Интегрирование рациональных функций

Интегрирование рациональных функций
Интегрирование рациональных функций
Область использования	Интегральное исчисление, Математический анализ, Компьютерная алгебра, Теория управления
Дата появления	XVII—XIX века (ключевые этапы: 1670, 1702, 1833, 1845, 1872)
Место появления	Европа (Великобритания, Германия, Франция, Россия)
Автор понятия	И. Барроу, Г. В. Лейбниц, Ж. Лиувилль, М. В. Остроградский, Ш. Эрмит
Ключевые слова	неопределённый интеграл, рациональная функция, разложение на простейшие, метод Остроградского, алгоритм Риша
Базовые понятия	Многочлен, Рациональная функция, Первообразная, Элементарные функции, Вычет

Интегрирование рациональных функций
Интегрирование рациональных функций
Область использования	Интегральное исчисление, Математический анализ, Компьютерная алгебра, Теория управления
Дата появления	XVII—XIX века (ключевые этапы: 1670, 1702, 1833, 1845, 1872)
Место появления	Европа (Великобритания, Германия, Франция, Россия)
Автор понятия	И. Барроу, Г. В. Лейбниц, Ж. Лиувилль, М. В. Остроградский, Ш. Эрмит
Ключевые слова	неопределённый интеграл, рациональная функция, разложение на простейшие, метод Остроградского, алгоритм Риша
Базовые понятия	Многочлен, Рациональная функция, Первообразная, Элементарные функции, Вычет

Интегрирование рациональных функций базируется на их разложении на простейшие дроби, что сводит задачу к вычислению интегралов от многочленов и элементарных дробей. Для работы с квадратичными знаменателями применяются выделение производной, тригонометрические подстановки или рекуррентные формулы для высоких степеней. В результате первообразная любой рациональной функции всегда представляется как сумма рациональной функции, натуральных логарифмов и арктангенсов, что отражает фундаментальную структуру таких интегралов.

Разложение рациональной функции на простейшие дроби позволяет свести задачу её интегрирования к вычислению суммы интегралов от многочлена и элементарных дробей с линейными или квадратичными знаменателями.

Для интегрирования дробей вида (ax+b)/(rx²+px+q) в числителе выделяется производная знаменателя, что позволяет разбить интеграл на логарифмическую часть и интеграл от дроби с константой в числителе.

Для вычисления интегралов вида I_k = ∫1/((cx+d)²+e)^k dx применяется рекуррентная формула, позволяющая последовательно находить значения интегралов при увеличении степени знаменателя k.

Интегрирование рациональных дробей указанного вида также может быть выполнено с помощью применения метода тригонометрической подстановки для упрощения исходного математического выражения.

Интеграл от любой рациональной функции всегда выражается через сумму рациональной функции, логарифмов и арктангенсов, что вытекает из методов разложения на простейшие дроби.

Интегри́рование рациона́льных фу́нкций — операция взятия неопределённого интеграла от рациональной функции. Первообразная рациональной функции всегда выражается в виде суммы рациональной функции, натуральных логарифмов и арктангенсов — это одна из немногих задач интегрирования, имеющих полное алгоритмическое решение^[1]^[2]. Обычно такое интегрирование выполняется при помощи разложения дроби на простейшие, однако иногда используются и другие способы, например метод Остроградского выделения рациональной части.

Первое интегрирование с разложением на простейшие выполнил Исаак Барроу в 1670 году: в «Лекциях по геометрии» он вычислил интеграл от секанса, представив подынтебральное выражение суммой простейших дробей геометрическим способом (через пропорции прямоугольного треугольника, что эквивалентно универсальной тригонометрической подстановке)^[3].

Систематическое применение разложения на простейшие в анализе начал Готфрид Лейбниц: в статье 1702 года в Acta Eruditorum он раскладывал рациональные дроби для интегрирования и наткнулся на знаменитую трудность — интеграл $\textstyle \int {\frac {dx}{1+x^{4}}}$ , потребовавший разложения $x^{4}+1$ на множители. Лейбниц ошибочно считал этот многочлен неприводимым над $\mathbb {R}$ ; правильное разложение $x^{4}+1=(x^{2}+{\sqrt {2}}x+1)(x^{2}-{\sqrt {2}}x+1)$ было впервые получено Иоганном Бернулли в 1719 году^[4]. Роджер Котс в посмертном трактате «Harmonia Mensurarum» (1722)^[5] дал общие формулы разложения дробей со знаменателем — степенным двучленом, связав коэффициенты с производными (по существу — формулу, позже переоткрытую Хевисайдом); Эйлер высоко ценил эти формулы и широко пользовался ими.

Теоретическое завершение тема получила в XIX веке: Жозеф Лиувилль (1833—1835)^[6]^[7] разработал общую теорию элементарных интегралов, из которой, в частности, следует, что первообразная рациональной функции всегда элементарна и имеет указанный выше общий вид. Михаил Остроградский в 1845 году опубликовал в петербургском бюллетене Академии наук способ выделения рациональной части интеграла без разложения знаменателя на множители^[8]. Шарль Эрмит в 1872 году предложил свой метод редукции, ставший основным рабочим инструментом современной символьной математики^[9]. Во второй половине XIX века практический приём быстрого нахождения коэффициентов при старших степенях линейных множителей популяризовал Оливер Хевисайд в работах по операционному исчислению.

В XX веке алгоритмическая природа задачи стала основой систем компьютерной алгебры: алгоритм Риша (1969) решает в конечном виде вопрос об элементарности интеграла от любой элементарной функции, и его «рациональная» часть — в точности редукция Эрмита — Остроградского.

Основным способом интегрирования рациональной функции является разложение дроби на простейшие. Впервые оно было использовано Исааком Барроу для вычисления интеграла от секанса^[10].

По следствию из основной теоремы алгебры, любую правильную рациональную функцию можно представить в виде суммы конечного числа дробей определённого вида, называемых простейшими (неправильная дробь предварительно представляется в виде суммы многочлена и правильной дроби). Простейшая дробь над действительными числами — это дробь одного из следующих двух видов:

${\frac {A}{(x-x_{0})^{k}}}$
${\frac {Bx+C}{(x^{2}+px+q)^{k}}}$ , где $x^{2}+px+q$ — квадратный трёхчлен с отрицательным дискриминантом.

Каждая из таких дробей затем интегрируется отдельно. Таким образом, разложение дроби на простейшие сводит задачу интегрирования произвольной рациональной функции к интегрированию простейших дробей^[11].

Разложение дроби на простейшие строится следующим образом. Пусть требуется построить разложение дроби ${\frac {P(x)}{Q(x)}}$ . Без ограничения общности можно считать, что дробь несократимая и знаменатель имеет коэффициент $1$ при старшей степени (если это не так, то сократим дробь и внесём старший коэффициент знаменателя в числитель). Правильная дробь в своём разложении на простейшие содержит только сумму правильных дробей, неправильная же — ещё и многочлен. Однако случай неправильной дроби просто сводится к случаю правильной: числитель дроби делят с остатком на знаменатель; полученные неполное частное $G(x)$ и остаток $R(x)$ позволяют представить исходную дробь в виде ${\frac {P(x)}{Q(x)}}=G(x)+{\frac {R(x)}{Q(x)}}$ . Дробь ${\frac {R(x)}{Q(x)}}$ уже является правильной и может быть разложена в сумму одних только простейших дробей. Если же дробь ${\frac {P(x)}{Q(x)}}$ изначально была правильной, этот шаг не нужен.

Разложение правильной дроби может иметь лишь простейшие слагаемые определённого вида, зависящего только от многочлена $Q(x)$ . Любой приведённый многочлен (то есть со старшим коэффициентом 1) над действительными числами раскладывается в произведение приведённых линейных двучленов и приведённых квадратных трёхчленов с отрицательными дискриминантами. Разложим знаменатель дроби в такое произведение:

Q(x)=(x-x_{1})^{k_{1}}\dots (x-x_{l})^{k_{l}}(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{m_{1}}\dots (x^{2}+p_{n}x+q_{n})^{m_{n}}

(здесь

k_{j}

и

m_{j}

— кратности соответствующих множителей, то есть число раз, которое множитель входит в произведение).

Все простейшие дроби в разложении содержат в знаменателе степень одного из таких множителей, причём эта степень меньше или равна кратности соответствующего множителя. Например: если в разложении $Q(x)$ содержится множитель $(x-x_{0})^{k}$ , то в разложении на простейшие дроби содержится сумма

{\frac {A_{1}}{x-x_{0}}}+{\frac {A_{2}}{(x-x_{0})^{2}}}+{\frac {A_{3}}{(x-x_{0})^{3}}}+\dots +{\frac {A_{k}}{(x-x_{0})^{k}}}

Аналогично, если в разложении $Q(x)$ содержится множитель $(x^{2}+px+q)^{m}$ , то в разложении на простейшие дроби содержится сумма

{\frac {B_{1}x+C_{1}}{x^{2}+px+q}}+{\frac {B_{2}x+C_{2}}{(x^{2}+px+q)^{2}}}+\dots +{\frac {B_{m}x+C_{m}}{(x^{2}+px+q)^{m}}}

Общий вид разложения правильной дроби на простейшие представляет собой сумму всех таких сумм для каждого множителя в разложении многочлена $Q(x)$ :

{\frac {R(x)}{Q(x)}}=\sum _{j=1}^{l}\sum _{i=1}^{k_{j}}{\frac {A_{ji}}{(x-x_{j})^{i}}}+\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{m_{j}}{\frac {B_{ji}x+C_{ji}}{(x^{2}+p_{j}x+q_{j})^{i}}}

При этом некоторые слагаемые могут быть равны нулю.

На практике факторизация знаменателя может быть затруднена: при степени многочлена 5 и выше его корни, вообще говоря, не выражаются в радикалах (согласно теореме Абеля — Руффини). В таких случаях коэффициенты разложения либо записываются через алгебраические числа, либо задача решается численно, либо применяется метод Остроградского, позволяющий выделить рациональную часть без явного нахождения корней.

Полезную связь даёт логарифмическая производная: если знаменатель факторизован как $Q(x)=\prod (x-x_{i})^{k_{i}}$ , то его логарифмическая производная ${\frac {Q'(x)}{Q(x)}}=\sum {\frac {k_{i}}{x-x_{i}}}$ автоматически даёт разложение на простейшие дроби с известными коэффициентами.

Общий вид разложения нужен для наиболее известного способа его построения — метода неопределённых коэффициентов. Его суть заключается в составлении уравнений на неизвестные коэффициенты разложения: записывается равенство правильной дроби и её разложения на простейшие с неопределёнными коэффициентами, затем каким-либо способом составляются уравнения на эти коэффициенты, и система решается^[12].

Наиболее очевидный способ составления уравнений — умножить обе части на многочлен $Q(x)$ и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях $x$ . Процедуру разложения проще всего описать на примерах.

Пример 1. Приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях

${\frac {1}{(x-1)^{2}(x-2)}}$ .

Записываем общий вид разложения на простейшие с неопределёнными коэффициентами:

{\frac {1}{(x-1)^{2}(x-2)}}={\frac {A}{x-1}}+{\frac {B}{(x-1)^{2}}}+{\frac {C}{x-2}}

Умножаем на $Q(x)$ :

1=A(x-1)(x-2)+B(x-2)+C(x-1)^{2}

Раскрываем скобки:

1=Ax^{2}-2Ax-Ax+2A+Bx-2B+Cx^{2}-2Cx+C

1=(A+C)x^{2}+(-3A+B-2C)x+(2A-2B+C)

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях:

{\begin{cases}A+C=0,\\-3A+B-2C=0,\\2A-2B+C=1;\end{cases}}

Получили систему уравнений. Решаем её. Из первого уравнения:

A=-C

Подставляем во второе и третье:

{\begin{cases}3C+B-2C=0,\\-2C-2B+C=1;\end{cases}}

{\begin{cases}C+B=0,\\-C-2B=1;\end{cases}}

Складываем уравнения:

-B=1

B=-1

Из первого уравнения последней системы:

C=-B=1

Из полученного в начале соотношения на $A$ :

A=-C=-1

Все коэффициенты разложения найдены:

{\frac {1}{(x-1)^{2}(x-2)}}=-{\frac {1}{x-1}}-{\frac {1}{(x-1)^{2}}}+{\frac {1}{x-2}}

Пример 2. Подстановка корней знаменателя

Уравнения, получаемые простым приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях, часто довольно сложные. Для получения более простых уравнений часто используют подстановки вместо $x$ определённых значений.

{\frac {1}{(x-1)^{3}(x-2)}}={\frac {A}{x-1}}+{\frac {B}{(x-1)^{2}}}+{\frac {C}{(x-1)^{3}}}+{\frac {D}{x-2}}

Умножаем на $Q(x)$ :

1=A(x-1)^{2}(x-2)+B(x-1)(x-2)+C(x-2)+D(x-1)^{3}

Удобнее всего подставлять значения, обнуляющие слагаемые. Подставим 1:

1=-C

C=-1

Подставим 2:

1=D

Подстановка корней знаменателя помогает очень легко находить коэффициенты дробей со старшей степенью в знаменателе. Если бы мы приравнивали коэффициенты при равных степенях, уравнения были бы гораздо сложнее. Однако, как видно из примера, для нахождения остальных коэффициентов нужно использовать другие приёмы.

Для нахождения коэффициента при первой степени знаменателя можно использовать подстановку бесконечности:

{\frac {1}{(x-1)^{3}(x-2)}}={\frac {A}{x-1}}+{\frac {B}{(x-1)^{2}}}-{\frac {1}{(x-1)^{3}}}+{\frac {1}{x-2}}

Умножим обе части на $x-1$ :

{\frac {1}{(x-1)^{2}(x-2)}}=A+{\frac {B}{x-1}}-{\frac {1}{(x-1)^{2}}}+{\frac {x-1}{x-2}}

Подставим бесконечность. Под подстановкой бесконечности здесь понимается предел при стремлении $x$ к бесконечности, то есть

{\frac {F(x)}{H(x)}}{\Bigg |}_{x=\infty }=\lim _{x\to \infty }{\frac {F(x)}{H(x)}}

В свою очередь предел при стремлении аргумента к бесконечности очень просто определяется: если степень числителя больше степени знаменателя, то предел — $\infty$ , если меньше, то предел равен 0, если равна, то предел равен отношению коэффициентов при старших степенях.

Вернёмся к нашему примеру. Подставим бесконечность:

0=A+1

A=-1

Оставшийся коэффициент можно найти приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях $x$ . Проще всего приравнять свободные члены, поскольку их можно посчитать сразу, без долгого раскрытия скобок:

1=-(x-1)^{2}(x-2)+B(x-1)(x-2)-(x-2)+(x-1)^{3}

Приравниваем свободные члены:

1=2+2B+2-1

2B=-2

B=-1

Все коэффициенты найдены:

{\frac {1}{(x-1)^{3}(x-2)}}=-{\frac {1}{x-1}}-{\frac {1}{(x-1)^{2}}}-{\frac {1}{(x-1)^{3}}}+{\frac {1}{x-2}}

Последний приём также довольно удобен на практике: старший и свободный члены легко получить без раскрытия скобок, поэтому он применяется наряду с подстановками.

Пример 3. Подстановка комплексных корней знаменателя

Корни многочленов с отрицательным дискриминантом не являются действительными. Однако ничего не мешает подставить в уравнение комплексный корень:

{\frac {1}{(x-1)(x^{2}+1)^{2}}}={\frac {A}{x-1}}+{\frac {Bx+C}{(x^{2}+1)}}+{\frac {Dx+E}{(x^{2}+1)^{2}}}

Умножим на знаменатель:

1=A(x^{2}+1)^{2}+(Bx+C)(x^{2}+1)(x-1)+(Dx+E)(x-1)

Подставляем $1$ :

1=4A

A={\frac {1}{4}}

Подставим $i$ :

1=(Di+E)(i-1)

А теперь приравняем действительную и мнимую части, чтобы получить уравнения с действительными числами:

1=-D-Di+Ei-E

{\begin{cases}1=-D-E,\\0=-D+E;\end{cases}}

-2D=1

D=-{\frac {1}{2}}

E=D=-{\frac {1}{2}}

Подстановка сопряжённого корня $-i$ после приравнивания действительной и мнимой частей даст те же самые уравнения, поэтому для нахождения оставшихся коэффициентов она не имеет смысла.

Коэффициент $C$ найдём приравниванием свободных членов:

1={\frac {1}{4}}-C+{\frac {1}{2}}

C=-{\frac {1}{4}}

Коэффициент $B$ найдём подстановкой бесконечности:

{\frac {1}{(x-1)(x^{2}+1)^{2}}}={\frac {\frac {1}{4}}{x-1}}+{\frac {Bx-{\frac {1}{4}}}{(x^{2}+1)}}+{\frac {-{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{2}}}{(x^{2}+1)^{2}}}

Умножаем на $x-1$ :

{\frac {1}{(x^{2}+1)^{2}}}={\frac {1}{4}}+{\frac {\left(Bx-{\frac {1}{4}}\right)(x-1)}{(x^{2}+1)}}+{\frac {\left(-{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{2}}\right)(x-1)}{(x^{2}+1)^{2}}}

Подставляем бесконечность:

0={\frac {1}{4}}+B

B=-{\frac {1}{4}}

Все коэффициенты найдены:

{\frac {1}{(x-1)(x^{2}+1)^{2}}}={\frac {\frac {1}{4}}{x-1}}+{\frac {-{\frac {1}{4}}x-{\frac {1}{4}}}{(x^{2}+1)}}+{\frac {-{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{2}}}{(x^{2}+1)^{2}}}

Вообще подставлять можно абсолютно любое значение, не обязательно корень знаменателя или бесконечность. В особо трудных случаях это может быть проще, чем расчёт и приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях $x$ .

Пример 4. Разложение простыми преобразованиями

Иногда разложение на простейшие можно получить просто преобразовывая выражения:

{\frac {x^{2}-1}{x(x^{2}+1)^{2}}}={\frac {x^{2}-(x^{2}+1)+x^{2}}{x(x^{2}+1)^{2}}}={\frac {2x}{(x^{2}+1)^{2}}}-{\frac {1}{x(x^{2}+1)}}={\frac {2x}{(x^{2}+1)^{2}}}-{\frac {(x^{2}+1)-x^{2}}{x(x^{2}+1)}}={\frac {2x}{(x^{2}+1)^{2}}}-{\frac {1}{x}}+{\frac {x}{x^{2}+1}}

Пример 5. Метод прикрытия Хевисайда и метод вычетов

Для расчёта коэффициентов при дробях с линейным двучленом в знаменателе существует прямая формула. Пусть в разложении $Q(x)$ на неприводимые множители есть линейный множитель $x-a$ , $m$ — его кратность. В разложении на простейшие содержатся слагаемые вида ${\frac {B_{k}}{(x-a)^{k}}}$ , где $1\leqslant k\leqslant m$ . Тогда:

B_{k}={\frac {1}{(m-k)!}}\left({\frac {P(x)(x-a)^{m}}{Q(x)}}\right)^{(m-k)}{\Bigg |}_{x=a}

^[13]

Здесь имеется в виду подстановка после сокращения дроби, поскольку простая подстановка $a$ в числитель и знаменатель даст деление на $0$ .

Покажем на примере:

{\frac {x}{(x+1)^{2}(x-4)}}

Считаем коэффициент при ${\frac {1}{x-4}}$ :

{\frac {4}{(4+1)^{2}}}={\frac {4}{25}}

Считаем коэффициент при ${\frac {1}{(x+1)^{2}}}$ :

{\frac {-1}{-1-4}}={\frac {1}{5}}

Считаем коэффициент при ${\frac {1}{x+1}}$ :

\left({\frac {x}{x-4}}\right)'={\frac {(x-4)-x}{(x-4)^{2}}}={\frac {-4}{(x-4)^{2}}}

{\frac {-4}{(-1-4)^{2}}}=-{\frac {4}{25}}

Все коэффициенты найдены:

{\frac {x}{(x+1)^{2}(x-4)}}={\frac {\frac {4}{25}}{x-4}}+{\frac {\frac {1}{5}}{(x+1)^{2}}}-{\frac {\frac {4}{25}}{x+1}}

Прямая формула даёт очень простой способ вычисления коэффициентов при дробях с первой степенью линейного двучлена и позволяет почти устно находить разложение. Поэтому случай $k=m$ выделяют отдельно: вычисляя коэффициент при ${\frac {1}{(x-a)^{m}}}$ , подставляют в «укороченную» дробь значение $a$ , «прикрыв» в знаменателе множитель $(x-a)^{m}$ . Отсюда название — метод «прикрытия» Хевисайда.

Способ вычисления коэффициентов по общей формуле также иногда называют методом вычетов, так как по аналогичной формуле считаются комплексные вычеты. Таким образом, задача сведена к интегрированию простейших дробей.

Несколько интегралов от рациональных функций целесообразно запомнить, чтобы далее сводить к ним более сложные^[12]:

$\int x^{\alpha }\,dx={\frac {1}{\alpha +1}}x^{\alpha +1}+C$ , если $\alpha \neq -1$ ;
$\int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln |x|+C$ ;
$\int {\frac {1}{x^{2}+a^{2}}}\,dx={\frac {1}{a}}\operatorname {arctg} {\frac {x}{a}}+C$ , если $a\neq 0$ ;
$\int {\frac {1}{x^{2}-a^{2}}}\,dx={\frac {1}{2a}}\ln {\left|{\frac {x-a}{x+a}}\right|}+C$ , если $a\neq 0$ ;
$\int {\frac {1}{a^{2}-x^{2}}}\,dx={\frac {1}{2a}}\ln {\left|{\frac {a+x}{a-x}}\right|}+C$ , если $a\neq 0$ .

Последние две формулы запоминать не обязательно, поскольку они могут быть получены разложением дроби на простейшие и сведением ко второй формуле. Интеграл от многочлена, который появляется после разложения на простейшие неправильной дроби, рассчитывается сразу при помощи первой формулы.

Интегрирование дробей вида 1 ( a x + b ) k {\displaystyle {\frac {1}{(ax+b)^{k}}}}

Дроби такого вида интегрируются простым занесением линейного двучлена под дифференциал^[12]:

\int {{\frac {1}{(ax+b)^{k}}}\,dx}={\frac {1}{a}}\int {{\frac {1}{(ax+b)^{k}}}\,d(ax+b)}

В зависимости от значения $k$ интеграл сведён к одному из двух табличных случаев.

Если $k=1$ :

{\frac {1}{a}}\int {{\frac {1}{ax+b}}\,d(ax+b)}={\frac {1}{a}}\ln {|ax+b|}+C

Если $k>1$ :

{\frac {1}{a}}\int {{\frac {1}{(ax+b)^{k}}}\,d(ax+b)}={\frac {1}{a(-k+1)(ax+b)^{k-1}}}+C

Интегрирование дробей вида a x + b r x 2 + p x + q {\displaystyle {\frac {ax+b}{rx^{2}+px+q}}}

Сначала рассмотрим дробь вида ${\frac {1}{rx^{2}+px+q}}$ ^[14]^[15]:

\int {\frac {1}{rx^{2}+px+q}}\,dx

Для интегрирования таких дробей применяется выделение полного квадрата знаменателя^[11]. Прибавим к $rx^{2}+px$ такое число, чтобы образовался квадрат суммы, свернём полученное выражение в квадрат линейного двучлена, а прибавленное число вычтем из $q$ , чтобы выражение не изменилось. Получим представление квадратного трёхчлена в виде $(cx+d)^{2}+e$ . Полученный линейный двучлен занесём под дифференциал:

\int {\frac {1}{rx^{2}+px+q}}\,dx=\int {\frac {1}{(cx+d)^{2}+e}}\,dx={\frac {1}{c}}\int {\frac {1}{(cx+d)^{2}+e}}\,d(cx+d)

Интеграл сведён к табличному; конкретный табличный интеграл определяется знаком $e$ . Если $e>0$ , обозначим $h={\sqrt {e}}$ :

{\frac {1}{c}}\int {\frac {1}{(cx+d)^{2}+h^{2}}}\,d(cx+d)={\frac {1}{ch}}\operatorname {arctg} {\frac {cx+d}{h}}+C

Если $e<0$ , обозначим $h={\sqrt {-e}}$ :

{\frac {1}{c}}\int {\frac {1}{(cx+d)^{2}-h^{2}}}\,d(cx+d)={\frac {1}{2ch}}\ln {\left|{\frac {cx+d-h}{cx+d+h}}\right|}+C

Если $e=0$ :

{\frac {1}{c}}\int {\frac {1}{(cx+d)^{2}}}\,d(cx+d)=-{\frac {1}{c(cx+d)}}+C

Пример

\int {\frac {1}{x^{2}+3x+5}}\,dx

Выделим полный квадрат. Чтобы $x^{2}+3x$ стал квадратом, нужно прибавить ${\frac {9}{4}}$ : тогда $x^{2}+3x+{\frac {9}{4}}=\left(x+{\frac {3}{2}}\right)^{2}$ . Поскольку $5={\frac {9}{4}}+{\frac {11}{4}}$ , знаменатель равен

x^{2}+3x+5=\left(x+{\frac {3}{2}}\right)^{2}+{\frac {11}{4}}

Полный квадрат выделен. Теперь внесём получившийся двучлен под дифференциал:

\int {\frac {1}{x^{2}+3x+5}}\,dx=\int {\dfrac {d\left(x+{\dfrac {3}{2}}\right)}{\left(x+{\dfrac {3}{2}}\right)^{2}+{\dfrac {11}{4}}}}={\frac {2}{\sqrt {11}}}\operatorname {arctg} {\frac {2x+3}{\sqrt {11}}}+C

Для интегрирования дробей вида ${\frac {ax+b}{rx^{2}+px+q}}$ в числителе выделяется производная знаменателя^[11]. Производная знаменателя равна $2rx+p$ . Умножаем её на такое число $s$ , чтобы коэффициент при $x$ стал равен $a$ (то есть $s={\frac {a}{2r}}$ ), а затем прибавляем такое число $h$ , чтобы выражение стало равно числителю:

s(2rx+p)=ax+sp

,

s\left(2rx+p\right)+h=ax+b

, где

h=b-sp

.

В таком виде и записываем числитель в интеграле:

\int {\frac {s(2rx+p)+h}{rx^{2}+px+q}}\,dx=\int {\frac {s(2rx+p)}{rx^{2}+px+q}}\,dx+\int {\frac {h}{rx^{2}+px+q}}\,dx

Второй интеграл был рассмотрен в предыдущем пункте. Осталось взять первый: так как в числителе стоит производная знаменателя, знаменатель вносится под дифференциал:

\int {\frac {s(2rx+p)}{rx^{2}+px+q}}\,dx=s\int {\frac {1}{rx^{2}+px+q}}\,d(rx^{2}+px+q)=s\ln {|rx^{2}+px+q|}+C

Пример

\int {\frac {7x-4}{x^{2}+3x+5}}\,dx

Необходимо в числителе выделить производную знаменателя. Возьмём производную знаменателя:

(x^{2}+3x+5)'=2x+3

Теперь умножением её на число и прибавлением другого числа приведём к числителю. Чтобы коэффициент при $x$ стал равен $7$ , умножать надо на ${\frac {7}{2}}$ :

{\frac {7}{2}}(2x+3)=7x+{\frac {21}{2}}

Чтобы получить свободным членом $-4$ , нужно вычесть ${\frac {29}{2}}$ :

7x-4={\frac {7}{2}}(2x+3)-{\frac {29}{2}}

Записываем это в числитель и разделяем на два интеграла:

\int {\frac {{\dfrac {7}{2}}(2x+3)-{\dfrac {29}{2}}}{x^{2}+3x+5}}\,dx=\int {\frac {{\dfrac {7}{2}}(2x+3)}{x^{2}+3x+5}}\,dx-\int {\frac {\dfrac {29}{2}}{x^{2}+3x+5}}\,dx

Второй интеграл берётся, как описано в предыдущем пункте (он был взят в предыдущем примере):

\int {\frac {\dfrac {29}{2}}{x^{2}+3x+5}}\,dx={\frac {29}{\sqrt {11}}}\operatorname {arctg} {\frac {2x+3}{\sqrt {11}}}+C

В первом интеграле занесём знаменатель под дифференциал. Так как в числителе стоит производная знаменателя, она «исчезает»:

\int {\frac {{\dfrac {7}{2}}(2x+3)}{x^{2}+3x+5}}\,dx={\frac {7}{2}}\int {\frac {d(x^{2}+3x+5)}{x^{2}+3x+5}}={\frac {7}{2}}\ln {|x^{2}+3x+5|}+C

\int {\frac {7x-4}{x^{2}+3x+5}}\,dx={\frac {7}{2}}\ln {|x^{2}+3x+5|}-{\frac {29}{\sqrt {11}}}\operatorname {arctg} {\frac {2x+3}{\sqrt {11}}}+C

Описанный метод работает для любой дроби с квадратным трёхчленом в знаменателе, а не только с отрицательным дискриминантом. Таким образом, для дробей с трёхчленом с положительным дискриминантом рассмотрены два способа интегрирования.

Интегрирование дробей вида a x + b ( r x 2 + p x + q ) m {\displaystyle {\frac {ax+b}{(rx^{2}+px+q)^{m}}}}

Дробь ${\frac {ax+b}{(rx^{2}+px+q)^{m}}}$ интегрируется также с помощью выделения в числителе производной знаменателя^[16]:

\int {\frac {s(rx^{2}+px+q)'+g}{(rx^{2}+px+q)^{m}}}\,dx=s\int {\frac {d(rx^{2}+px+q)}{(rx^{2}+px+q)^{m}}}+g\int {\frac {1}{(rx^{2}+px+q)^{m}}}\,dx

Левый интеграл является табличным:

\int {\frac {d(rx^{2}+px+q)}{(rx^{2}+px+q)^{m}}}={\frac {1}{(-m+1)(rx^{2}+px+q)^{m-1}}}+C

Правый же интеграл — самый сложный из рассмотренных здесь. Сразу выделим полный квадрат в знаменателе; задача сводится к взятию интеграла

\int {\frac {1}{((cx+d)^{2}+e)^{m}}}\,dx

Рассмотрим два способа его взятия.

Рекуррентное соотношение

Обозначим $I_{k}=\int {\frac {1}{((cx+d)^{2}+e)^{k}}}\,dx$ . Для $I_{k}$ можно составить рекуррентное соотношение. Будем брать интеграл по частям^[17]:

I_{k}=\int {\frac {1}{((cx+d)^{2}+e)^{k}}}\,dx={\frac {1}{c}}\int {\frac {1}{((cx+d)^{2}+e)^{k}}}\,d(cx+d)={\frac {cx+d}{c((cx+d)^{2}+e)^{k}}}-{\frac {1}{c}}\int (cx+d)\,d\left({\frac {1}{((cx+d)^{2}+e)^{k}}}\right)={\frac {cx+d}{c((cx+d)^{2}+e)^{k}}}+2k\int {\frac {(cx+d)^{2}}{((cx+d)^{2}+e)^{k+1}}}\,dx=

={\frac {cx+d}{c((cx+d)^{2}+e)^{k}}}+2k\int {\frac {(cx+d)^{2}+e-e}{((cx+d)^{2}+e)^{k+1}}}\,dx={\frac {cx+d}{c((cx+d)^{2}+e)^{k}}}+2k\int {\frac {1}{((cx+d)^{2}+e)^{k}}}\,dx-2ke\int {\frac {1}{((cx+d)^{2}+e)^{k+1}}}\,dx={\frac {cx+d}{c((cx+d)^{2}+e)^{k}}}+2kI_{k}-2keI_{k+1}

Тогда

I_{k+1}={\frac {1}{2ke}}\left({\frac {cx+d}{c((cx+d)^{2}+e)^{k}}}+\left(2k-1\right)I_{k}\right)

Интеграл $I_{1}$ берётся, как показано в предыдущем пункте. Затем при помощи полученной рекуррентной формулы последовательно берутся интегралы $I_{2},I_{3},\ldots$ до нужного. Данный метод особенно удобен при интегрировании дробей после разложения на простейшие, так как сразу даёт интегралы для всех $k\leqslant m$ ^[12].

Пример

\int {\frac {1}{((x-1)^{2}+4)^{4}}}\,dx

Берём последовательно интегралы:

I_{1}=\int {\frac {1}{(x-1)^{2}+4}}\,dx=\int {\frac {1}{(x-1)^{2}+4}}\,d(x-1)={\frac {1}{2}}\operatorname {arctg} {\frac {x-1}{2}}+C

I_{2}={\frac {1}{8}}\left({\frac {x-1}{(x-1)^{2}+4}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {arctg} {\frac {x-1}{2}}\right)={\frac {1}{8}}{\frac {x-1}{(x-1)^{2}+4}}+{\frac {1}{16}}\operatorname {arctg} {\frac {x-1}{2}}+C

I_{3}={\frac {1}{16}}\left({\frac {x-1}{((x-1)^{2}+4)^{2}}}+{\frac {3}{8}}{\frac {x-1}{(x-1)^{2}+4}}+{\frac {3}{16}}\operatorname {arctg} {\frac {x-1}{2}}\right)={\frac {1}{16}}{\frac {x-1}{((x-1)^{2}+4)^{2}}}+{\frac {3}{128}}{\frac {x-1}{(x-1)^{2}+4}}+{\frac {3}{256}}\operatorname {arctg} {\frac {x-1}{2}}+C

I_{4}={\frac {1}{24}}\left({\frac {x-1}{((x-1)^{2}+4)^{3}}}+{\frac {5}{16}}{\frac {x-1}{((x-1)^{2}+4)^{2}}}+{\frac {15}{128}}{\frac {x-1}{(x-1)^{2}+4}}+{\frac {15}{256}}\operatorname {arctg} {\frac {x-1}{2}}\right)={\frac {1}{24}}{\frac {x-1}{((x-1)^{2}+4)^{3}}}+{\frac {5}{384}}{\frac {x-1}{((x-1)^{2}+4)^{2}}}+{\frac {15}{3072}}{\frac {x-1}{(x-1)^{2}+4}}+{\frac {15}{6144}}\operatorname {arctg} {\frac {x-1}{2}}+C

Результат:

\int {\frac {1}{((x-1)^{2}+4)^{4}}}\,dx={\frac {1}{24}}{\frac {x-1}{((x-1)^{2}+4)^{3}}}+{\frac {5}{384}}{\frac {x-1}{((x-1)^{2}+4)^{2}}}+{\frac {15}{3072}}{\frac {x-1}{(x-1)^{2}+4}}+{\frac {15}{6144}}\operatorname {arctg} {\frac {x-1}{2}}+C

Так как интегралы такого вида встречаются довольно редко, обычно эту рекуррентную формулу не запоминают, а каждый раз выводят заново. Заметим, что в формуле не накладывается никаких ограничений на знак $e$ : рекуррентное соотношение можно использовать и в случае, если квадратный трёхчлен в знаменателе имеет положительный дискриминант.

Тригонометрическая подстановка

Интегрирование дробей такого вида возможно также при помощи тригонометрической подстановки^[18]. Рассмотрим для начала дробь вида

{\frac {1}{((cx+d)^{2}+h^{2})^{m}}}

Здесь есть важное отличие от рекуррентной формулы: та не зависела от знака дискриминанта и одинаково работала в любом случае; здесь же сразу полагаем дискриминант знаменателя отрицательным, поэтому после выделения полного квадрата $e$ представимо в виде квадрата положительного числа $h^{2}$ . Вынесем $h^{2}$ из суммы:

{\frac {1}{h^{2m}\left({\dfrac {(cx+d)^{2}}{h^{2}}}+1\right)^{m}}}

Выполним замену ${\frac {cx+d}{h}}=\operatorname {tg} {\varphi }$ . Тогда $dx={\frac {h}{c\cos ^{2}\varphi }}\,d\varphi$ :

\int {\frac {1}{h^{2m}\left({\dfrac {(cx+d)^{2}}{h^{2}}}+1\right)^{m}}}\,dx={\frac {h}{c}}\int {\frac {1}{h^{2m}(\operatorname {tg} ^{2}{\varphi }+1)^{m}\cos ^{2}\varphi }}\,d\varphi ={\frac {1}{ch^{2m-1}}}\int {\frac {\cos ^{2m}\varphi }{\cos ^{2}\varphi }}\,d\varphi ={\frac {1}{ch^{2m-1}}}\int \cos ^{2m-2}\varphi \,d\varphi

Данный интеграл довольно легко берётся с помощью последовательного применения формул понижения степени в случае чётной степени косинуса и занесения косинуса под дифференциал в случае нечётной. В результате получится линейная комбинация синусов кратных углов и самого угла.

Далее необходимо сделать обратную замену. Для получения выражений используется следующая уловка. Выражение $(cx+d)^{2}+h^{2}=rx^{2}+px+q$ напоминает теорему Пифагора. Если считать $cx+d$ и $h$ катетами прямоугольного треугольника, а ${\sqrt {rx^{2}+px+q}}$ — гипотенузой, то равенство $\operatorname {tg} {\varphi }={\frac {cx+d}{h}}$ означает, что $\varphi$ — угол этого треугольника: тангенс есть отношение противолежащего катета к прилежащему. Тогда

\sin \varphi ={\frac {cx+d}{\sqrt {rx^{2}+px+q}}}

— отношение противолежащего катета к гипотенузе, а

\cos \varphi ={\frac {h}{\sqrt {rx^{2}+px+q}}}

— отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Эти соображения — удобный способ запомнить формулы, но не формальное их обоснование (хотя прямая подстановка показывает, что равенства верны тождественно).

Формулы можно запомнить и проще: синус — это деление линейного двучлена из полного квадрата на корень квадратного трёхчлена, а косинус — деление корня прибавляемой константы на тот же корень.

Пример

\int {\frac {1}{(x^{2}+3x+5)^{4}}}\,dx=\int {\dfrac {1}{\left(\left(x+{\dfrac {3}{2}}\right)^{2}+{\dfrac {11}{4}}\right)^{4}}}\,dx={\frac {256}{14641}}\int {\dfrac {1}{\left(\left({\dfrac {2}{\sqrt {11}}}x+{\dfrac {3}{\sqrt {11}}}\right)^{2}+1\right)^{4}}}\,dx

Делаем замену:

{\dfrac {2}{\sqrt {11}}}x+{\dfrac {3}{\sqrt {11}}}=\operatorname {tg} {\varphi },\quad dx={\frac {\sqrt {11}}{2\cos ^{2}\varphi }}\,d\varphi

{\frac {256}{14641}}\int {\dfrac {1}{\left(\left({\dfrac {2}{\sqrt {11}}}x+{\dfrac {3}{\sqrt {11}}}\right)^{2}+1\right)^{4}}}\,dx={\frac {128}{1331{\sqrt {11}}}}\int {\frac {1}{(\operatorname {tg} ^{2}{\varphi }+1)^{4}\cos ^{2}\varphi }}\,d\varphi ={\frac {128}{1331{\sqrt {11}}}}\int \cos ^{6}\varphi \,d\varphi

Чтобы не носить константы, возьмём интеграл от косинуса в шестой степени отдельно:

\int \cos ^{6}\varphi \,d\varphi ={\frac {1}{8}}\int \left(1+\cos {2\varphi }\right)^{3}\,d\varphi ={\frac {1}{8}}\int \left(1+3\cos {2\varphi }+3\cos ^{2}{2\varphi }+\cos ^{3}{2\varphi }\right)\,d\varphi ={\frac {1}{8}}\int \left(1+3\cos {2\varphi }+{\frac {3}{2}}+{\frac {3}{2}}\cos {4\varphi }+\cos ^{3}{2\varphi }\right)\,d\varphi =

={\frac {1}{8}}\left({\frac {5}{2}}\varphi +{\frac {3}{2}}\sin {2\varphi }+{\frac {3}{8}}\sin {4\varphi }+\int \cos ^{3}{2\varphi }\,d\varphi \right)

\int \cos ^{3}{2\varphi }\,d\varphi ={\frac {1}{2}}\int \cos ^{2}{2\varphi }\,d\sin {2\varphi }={\frac {1}{2}}\int (1-\sin ^{2}{2\varphi })\,d\sin {2\varphi }={\frac {1}{2}}\sin 2\varphi -{\frac {\sin ^{3}2\varphi }{6}}+C

В итоге:

\int \cos ^{6}\varphi \,d\varphi ={\frac {1}{8}}\left({\frac {5}{2}}\varphi +2\sin {2\varphi }+{\frac {3}{8}}\sin {4\varphi }-{\frac {1}{6}}\sin ^{3}{2\varphi }\right)+C

Следующим шагом необходимо выразить синусы через тангенсы. Вспоминаем уловку с катетами и гипотенузой: противолежащий катет здесь $x+{\frac {3}{2}}$ , прилежащий — ${\frac {\sqrt {11}}{2}}$ , гипотенуза — ${\sqrt {x^{2}+3x+5}}$ . Тогда:

\sin \varphi ={\frac {x+{\dfrac {3}{2}}}{\sqrt {x^{2}+3x+5}}}

\cos \varphi ={\frac {\dfrac {\sqrt {11}}{2}}{\sqrt {x^{2}+3x+5}}}

Отсюда:

\sin {2\varphi }=2\sin \varphi \cos \varphi ={\frac {{\sqrt {11}}\left(x+{\dfrac {3}{2}}\right)}{x^{2}+3x+5}}

\sin {4\varphi }=2\sin {2\varphi }\cos {2\varphi }=2\sin {2\varphi }(\cos ^{2}\varphi -\sin ^{2}\varphi )={\frac {{\sqrt {11}}\left(x+{\dfrac {3}{2}}\right)}{x^{2}+3x+5}}\cdot {\frac {{\dfrac {11}{4}}-\left(x+{\dfrac {3}{2}}\right)^{2}}{x^{2}+3x+5}}={\frac {{\sqrt {11}}\left(x+{\dfrac {3}{2}}\right)\left(-2x^{2}-6x+1\right)}{2\left(x^{2}+3x+5\right)^{2}}}

Таким образом:

\int {\frac {1}{(x^{2}+3x+5)^{4}}}\,dx={\frac {16}{1331{\sqrt {11}}}}\left({\frac {5}{2}}\operatorname {arctg} {\frac {2x+3}{\sqrt {11}}}+{\frac {2{\sqrt {11}}\left(x+{\dfrac {3}{2}}\right)}{x^{2}+3x+5}}+{\frac {{\dfrac {3{\sqrt {11}}}{8}}\left(x+{\dfrac {3}{2}}\right)\left(-2x^{2}-6x+1\right)}{\left(x^{2}+3x+5\right)^{2}}}-{\dfrac {{\dfrac {11{\sqrt {11}}}{6}}\left(x+{\dfrac {3}{2}}\right)^{3}}{\left(x^{2}+3x+5\right)^{3}}}\right)+C

Существует вариация этого метода и для трёхчленов с положительным дискриминантом:

{\frac {1}{(h^{2}-(cx+d)^{2})^{m}}}

В такой ситуации можно сделать гиперболическую замену:

{\frac {cx+d}{h}}=\operatorname {th} {\varphi }

Затем аналогично приходим к интегралу от гиперболического косинуса в чётной степени и интегрируем его. Итоговое выражение состоит из гиперболических синусов и линейных слагаемых. В линейных слагаемых делаем обратную замену:

\varphi ={\frac {1}{2}}\ln {\left|{\frac {h+cx+d}{h-cx-d}}\right|}

Для того чтобы выразить гиперболические синусы, применяется аналогичный приём:

\operatorname {sh} {\varphi }={\frac {cx+d}{\sqrt {h^{2}-(cx+d)^{2}}}}

\operatorname {ch} {\varphi }={\frac {h}{\sqrt {h^{2}-(cx+d)^{2}}}}

На самом деле тригонометрические и гиперболические замены могут быть и другими. Для случая отрицательного дискриминанта возможны замены:

\operatorname {tg} {\varphi },\ \operatorname {ctg} {\varphi },\ \operatorname {sh} {\varphi },\ {\frac {1}{\operatorname {sh} {\varphi }}}={\frac {cx+d}{h}}

Для случая положительного:

\sin {\varphi },\ \cos {\varphi },\ {\frac {1}{\cos {\varphi }}},\ {\frac {1}{\sin {\varphi }}},\ \operatorname {th} {\varphi },\ \operatorname {cth} {\varphi },\ \operatorname {ch} {\varphi },\ {\frac {1}{\operatorname {ch} {\varphi }}}={\frac {cx+d}{h}}

Наиболее удобны замены на тангенс и котангенс, поскольку они приводят интеграл к интегралу от синуса или косинуса в некоторой степени, который берётся довольно просто. Остальные замены приводят к куда более сложным интегралам.

Если в коэффициентах дробей допускать комплексные числа, разложение на простейшие заметно упрощается. В комплексных числах правильную дробь можно разложить в сумму одних только дробей вида ${\frac {A}{(x-a)^{k}}}$ ; дроби с квадратными знаменателями простейшими уже не считаются^[12]^[19].

Использование комплексного разложения существенно упрощает интегрирование; все методы вещественного разложения работают и с комплексным. Недостатком является то, что итоговый интеграл содержит логарифмы и дроби с комплексными числами, и приведение выражения к вещественному виду требует дальнейших преобразований.

Коэффициент $A_{k}$ при $(x-a)^{-k}$ совпадает с коэффициентом $c_{-k}$ разложения функции в ряд Лорана в окрестности точки $a$ ; в частности, коэффициент при $(x-a)^{-1}$ равен вычету функции: $A_{1}=\operatorname {res} _{x=a}f(x)$ .

Пример 1. С логарифмом

\int {\frac {1}{(x-1)^{2}(x^{2}+1)}}\,dx

Строим комплексное разложение на простейшие. Коэффициенты ищем методом прикрытия Хевисайда. При ${\frac {1}{(x-1)^{2}}}$ :

{\frac {1}{1+1}}={\frac {1}{2}}

При ${\frac {1}{x-i}}$ :

{\frac {1}{2i(i-1)^{2}}}={\frac {1}{2i\cdot (-2i)}}={\frac {1}{4}}

При ${\frac {1}{x+i}}$ :

{\frac {1}{-2i(-i-1)^{2}}}={\frac {1}{-2i\cdot 2i}}={\frac {1}{4}}

Коэффициент при ${\frac {1}{x-1}}$ найдём подстановкой бесконечности:

{\frac {1}{(x-1)^{2}(x^{2}+1)}}={\frac {\dfrac {1}{2}}{(x-1)^{2}}}+{\frac {\dfrac {1}{4}}{x-i}}+{\frac {\dfrac {1}{4}}{x+i}}+{\frac {A}{x-1}}

Умножаем на $x-1$ и подставляем бесконечность:

0={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}+A

A=-{\frac {1}{2}}

Далее интегрируем:

\int {\frac {1}{(x-1)^{2}(x^{2}+1)}}\,dx=-{\frac {1}{2(x-1)}}+{\frac {1}{4}}\ln {(x-i)}+{\frac {1}{4}}\ln {(x+i)}-{\frac {1}{2}}\ln {|x-1|}+C

Теперь нужно избавиться от комплексных значений внутри логарифмов. Для этого складываем функции с сопряжёнными значениями:

{\frac {1}{4}}\ln {(x-i)}+{\frac {1}{4}}\ln {(x+i)}={\frac {1}{4}}\ln(x^{2}+1)

Интеграл найден:

\int {\frac {1}{(x-1)^{2}(x^{2}+1)}}\,dx=-{\frac {1}{2(x-1)}}+{\frac {1}{4}}\ln(x^{2}+1)-{\frac {1}{2}}\ln {|x-1|}+C

Пример 2. С арктангенсом

\int {x+6 \over x^{2}-8x+25}\,dx=\int {x+6 \over {(x-4+3i)(x-4-3i)}}\,dx

Находим разложение на простейшие:

\int {\frac {x+6}{x^{2}-8x+25}}\,dx=\left({\frac {1}{2}}+{\frac {5}{3}}i\right)\int {\frac {1}{x-4+3i}}\,dx+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {5}{3}}i\right)\int {\frac {1}{x-4-3i}}\,dx

После интегрирования имеем:

\left({\frac {1}{2}}+{\frac {5}{3}}i\right)\ln(x-4+3i)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {5}{3}}i\right)\ln(x-4-3i)+C

Сгруппируем отдельно действительные и мнимые слагаемые:

{\frac {1}{2}}\left(\ln(x-4+3i)+\ln(x-4-3i)\right)+{\frac {5}{3}}i\left(\ln(x-4+3i)-\ln(x-4-3i)\right)+C

={\frac {1}{2}}\ln \left((x-4+3i)(x-4-3i)\right)+{\dfrac {5}{3}}i\ln {\dfrac {x-4+3i}{x-4-3i}}+C

={\frac {1}{2}}\ln(x^{2}-8x+25)+{\frac {5}{3}}i\ln {\frac {1-i{\dfrac {x-4}{3}}}{1+i{\dfrac {x-4}{3}}}}+C

Заметим, что переход от $\ln {\frac {x-4+3i}{x-4-3i}}$ к $\ln {\frac {1-i{\frac {x-4}{3}}}{1+i{\frac {x-4}{3}}}}$ не является строгим тождеством: эти дроби отличаются знаком, то есть множителем $-1$ . В комплексном логарифме это даёт добавку $\ln(-1)=i\pi$ . Умножение на ${\frac {5}{3}}i$ даёт вещественную константу $-{\frac {5}{3}}\pi$ , которая просто поглощается произвольной постоянной $C$ .

Как известно, арктангенс комплексного переменного выражается через логарифм:

\operatorname {arctg} \,z={\frac {1}{2}}i\ln {\frac {1-i\,z}{1+i\,z}}

Это даёт возможность переписать второе слагаемое через арктангенс:

\int {x+6 \over x^{2}-8x+25}\,dx={\frac {1}{2}}\ln(x^{2}-8x+25)+{\frac {10}{3}}\operatorname {arctg} {\frac {x-4}{3}}+C

Для нахождения интеграла рациональной функции комплексного переменного комплексное разложение на простейшие используется напрямую, без дальнейшего преобразования выражений. Все табличные интегралы верны и для комплексных функций, с тем лишь изменением, что арктангенс и логарифм модуля заменяются соответственно на комплексный многозначный арктангенс и комплексный многозначный логарифм.

Из вышеприведённых методов для интеграла от рациональной функции можно составить общий вид^[20]:

\int {\frac {P(x)}{\displaystyle \prod _{i=1}^{l}(x-x_{i})^{k_{i}}\prod _{i=1}^{n}(x^{2}+p_{i}x+q_{i})^{m_{i}}}}\,dx={\frac {T(x)}{\displaystyle \prod _{i=1}^{l}(x-x_{i})^{k_{i}-1}\prod _{i=1}^{n}(x^{2}+p_{i}x+q_{i})^{m_{i}-1}}}+\sum _{i=1}^{l}{A_{i}\ln {|x-x_{i}|}}+\sum _{i=1}^{n}\left({B_{i}\ln(x^{2}+p_{i}x+q_{i})+C_{i}\operatorname {arctg} {\frac {x+r_{i}}{h_{i}}}}\right)+C

где $x+r_{i}$ — линейный двучлен, получаемый выделением полного квадрата из $x^{2}+p_{i}x+q_{i}$ , то есть $x^{2}+p_{i}x+q_{i}=(x+r_{i})^{2}+h_{i}^{2}$ . Обе дроби здесь правильные. Дробь в правой части равенства называется рациональной (алгебраической) частью интеграла, а сумма логарифмов и арктангенсов — трансцендентной частью^[12].

Из этого общего вида легко видеть, что интеграл от дроби, не имеющей кратных корней, есть сумма одних только арктангенсов и логарифмов. Если же кратные корни есть, то в рациональной части интеграла кратности этих корней уменьшаются на единицу.

Существование такого разложения гарантируется теоремой Лиувилля (1833) об интегрировании в элементарных функциях: если интеграл от рациональной функции берётся в элементарных функциях, то он представим в виде суммы элемента того же дифференциального поля (рациональной части) и линейной комбинации логарифмов от элементов этого поля. Для поля рациональных функций $\mathbb {C} (x)$ это в точности даёт описанный выше вид.

Если сумму логарифмов и арктангенсов представить как интеграл некоторой правильной дроби без кратных корней (эту дробь можно определить, просто взяв производную), получится следующая формула:

\int {\frac {P(x)}{\displaystyle \prod _{i=1}^{l}(x-x_{i})^{k_{i}}\prod _{i=1}^{n}(x^{2}+p_{i}x+q_{i})^{m_{i}}}}\,dx={\frac {T(x)}{\displaystyle \prod _{i=1}^{l}(x-x_{i})^{k_{i}-1}\prod _{i=1}^{n}(x^{2}+p_{i}x+q_{i})^{m_{i}-1}}}+\int {\frac {H(x)}{\displaystyle \prod _{i=1}^{l}(x-x_{i})\prod _{i=1}^{n}(x^{2}+p_{i}x+q_{i})}}\,dx

,

называемая формулой Остроградского. На ней основан ещё один метод интегрирования рациональных функций — метод Остроградского: он позволяет свести задачу к интегрированию рациональной дроби со знаменателем без кратных неприводимых множителей, которая значительно проще.

Суть метода заключается в следующем. Пусть нужно проинтегрировать рациональную функцию. Запишем для неё формулу Остроградского. Знаменатели дробей из формулы известны, а числители имеют степень меньше знаменателей. Это даёт возможность записать числители как многочлены с неопределёнными коэффициентами:

T(x)=A_{s}x^{s}+\dots +A_{1}x+A_{0}

H(x)=B_{r}x^{r}+\dots +B_{1}x+B_{0}

Теперь можно найти эти коэффициенты методом неопределённых коэффициентов: продифференцировать равенство, привести к общему знаменателю, приравнять числители, а затем приравнять коэффициенты при равных степенях и решить систему. Разумеется, здесь применимы все упрощения, что использовались при разложении дробей: подстановки корней, подстановка бесконечности. Таким образом, задача сводится к интегрированию дроби со знаменателем без кратных множителей; все коэффициенты её разложения можно получить методом Хевисайда и подстановками комплексных корней^[21]^[22].

Пример

\int {\frac {x}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}}\,dx

Запишем формулу Остроградского:

\int {\frac {x}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}}\,dx={\frac {Ax^{2}+Bx+C}{(x-1)(x+1)^{2}}}+\int {\frac {Dx+E}{(x-1)(x+1)}}\,dx

Дифференцируем:

{\frac {x}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}}=\left({\frac {Ax^{2}+Bx+C}{(x-1)(x+1)^{2}}}\right)'+{\frac {Dx+E}{(x-1)(x+1)}}

Приведём к общему знаменателю $(x-1)^{2}(x+1)^{3}$ и приравняем числители:

x=(2Ax+B)(x-1)(x+1)-(Ax^{2}+Bx+C){\bigl (}(x+1)+2(x-1){\bigr )}+(Dx+E)(x-1)(x+1)^{2}

Приравняем коэффициенты при старшей степени (четвёртой): она встречается только в последнем слагаемом, поэтому

D=0

Подставим $1$ (обнуляются все слагаемые, кроме второго):

1=-2(A+B+C)

Подставим $-1$ (обнуляются все слагаемые, кроме второго):

-1=4(A-B+C)

Теперь приравняем коэффициенты при $x^{3}$ и свободные члены. С учётом $D=0$ :

0=2A-3A+E

0=-B+C-E

Сложив, получаем $0=-A-B+C$ . Итого:

{\begin{cases}-{\dfrac {1}{2}}=A+B+C,\\-{\dfrac {1}{4}}=A-B+C,\\0=-A-B+C;\end{cases}}

Вычтем из первого второе:

-{\frac {1}{4}}=2B

B=-{\frac {1}{8}}

Сложим первое и третье:

-{\frac {1}{2}}=2C

C=-{\frac {1}{4}}

Из третьего уравнения:

A=C-B=-{\frac {1}{4}}-\left(-{\frac {1}{8}}\right)=-{\frac {1}{8}}

Из уравнения на $x^{3}$ :

E=A=-{\frac {1}{8}}

Таким образом:

\int {\frac {x}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}}\,dx=-{\frac {x^{2}+x+2}{8(x-1)(x+1)^{2}}}-{\frac {1}{8}}\int {\frac {1}{(x-1)(x+1)}}\,dx

Последний интеграл легко берётся:

\int {\frac {1}{(x-1)(x+1)}}\,dx=\int {\frac {1}{x^{2}-1}}\,dx={\frac {1}{2}}\ln {\left|{\frac {x-1}{x+1}}\right|}+C

В итоге:

\int {\frac {x}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}}\,dx=-{\frac {x^{2}+x+2}{8(x-1)(x+1)^{2}}}+{\frac {1}{16}}\ln {\left|{\frac {x+1}{x-1}}\right|}+C

Метод Остроградского удобен при большом количестве кратных корней. Однако сильно задачу он не упрощает: система уравнений получается не менее сложной, чем при обычном разложении на простейшие.

Метод Остроградского позволяет найти рациональную часть интеграла при помощи одних только алгебраических операций, даже не зная разложения знаменателя. Пусть $\int {\frac {P(x)}{Q(x)}}\,dx={\frac {T(x)}{Q_{1}(x)}}+\int {\frac {H(x)}{Q_{2}(x)}}\,dx$ — формула Остроградского. Тогда $Q_{1}(x)$ — не что иное, как наибольший общий делитель $Q(x)$ и $Q'(x)$ ; его можно вычислить при помощи алгоритма Евклида. Многочлен $Q_{2}(x)$ получается делением $Q(x)$ на $Q_{1}(x)$ . Далее остаётся приравнять числители и решить систему линейных алгебраических уравнений.

Редукция Эрмита

Альтернативой методу Остроградского является редукция Эрмита (предложенная Шарлем Эрмитом в 1872 году)^[9]. Если Остроградский выделяет всю рациональную часть интеграла единовременно через вычисление НОД, то метод Эрмита работает последовательно: он понижает кратность каждого неприводимого множителя знаменателя на единицу с помощью интегрирования по частям. Для линейного множителя это опирается на табличный интеграл $\int (x-a)^{-k}dx$ , а для квадратичного — на тождество, связывающее интегралы от $(x^{2}+px+q)^{-k}$ и $(x^{2}+px+q)^{-k+1}$ . Редукция Эрмита не требует предварительного нахождения корней знаменателя и является алгоритмической основой выделения рациональной части в современных системах компьютерной алгебры.

Интегрирование других классов функций. Многие классы интегралов рационализируются заменой переменной и сводятся к рациональным дробям: тригонометрические (универсальная подстановка $t=\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}$ ), дробно-линейные иррациональности, интегралы вида $\int R(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}})\,dx$ (подстановки Эйлера). Тем самым интегрирование рациональных функций — ядро всей техники интегрирования в элементарных функциях^[11].
Теория управления и обработка сигналов. Передаточные функции линейных систем — рациональные функции; их разложение на простейшие лежит в основе разложения реакции системы на моды, метода преобразования Лапласа и обратного Z-преобразования.
Комплексный анализ. Вычеты и разложение на простейшие — двойственные инструменты: коэффициенты Хевисайда суть вычеты; формула вычетов вычисляет контурные интегралы от рациональных функций, что применяется в теории суммирования рядов и интегральных преобразований.
Суммирование. Дискретный аналог — рациональное суммирование. Алгоритм Абрамова (1975) находит рациональную часть неопределённой суммы от рациональной функции и служит точным дискретным аналогом формулы Остроградского. Алгоритм Гёспера (1978) решает задачу суммирования гипергеометрических членов в замкнутой форме, опираясь на те же принципы редукции.
Компьютерная алгебра. Интегрирование рациональных функций — первый и наиболее законченный блок символьных интеграторов (Macsyma, Mathematica, Maple). При факторизации и решении систем линейных уравнений над $\mathbb {Q}$ возникает проблема «разрастания коэффициентов» (coefficient swell). Для борьбы с ней применяются модульные алгоритмы (вычисления по простым модулям с последующим восстановлением по китайской теореме об остатках) и быстрые методы решения СЛАУ^[23].
Решение дифференциальных уравнений. Линейные ДУ с рациональными коэффициентами (поиск решений в классе рациональных функций — алгоритм Абрамова) и уравнения Риккати в символьном виде опираются на те же методы.

Пример 6. Классика с кубическим знаменателем

\int {\frac {dx}{x^{3}+1}}

Раскладываем: $x^{3}+1=(x+1)(x^{2}-x+1)$ (у квадратного множителя отрицательный дискриминант):

{\frac {1}{x^{3}+1}}={\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{x+1}}+{\frac {-{\frac {1}{3}}x+{\frac {2}{3}}}{x^{2}-x+1}}

Интегрируем по стандартной схеме (выделение производной знаменателя и полного квадрата $x^{2}-x+1=\left(x-{\frac {1}{2}}\right)^{2}+{\frac {3}{4}}$ ):

\int {\frac {dx}{x^{3}+1}}={\frac {1}{3}}\ln |x+1|-{\frac {1}{6}}\ln(x^{2}-x+1)+{\frac {1}{\sqrt {3}}}\operatorname {arctg} {\frac {2x-1}{\sqrt {3}}}+C

(проверяется дифференцированием). Характерный ответ: логарифм от линейного множителя, логарифм от квадратичного и арктангенс.

Пример 7. Рационализация тригонометрического интеграла

\int {\frac {dx}{3+5\sin x}}

Универсальная подстановка $t=\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}$ , $\sin x={\frac {2t}{1+t^{2}}}$ , $dx={\frac {2\,dt}{1+t^{2}}}$ :

\int {\frac {dx}{3+5\sin x}}=\int {\frac {2\,dt}{3(1+t^{2})+10t}}=\int {\frac {2\,dt}{3t^{2}+10t+3}}=\int {\frac {2\,dt}{(3t+1)(t+3)}}

Разложение на простейшие даёт ${\frac {2}{(3t+1)(t+3)}}={\frac {3/4}{3t+1}}-{\frac {1/4}{t+3}}$ , и

\int {\frac {dx}{3+5\sin x}}={\frac {1}{4}}\ln \left|{\frac {3t+1}{t+3}}\right|+C={\frac {1}{4}}\ln \left|{\frac {3\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}+1}{\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}+3}}\right|+C

Любой интеграл вида $\int R(\sin x,\cos x)\,dx$ с рациональной $R$ универсальной подстановкой сводится к интегралу от рациональной функции — и потому берётся в элементарных функциях.

↑ Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. — 13-е. — М.: Наука, 1985. — Т. 1. — С. 329-336.
↑ Зарубин В. С., Иванова Е. Е., Кувыркин Г. Н. Интегральное исчисление функций одного переменного: учеб. для вузов / Под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. — М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 1999. — С. 73-81. — (Математика в техническом университете; Вып. VI). — ISBN 5-7038-1336-6.
↑ Rickey V. F., Tuchinsky Ph. M. An Application of Geography to Mathematics: History of the Integral of the Secant (англ.) // Mathematics Magazine : журнал. — 1980. — Vol. 53, no. 3. — P. 165.
↑ Leibniz G. W. Specimen novum analysyos pro scientia infiniti circa summas et quadraturas (лат.) // Acta Eruditorum. — 1702. — P. 210–219.
↑ Cotes R. Harmonia Mensurarum (лат.) / ed. R. Smith. — Opera miscellanea mathematica. — Cantabrigiae: Typis Academicis, 1722.
↑ Liouville J. Sur la classification des transcendantes et sur l'impossibilité d'exprimer les racines de certaines équations en fonction finie explicite ou implicite des coefficients (фр.) // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1836. — Vol. 1. — P. 464—478.
↑ Liouville J. De l'intégration des différentielles à radicaux algébriques (фр.) // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1836. — Vol. 1. — P. 464—478.
↑ Остроградский М. В. De l'intégration des fractions rationnelles (фр.) // Bulletin de la classe physico-mathématique de l'Académie impériale des sciences de Saint-Pétersbourg. — 1845. — Vol. 4. — P. 145–167, 286–300.
↑ ¹ ² Hermite C. Sur l'intégration des fractions rationnelles (фр.) // Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure. — 1872. — Vol. 2, n^o 1. — P. 215–218.
↑ Rickey V. F., Tuchinsky Ph. M. An Application of Geography to Mathematics: History of the Integral of the Secant (англ.) // Mathematics Magazine : журнал. — 1980. — Vol. 53, no. 3. — P. 162–166.
↑ ¹ ² ³ ⁴ Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3-х томах. Том 2 (рус.). — 8-е изд.. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — С. 39-54. — 863 с. — ISBN 5-9221-0157-9.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. — М.: Дрофа, 2003. — Т. 1. — С. 503-513. — (Высшее образование). — ISBN 5-7107-4119-1.
↑ Bauldry W. C. Partial Fractions via Calculus (англ.) // Problems, Resources, and Issues in Mathematics Undergraduate Studies : журнал. — 2018. — Vol. 28, iss. 5. — P. 429–437. — ISSN 1051-1970. — doi:10.1080/10511970.2017.1388312.
↑ Демидович Б. П., Кудрявцев В. А. Краткий курс высшей математики: учеб. пособие для вузов. — М.: ООО «Издательство Астрель»; ООО «Издательство АСТ», 2001. — С. 243-246. — ISBN 5-17-004601-4.
↑ Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. — 7-е изд.. — М.: Физматлит, 2005. — Т. 1. — С. 217-220. — (Курс высшей математики и математической физики). — ISBN 5-9221-0536-1.
↑ Хорошилова Е. В. Математический анализ: неопределённый интеграл. — М.: Изд. отдел ф-та ВМиК МГУ, МАКС Пресс, 2007. — С. 47-48. — ISBN 978-5-89407-292-0.
↑ Зарубин В. С., Иванова Е. Е., Кувыркин Г. Н. Интегральное исчисление функций одного переменного: учеб. для вузов / Под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. — М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 1999. — С. 93-97. — (Математика в техническом университете; Вып. VI). — ISBN 5-7038-1336-6.
↑ Никольский С. М. Курс математического анализа. — 3-е изд., перераб. и доп.. — М.: Наука, 1983. — Т. 1. — С. 348.
↑ Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. — 7-е изд.. — М.: Физматлит, 2005. — Т. 1. — С. 215-217. — (Курс высшей математики и математической физики). — ISBN 5-9221-0536-1.
↑ Зарубин В. С., Иванова Е. Е., Кувыркин Г. Н. Интегральное исчисление функций одного переменного: учеб. для вузов / Под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. — М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 1999. — С. 73-81. — (Математика в техническом университете; Вып. VI). — ISBN 5-7038-1336-6.
↑ Никольский С. М. Курс математического анализа. — 3-е изд., перераб. и доп.. — М.: Наука, 1983. — Т. 1. — С. 336-349.
↑ Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. — 7-е изд.. — М.: Физматлит, 2005. — Т. 1. — С. 228-230. — (Курс высшей математики и математической физики). — ISBN 5-9221-0536-1.
↑ Horowitz E. Algorithms for partial fraction decomposition and rational function integration // Proceedings of the Second ACM Symposium on Symbolic and Algebraic Manipulation. — 1971. — С. 441–457. — doi:10.1145/800204.806314.

Демидович Б. П., Кудрявцев В. А. Краткий курс высшей математики: учеб. пособие для вузов. — М.: ООО «Издательство Астрель»; ООО «Издательство АСТ», 2001. — 656 с. — ISBN 5-17-004601-4.
Зарубин В. С., Иванова Е. Е., Кувыркин Г. Н. Интегральное исчисление функций одного переменного: учеб. для вузов / Под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. — М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 1999. — 528 с. — (Математика в техническом университете; Вып. VI). — ISBN 5-7038-1336-6.
Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. — 7-е изд.. — М.: Физматлит, 2005. — Т. 1. — 648 с. — (Курс высшей математики и математической физики). — ISBN 5-9221-0536-1.
Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. — М.: Дрофа, 2003. — Т. 1. — 702 с. — (Высшее образование). — ISBN 5-7107-4119-1.
Никольский С. М. Курс математического анализа. — 3-е изд., перераб. и доп.. — М.: Наука, 1983. — Т. 1. — 464 с.
Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. — 13-е. — М.: Наука, 1985. — Т. 1. — 432 с.
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Физматлит, 2001. — Т. 2. — 863 с. — ISBN 5-9221-0157-9.
Хорошилова Е. В. Математический анализ: неопределённый интеграл. — М.: Изд. отдел ф-та ВМиК МГУ, МАКС Пресс, 2007. — 184 с. — ISBN 978-5-89407-292-0.
Bauldry W. C. Partial Fractions via Calculus (англ.) // Problems, Resources, and Issues in Mathematics Undergraduate Studies : журнал. — 2018. — Vol. 28, iss. 5. — P. 429–437. — ISSN 1051-1970. — doi:10.1080/10511970.2017.1388312.
Horowitz E. Algorithms for partial fraction decomposition and rational function integration // Proceedings of the Second ACM Symposium on Symbolic and Algebraic Manipulation. — 1971. — С. 441–457.
Rickey V. F., Tuchinsky Ph. M. An Application of Geography to Mathematics: History of the Integral of the Secant (англ.) // Mathematics Magazine : журнал. — 1980. — Vol. 53, no. 3. — P. 162–166.

[1] Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. — 13-е. — М.: Наука, 1985. — Т. 1. — С. 329-336.

[2] Зарубин В. С., Иванова Е. Е., Кувыркин Г. Н. Интегральное исчисление функций одного переменного: учеб. для вузов / Под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. — М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 1999. — С. 73-81. — (Математика в техническом университете; Вып. VI). — ISBN 5-7038-1336-6.

[3] Rickey V. F., Tuchinsky Ph. M. An Application of Geography to Mathematics: History of the Integral of the Secant (англ.) // Mathematics Magazine : журнал. — 1980. — Vol. 53, no. 3. — P. 165.

[Leibniz-4] Leibniz G. W. Specimen novum analysyos pro scientia infiniti circa summas et quadraturas (лат.) // Acta Eruditorum. — 1702. — P. 210–219.

[Cotes-5] Cotes R. Harmonia Mensurarum (лат.) / ed. R. Smith. — Opera miscellanea mathematica. — Cantabrigiae: Typis Academicis, 1722.

[Liouville-6] Liouville J. Sur la classification des transcendantes et sur l'impossibilité d'exprimer les racines de certaines équations en fonction finie explicite ou implicite des coefficients (фр.) // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1836. — Vol. 1. — P. 464—478.

[Liouville2-7] Liouville J. De l'intégration des différentielles à radicaux algébriques (фр.) // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1836. — Vol. 1. — P. 464—478.

[Остроградский-8] Остроградский М. В. De l'intégration des fractions rationnelles (фр.) // Bulletin de la classe physico-mathématique de l'Académie impériale des sciences de Saint-Pétersbourg. — 1845. — Vol. 4. — P. 145–167, 286–300.

[Hermite-9] ¹ ² Hermite C. Sur l'intégration des fractions rationnelles (фр.) // Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure. — 1872. — Vol. 2, n^o 1. — P. 215–218.

[Rickey-10] Rickey V. F., Tuchinsky Ph. M. An Application of Geography to Mathematics: History of the Integral of the Secant (англ.) // Mathematics Magazine : журнал. — 1980. — Vol. 53, no. 3. — P. 162–166.

[Фихтенгольц-11] ¹ ² ³ ⁴ Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3-х томах. Том 2 (рус.). — 8-е изд.. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — С. 39-54. — 863 с. — ISBN 5-9221-0157-9.

[Кудрявцев-12] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. — М.: Дрофа, 2003. — Т. 1. — С. 503-513. — (Высшее образование). — ISBN 5-7107-4119-1.

[Bauldry-13] Bauldry W. C. Partial Fractions via Calculus (англ.) // Problems, Resources, and Issues in Mathematics Undergraduate Studies : журнал. — 2018. — Vol. 28, iss. 5. — P. 429–437. — ISSN 1051-1970. — doi:10.1080/10511970.2017.1388312.

[14] Демидович Б. П., Кудрявцев В. А. Краткий курс высшей математики: учеб. пособие для вузов. — М.: ООО «Издательство Астрель»; ООО «Издательство АСТ», 2001. — С. 243-246. — ISBN 5-17-004601-4.

[15] Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. — 7-е изд.. — М.: Физматлит, 2005. — Т. 1. — С. 217-220. — (Курс высшей математики и математической физики). — ISBN 5-9221-0536-1.

[16] Хорошилова Е. В. Математический анализ: неопределённый интеграл. — М.: Изд. отдел ф-та ВМиК МГУ, МАКС Пресс, 2007. — С. 47-48. — ISBN 978-5-89407-292-0.

[17] Зарубин В. С., Иванова Е. Е., Кувыркин Г. Н. Интегральное исчисление функций одного переменного: учеб. для вузов / Под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. — М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 1999. — С. 93-97. — (Математика в техническом университете; Вып. VI). — ISBN 5-7038-1336-6.

[18] Никольский С. М. Курс математического анализа. — 3-е изд., перераб. и доп.. — М.: Наука, 1983. — Т. 1. — С. 348.

[19] Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. — 7-е изд.. — М.: Физматлит, 2005. — Т. 1. — С. 215-217. — (Курс высшей математики и математической физики). — ISBN 5-9221-0536-1.

[20] Зарубин В. С., Иванова Е. Е., Кувыркин Г. Н. Интегральное исчисление функций одного переменного: учеб. для вузов / Под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. — М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 1999. — С. 73-81. — (Математика в техническом университете; Вып. VI). — ISBN 5-7038-1336-6.

[21] Никольский С. М. Курс математического анализа. — 3-е изд., перераб. и доп.. — М.: Наука, 1983. — Т. 1. — С. 336-349.

[22] Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. — 7-е изд.. — М.: Физматлит, 2005. — Т. 1. — С. 228-230. — (Курс высшей математики и математической физики). — ISBN 5-9221-0536-1.

[Horowitz-23] Horowitz E. Algorithms for partial fraction decomposition and rational function integration // Proceedings of the Second ACM Symposium on Symbolic and Algebraic Manipulation. — 1971. — С. 441–457. — doi:10.1145/800204.806314.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

Интегрирование рациональных функций

История

Разложение на простейшие

Табличные интегралы

Интегрирование дробей вида 1 ( a x + b ) k {\displaystyle {\frac {1}{(ax+b)^{k}}}}

Интегрирование дробей вида a x + b r x 2 + p x + q {\displaystyle {\frac {ax+b}{rx^{2}+px+q}}}

Интегрирование дробей вида a x + b ( r x 2 + p x + q ) m {\displaystyle {\frac {ax+b}{(rx^{2}+px+q)^{m}}}}

Рекуррентное соотношение

Тригонометрическая подстановка

Комплексное разложение на простейшие

Общий вид интеграла рациональной функции

Метод Остроградского

Редукция Эрмита

Применение

Дополнительные примеры

Примечания

Литература

Дополнительно по теме

Категории