Знак (математика)

В античном мире Диофант (III в.) в «Арифметике» пользовался правилом «вычет, умноженный на вычет, даёт прибыль; вычет, умноженный на прибыль, даёт вычет», хотя отрицательные величины выступали у него лишь как промежуточный вычислительный приём^[1].

Наиболее раннее из дошедших систематических изложений учения об отрицательных числах содержится в китайском трактате «Математика в девяти книгах» (сводка II в. до н. э. — II в. н. э.): положительные и отрицательные числа различаются там как противоположно направленные величины, и для них сформулированы правила сложения и вычитания; при счёте счётными палочками положительные числа выкладывались, как правило, красными палочками, отрицательные — чёрными^[2][3].

В Индии Брахмагупта в «Брахма-спхута-сиддханте» (628) дал арифметику положительных чисел («имущества»), отрицательных («долгов») и нуля, включая правило знаков для умножения: произведение двух долгов есть имущество, долга и имущества — долг^[4].

В средневековой Европе отрицательные числа пробивали себе дорогу медленно: Леонардо Пизанский в «Книге абака» (1202) показал, что отрицательные корни уравнений допускают осмысленную трактовку как долги, что делало их законным инструментом в коммерческих расчётах^[5].

Первое печатное появление знаков «+» и «−» — коммерческая арифметика Иоганна Видмана «Behende und hüpsche Rechenung auff allen Kauffmanschafft» (Лейпциг, 1489); здесь они обозначали ещё не операцию и не знак числа, а избыток или недостачу товара в торговых книгах^[6]. Как знаки операций они встречаются у Генриха Грамматеуса (1518), а у Михаэля Штифеля в «Arithmetica integra» (1544) знаки «+» и «−» употребляются систематически, причём отрицательные числа обсуждаются как «меньшие, чем ничто»^[6][7]. Символ ${\displaystyle \pm }$ (плюс-минус) для компактной записи двух значений — например, корней квадратного уравнения — вошёл в употребление в начале XVII века и встречается у Уильяма Отреда в «Clavis Mathematicae» (1631)^[8].

Даже в XVI веке Кардано в «Ars Magna» (1545) называл отрицательные корни «ложными числами» (numeri ficti)^[9], а Декарт в «Геометрии» (1637) — «ложными корнями», хотя и показал, как преобразовывать уравнения, делая все корни положительными. В XVII веке отрицательные числа окончательно вошли в алгебраическую практику, и правило знаков стало общепринятым^[10].

Логическая строгость пришла лишь в XIX веке: Джордж Пикок в «Трактате об алгебре» (1830) провозгласил «принцип постоянства эквивалентных форм», а Герман Ганкель в «Лекциях о комплексных числах» (1867) построил на нём последовательную формальную теорию отрицательных и комплексных чисел. Геометрическое истолкование отрицательных чисел как направленных в противоположную сторону отрезков — прообраз числовой оси — сняло последние сомнения в их правомерности^[11].

Термин «модуль» происходит от лат. modulus (мера) и широко использовался в математике. Выражение «модуль перехода» (при логарифмировании) ввёл Коутс^[12]. Термин «модуль сравнения» введён Гауссом в 1801 году в «Арифметических исследованиях»^[13][14]. В смысле «длина вектора» и модуль комплексного числа ${\displaystyle A+iB}$ термин встречается у Аргана (1814)^[15]. Слово постоянно использовал Коши в теории комплексной переменной (начиная с 1829 года). Символ ${\displaystyle ||}$ для комплексного числа появился у Вейерштрасса довольно рано (1841), однако во всеобщее употребление вошёл несколько позже: с 1903 года физик Лоренц стал обозначать так длину вектора^[16][17].

Функция ${\displaystyle \operatorname {sgn} x}$ получила название и обозначение от лат. signum (знак). Такую функцию ввёл в рассмотрение Л. Кронекер. Необходимость в такой функции ощущалась и раньше; Коши, например, писал ${\displaystyle {\frac {y}{\sqrt {y^{2}}}}}$ (1821)^[18]. При первом появлении этой функции у Кронекера (1878) и при чтении лекций он рекомендовал обозначение ${\displaystyle y=[x]}$; когда это обозначение, ранее закреплённое Гауссом (1808) за функцией «антье», понадобилось для неё, Кронекер отказался от привычки и ввёл ${\displaystyle y=\operatorname {sgn} x}$ (1884)^[19].

Вещественное число называется положительным, если оно больше нуля, и отрицательным, если меньше. Положительные числа записываются со знаком плюс или вообще без знака, отрицательные — со знаком минус^[20][21].

Нулю не присвоен никакой знак, то есть ${\displaystyle +0}$ и ${\displaystyle -0}$ — это в арифметике одно и то же число. В теории пределов математического анализа смысл символов ${\displaystyle +0}$ и ${\displaystyle -0}$ может различаться: они обозначают не числа, а направление стремления переменной к нулю (справа или слева), см. об этом отрицательный и положительный ноль. В информатике компьютерная кодировка двух нулей (целого типа) также может не совпадать, см. прямой код.

В связи со сказанным вводятся ещё несколько полезных терминов:

• число неотрицательно, если оно больше или равно нулю;
• число неположительно, если оно меньше или равно нулю;
• в настоящей статье слово «положительный» всегда означает «больший нуля». Обороты «строго положительный» и «строго отрицательный» употребляют там, где слово «положительный» в данном тексте может пониматься расширительно (включая ноль) — так принято, например, во французской математической традиции, — и требуется подчеркнуть, что ноль исключён.

Та же терминология применяется к вещественным функциям: функция называется положительной, если все её значения положительны, неотрицательной, если все её значения неотрицательны, и так далее. Говорят также, что функция положительна или отрицательна не только на всей области определения, но и на любой её части — интервале, отрезке, луче или произвольном множестве.

• Множество положительных действительных чисел обозначается как ${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$.
• Множество неотрицательных действительных чисел обозначается как ${\displaystyle \mathbb {R} _{\geqslant 0}}$.
• Множество отрицательных действительных чисел обозначается как ${\displaystyle \mathbb {R} _{<0}}$.
• Множество неположительных действительных чисел обозначается как ${\displaystyle \mathbb {R} _{\leqslant 0}}$^[22][23][24].

В русскоязычной литературе столь же часто встречаются обозначения ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$ (положительные) и ${\displaystyle \mathbb {R} _{-}}$ (отрицательные). Здесь возможна двусмысленность: одни авторы понимают под ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$ положительные числа, другие — неотрицательные, поэтому в ответственных случаях предпочтительны однозначные записи ${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$, ${\displaystyle \mathbb {R} _{\geqslant 0}}$ и т. п.

Функция знака ${\displaystyle y=\operatorname {sgn} (x)}$ (произносится: сигнум от x; равноправно употребляется обозначение ${\displaystyle \operatorname {sign} (x)}$, от лат. signum — «знак») часто бывает полезна как индикатор знака числа. Эта функция определяется следующим образом^[25]:

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1\quad (x<0),\\~~\,0\quad (x=0),\\~~\,1\quad (x>0).\end{cases}}}$

Другими словами, функция равна ${\displaystyle 1}$ для положительного аргумента, ${\displaystyle -1}$ для отрицательного и нулю для нулевого аргумента. Функция знака (часто под именами sign, signum, copysign или signbit) предусмотрена во многих математических библиотеках и стандартах представления чисел (например, IEEE 754), хотя в базовых библиотеках некоторых популярных языков программирования она может отсутствовать в явном виде.

Модулем (абсолютной величиной) числа ${\displaystyle a}$ называется само число ${\displaystyle a}$, если ${\displaystyle a\geqslant 0}$, и противоположное число ${\displaystyle -a}$, если ${\displaystyle a<0}$; обозначается модуль как ${\displaystyle |a|}$^[26]. Примеры: ${\displaystyle |3|=3;\ |{-3}|=3;\ |0|=0.}$

Для любых вещественных чисел ${\displaystyle a,b}$ имеют место следующие свойства:

• формула разложения числа на знак и модуль: ${\displaystyle a=\operatorname {sgn}(a)\cdot |a|}$;
• модуль любого числа всегда неотрицателен, причём ${\displaystyle |a|=0}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle a=0}$;
• модули противоположных чисел совпадают: ${\displaystyle |{-a}|=|a|}$;
• ${\displaystyle -|a|\leqslant a\leqslant |a|}$;
• ${\displaystyle |a+b|\leqslant |a|+|b|}$ (неравенство треугольника).

Для комплексных чисел понятие знака в обычном смысле не существует, поскольку на них невозможно ввести согласованный с арифметическими операциями линейный порядок («больше/меньше»). Однако знак вещественного числа естественным образом обобщается через аргумент (фазу). Любое ненулевое комплексное число представимо в показательной форме

${\displaystyle z=|z|\,e^{i\arg z},}$

где роль «знака» играет фазовый множитель ${\displaystyle e^{i\arg z}}$, лежащий на единичной окружности. Для положительных вещественных чисел ${\displaystyle \arg z=0}$, а для отрицательных ${\displaystyle \arg z=\pi }$, что согласуется с обычной функцией знака. Таким образом, знак вещественного числа — частный случай комплексного аргумента^[27][28].

Величина угла на плоскости считается положительной, если угол откладывается против часовой стрелки, и отрицательной, если по часовой стрелке; знак характеризует, таким образом, направление отсчёта угла, а не сам угол^[29]. В этом случае говорят об ориентированном угле. Аналогично классифицируются два случая вращения:

• вращение на плоскости — например, вращение на ${\displaystyle -90^{\circ }}$ происходит по часовой стрелке;
• поворот в пространстве вокруг ориентированной оси, как правило, считается положительным, если выполнено «правило буравчика», иначе он считается отрицательным.

В аналитической геометрии и физике нередко продвижения вдоль заданной прямой или кривой условно делятся на положительные и отрицательные. Такое деление может зависеть от постановки задачи или от выбранной системы координат. Знак в этом случае приписывается не геометрической длине (которая всегда неотрицательна), а параметру дуги, криволинейным интегралам и другим ориентированным величинам: например, при вычислении криволинейного интеграла второго рода изменение направления обхода контура меняет знак интеграла.

Понятие знака играет фундаментальную роль в линейной алгебре и геометрии.

• Знак определителя и ориентация. Знак определителя матрицы перехода между двумя базисами определяет ориентацию базиса: базисы называются одинаково ориентированными, если определитель матрицы перехода положителен, и противоположно ориентированными, если он отрицателен^[30]. Это делит все базисы пространства на два класса (правые и левые) и служит основой понятия ориентируемого многообразия.
• Квадратичные формы. По знаку значений квадратичная форма классифицируется как положительно определённая, отрицательно определённая, полуопределённая или знакопеременная (неопределённая). Знакоопределённость играет ключевую роль в критериях экстремума функций многих переменных (критерий Сильвестра) и в классификации поверхностей второго порядка; число положительных и отрицательных квадратов в каноническом виде формы (её индекс инерции) не зависит от выбора базиса (закон инерции квадратичных форм)^[31].
• Знак кривизны. В дифференциальной геометрии знак гауссовой или средней кривизны определяет локальный тип точки поверхности: положительная гауссова кривизна соответствует эллиптической точке (например, на сфере), отрицательная — гиперболической (седловой), нулевая — параболической (например, на цилиндре)^[32].

В комбинаторике определяется знак перестановки — положительный, если перестановка чётная, и отрицательный, если перестановка нечётная. Отображение ${\displaystyle \operatorname {sgn} :S_{n}\to \{+1,-1\}}$ является гомоморфизмом симметрической группы ${\displaystyle S_{n}}$ в мультипликативную группу ${\displaystyle \{\pm 1\}}$, то есть для любых перестановок ${\displaystyle \sigma ,\tau }$ выполняется правило знаков^[33]:

${\displaystyle \operatorname {sgn} (\sigma \tau )=\operatorname {sgn} (\sigma )\,\operatorname {sgn} (\tau ).}$

Ядром этого гомоморфизма служит знакопеременная группа ${\displaystyle A_{n}}$.

В теории графов рассматриваются ориентированные и знаковые графы, в которых каждому ребру соответствует направление или знак (положительный или отрицательный)^[34].

• Знак производной. Знак производной функции определяет её монотонность: если ${\displaystyle f'(x)>0}$ на интервале, то функция на нём возрастает; если ${\displaystyle f'(x)<0}$ — убывает. Знак второй производной характеризует выпуклость графика^[35].
• Знакопостоянные и знакопеременные функции. Функция называется знакопостоянной (положительной или отрицательной), если все её значения имеют один знак, и знакопеременной, если принимает значения обоих знаков. Это понятие важно в теории дифференциальных уравнений и устойчивости (метод функций Ляпунова)^[36].
• Знак в теории рядов. Знак членов ряда занимает центральное место в теории знакочередующихся рядов (признак Лейбница) и в изучении абсолютной и условной сходимости. Знак принципиален в теореме Римана: перестановкой членов условно сходящегося ряда можно получить любую наперёд заданную сумму, тогда как для абсолютно сходящихся рядов это невозможно^[37].

В теории меры обобщением меры со знаком служит знакопеременная мера — счётно-аддитивная функция множеств, принимающая значения обоих знаков. Согласно разложению Хана, любая знакопеременная мера представима как разность двух неотрицательных мер^[38]. В функциональном анализе знак играет роль при определении конусов положительных элементов в упорядоченных векторных пространствах и банаховых решётках.

Многие физические величины делятся на два класса, условно названные положительными и отрицательными.

• Электрический заряд электрона по исторической традиции называется отрицательным, а протона — положительным. Ионы химических элементов обозначаются надстрочным знаком, например: ${\displaystyle {\ce {Na+}}}$ (положительный, катион), ${\displaystyle {\ce {Cl-}}}$ (отрицательный, анион).
• Знак температуры зависит от выбранной температурной шкалы. В шкале Кельвина температура всегда неотрицательна; в шкале Цельсия отрицательные значения соответствуют температурам ниже 273,15 К — точки замерзания воды.
• В оптике положительной считается оптическая сила линз, собирающих лучи света, и отрицательной — у рассеивающих линз.
• Высота над уровнем моря; глубины соответствуют отрицательным высотам.

Целое число, хранящееся в памяти компьютера, может быть знаковым или беззнаковым (в последнем случае оно рассматривается как неотрицательное). Знаковые числа используют один из битов как код знака (обычно 0 кодирует неотрицательное число, 1 — отрицательное), у беззнаковых все биты заняты под величину. Для представления целых чисел со знаком большинство компьютеров используют дополнительный код; исторически применялись также прямой код и обратный код.

Вещественные числа хранятся и обрабатываются как числа с плавающей запятой (стандарт IEEE 754), то есть содержат мантиссу и порядок числа, причём каждая из этих частей снабжена собственным знаком. В этом формате различаются два нуля — положительный (+0.0) и отрицательный (−0.0), что согласуется с практикой теории пределов.

Существует знако-разрядная система счисления, в ней каждая цифра числа может иметь положительный или отрицательный знак^[39].

Знак может быть присвоен бесконечно удалённой точке расширенной числовой оси: ${\displaystyle +\infty }$ и ${\displaystyle -\infty }$.