Математическая структура

Отношения, являющиеся исходной точкой в определении структуры, могут быть весьма разнообразными.

Важнейшим типом структур являются алгебраические структуры^[3]. Например, отношение, называемое «законом композиции», то есть отношение между тремя элементами, которое определяет однозначно третий элемент как функцию двух первых. Когда отношения в определении структуры являются «законами композиции», соответствующая математическая структура называется алгебраической структурой. Например, структуры лупы, группы, поля определяется двумя законами композиции с надлежащим образом выбранными аксиомами. Так сложение и умножение на множестве вещественных чисел определяют поле на множестве этих чисел.

Второй важный тип представляют структуры, определённые отношением порядка, то есть структуры порядка. Это отношение между двумя элементами ${\displaystyle x,\;y}$, которое чаще всего мы выражаем словами «${\displaystyle x}$ меньше или равно ${\displaystyle y}$» и которое в общем случае обозначается как ${\displaystyle xRy}$. В этом случае не предполагается, что это отношение однозначно определяет один из элементов ${\displaystyle x,\;y}$ как функцию другого.

Третьим типом структур являются топологические структуры^[4], в них через абстрактную математическую формулировку средствами общей топологии реализуются интуитивные понятия окрестности, предела и непрерывности.

Группа математиков, объединённая под именем Николя Бурбаки, в статье «Архитектура математики» (1948) представила математику как трёхуровневую иерархию структур, идущих от простого к сложному, от общего к частному^[5].

На первом уровне вводятся основные (порождающие) математические структуры, среди них в качестве главнейших, порождающих (фр. les structures-mères) выделены:

• алгебраические структуры;
• топологические структуры;
• структуры порядка.

В каждом из этих типов структур присутствует достаточное разнообразие. При этом следует различать наиболее общую структуру рассматриваемого типа с наименьшим числом аксиом и структуры, которые получаются из неё в результате её обогащения дополнительными аксиомами, каждая из которых влечёт за собой и новые следствия.

На второй уровень поставлены сложные математические структуры (фр. multiples) — структуры, в которые входят одновременно одна или несколько порождающих структур, но не просто совмещённые друг с другом, а органически скомбинированные при помощи связывающих их аксиом. Например, топологическая алгебра изучает структуры, определяемые законами композиций и топологической структурой, которые связаны тем условием, что алгебраические операции являются непрерывными (в рассматриваемой топологии) функциями элементов^[6]. Другим примером является алгебраическая топология, которая рассматривает некоторые множества точек пространства, определённые топологическими свойствами, как элементы, над которыми производятся алгебраические операции^[7]. Многие из используемых в приложениях структур можно отнести ко второму уровню, например, структура событий связывает частичный порядок со специального рода бинарным отношением.

На третьем уровне — частные математические структуры, в которых элементы рассматриваемых множеств, бывшие в общих структурах совершенно неопределёнными, получают более определённую индивидуальность. Именно таким образом получают такие теории классической математики, как математический анализ^[8] функций вещественной и комплексной переменной, дифференциальная геометрия^[9], алгебраическая геометрия.

Понятие структуры первоначально использовалось в общей алгебре неформально. Самая известная попытка формализации этого понятия была предпринята Бурбаки (на работы Бурбаки опирается и эта статья); до неё была, например, теория алгебраических структур Ойстина Оре^[10]. Бурбаки использовали свою теорию структур как основания математики наряду с теорией множеств. Однако фактически теория структур мало используется даже в их собственных дальнейших работах и в целом не закрепилась в математике^[11]. В 1940-е — 1950-е годы накопившиеся представления о сходстве широкого класса алгебраических структур и структур порядка привели к созданию универсальной алгебры и понятия алгебраической системы — множества, наделённого набором операций и отношений (однако не все алгебраические структуры в смысле Бурбаки эффективно выражаются на языке универсальной алгебры). Начиная с 1960-х — 1970-х годов идеи математических структур чаще выражают на языке теории категорий.