колебательный процесс развивается в направлении, поперечном к вектору скорости распространения волн. Математическое описание инерционных волн можно, в частности, получить в рамках теории мелкой воды^[7]. В средних широтах период инерционных колебаний порядка 17 часов.

Изменение параметра Кориолиса с широтой создаёт условия для возникновения в атмосфере, или в океане, волн Россби. Эти волны приводят к меандрированию струйных течений, в результате чего и формируются основные синоптические процессы.

В гидромеханике величина механической работы, производимой силой в единице объёма за единицу времени (то есть мощность), есть скалярное произведение вектора силы на вектор скорости потока. (Считается, что понятие работы было введено в механику Кориолисом). Поскольку в механике материальной точки сила Кориолиса всегда направлена под прямым углом к её скорости, работа этой силы тождественно равна нулю. Поэтому сила Кориолиса не может изменить кинетическую энергию в целом, однако она может отвечать за перераспределение этой энергии между её компонентами. В статистической гидромеханике существует два уравнения кинетической энергии — уравнение кинетической энергии упорядоченного движения и уравнение баланса энергии турбулентности^[4]. При этом возникает понятие работы турбулентной силы Кориолиса, определяющей обмен кинетической энергией между упорядоченным и турбулентным движением, происходящим под действием этой силы^[8]. За единицу времени в единице объёма турбулентная сила Кориолиса производит работу, равную:

${\displaystyle \ N_{c}=(\mathbf {{\overline {F_{c}}}{\overline {v}}} )=-2\mathbf {(\omega \times S{\overline {v}})} }$.

Положительному значению ${\displaystyle \ N_{c}}$ соответствует переход кинетической энергии упорядоченного движения в энергию турбулентности^[4] .

Сила Кориолиса играет ключевую роль в геофизической гидродинамике, однако, вклад в энергетику гидродинамических процессов вносит только работа относительно малой, но важной, турбулентной силы Кориолиса. Анализ аэрологических данных^[9] указывает на то, что этот эффект даёт основной вклад в энергию упорядоченного движения, приводящий к суперротации атмосферы.

Аналогичные физические механизмы, основанные на действии силы Кориолиса, формируют циркуляцию атмосферы на других планетах, (возможно) циркуляцию в жидком ядре планет, а также в звёздах, в аккреционных дисках, в газовых компонентах вращающихся галактик^[10][11][12].

Если жидкость (или газ) неоднородна (в частности, если она неравномерно нагрета), то в ней возникает флуктуационный поток вещества ${\displaystyle \ \mathbf {S\neq 0} }$. Этот поток зависит как от градиента плотности, так и от энергии турбулентных флуктуаций. Во вращающейся жидкости этот поток порождает турбулентную силу Кориолиса, работа которой приводит к обратимому обмену кинетической энергии между упорядоченной и турбулентной компонентами. Но поскольку турбулентный поток вещества зависит от энергии турбулентности, то возникает обратная связь. При благоприятных условиях такая обратная связь приводит к возникновению так называемой гиротурбулентной неустойчивости^[13]. В процессе гиротурбулентных колебаний происходит периодическая перекачка энергии между упорядоченной и неупорядоченной формами движения. Поскольку эти колебания возникают в результате действия турбулентной силы Кориолиса, то их следует рассматривать как особый вид инерционных колебаний.

Турбулентная сила Кориолиса — величина сравнительно малая. Но, несмотря на это, гиротурбулентная неустойчивость отвечает за сравнительно медленные, но очень мощные геофизические и астрофизические природные процессы типа цикла индекса.