Закон Гука

Для тонкого растяжимого стержня закон Гука имеет вид:

${\displaystyle F=k\Delta l.}$

Здесь ${\displaystyle F}$ — сила, которой растягивают (сжимают) стержень, ${\displaystyle \Delta l}$ — абсолютное удлинение (сжатие) стержня, а ${\displaystyle k}$ — коэффициент упругости (или жёсткости).

Коэффициент упругости зависит как от свойств материала, так и от размеров стержня. Можно выделить зависимость от размеров стержня (площади поперечного сечения ${\displaystyle S}$ и длины ${\displaystyle L}$) явно, записав коэффициент упругости как

${\displaystyle k={\frac {ES}{L}}.}$

Величина ${\displaystyle E}$ называется модулем упругости первого рода, или модулем Юнга и является механической характеристикой материала.

Если ввести относительное удлинение

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\Delta l}{L}}}$

и нормальное напряжение в поперечном сечении

${\displaystyle \sigma ={\frac {F}{S}},}$

то закон Гука для относительных величин запишется как

${\displaystyle \sigma =E\varepsilon \ .}$

В такой форме он справедлив для любых малых объёмов материала.

Также при расчёте прямых стержней применяют запись закона Гука в относительной форме

${\displaystyle \Delta l={\frac {FL}{ES}}.}$

Закон Гука лежит в основе измерения сил пружинным механическим динамометром^[2]. В этом приборе измеряемая сила передаётся пружине, которая в зависимости от направления силы сжимается или растягивается. Величина упругой деформации пружины пропорциональна силе воздействия и регистрируется^[3].

Принципиальная возможность измерения обеспечивается уже свойством упругости, но без закона Гука упомянутая пропорциональность отсутствовала бы и градуировочная шкала стала бы неравномерной, что неудобно.

В общем случае напряжения и деформации описываются тензорами второго ранга в трёхмерном пространстве (имеют по 9 компонент). Связывающий их тензор упругих постоянных является тензором четвёртого ранга ${\displaystyle C_{ijkl}}$ и содержит 81 коэффициент. Вследствие симметрии тензора ${\displaystyle C_{ijkl}}$, а также тензоров напряжений и деформаций, независимыми являются только 21 постоянная. Закон Гука выглядит следующим образом:

${\displaystyle \sigma _{ij}=\sum _{kl}C_{ijkl}\cdot \varepsilon _{kl},}$

где ${\displaystyle \sigma _{ij}}$ — тензор напряжений, ${\displaystyle \varepsilon _{kl},}$ — тензор деформаций. Для изотропного материала тензор ${\displaystyle C_{ijkl}}$ содержит только два независимых коэффициента.

Благодаря симметрии тензоров напряжения и деформации, закон Гука может быть представлен в матричной форме.

Для линейно упругого изотропного тела:

${\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {\sigma _{x}}{E}}-{\frac {\mu }{E}}\sigma _{y}-{\frac {\mu }{E}}\sigma _{z}}$

${\displaystyle \varepsilon _{y}={\frac {\sigma _{y}}{E}}-{\frac {\mu }{E}}\sigma _{x}-{\frac {\mu }{E}}\sigma _{z}}$

${\displaystyle \varepsilon _{z}={\frac {\sigma _{z}}{E}}-{\frac {\mu }{E}}\sigma _{x}-{\frac {\mu }{E}}\sigma _{y}}$

${\displaystyle \gamma _{xy}={\frac {\tau _{xy}}{G}}}$

${\displaystyle \gamma _{yz}={\frac {\tau _{yz}}{G}}}$

${\displaystyle \gamma _{xz}={\frac {\tau _{xz}}{G}}}$

где:

• ${\displaystyle E}$ — модуль Юнга;
• ${\displaystyle \mu }$ — коэффициент Пуассона;
• ${\displaystyle G={\frac {E}{2(1+\mu )}}}$ — модуль сдвига.