Период колебаний

Период
Период
Размерность	T
Единицы измерения
СИ	с

Перейти к материалам ОГЭ/ЕГЭ

РУВИКИ для ОГЭ/ЕГЭ

Читайте краткую версию статьи для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ

Перейти

Анимация гармонических колебаний с ростом их периода

Период (4) синусоидального колебания

Пери́од колеба́ний — наименьший промежуток времени, за который система совершает одно полное колебание (то есть возвращается в то же состояние,^[1] в котором она находилась в первоначальный момент, выбранный произвольно).

Период колебаний совпадает с математическим понятием периода функции, но под функцией понимается зависимость физической величины, совершающей колебания, от времени.

Понятие периода колебаний применимо как к гармоническим, так и к ангармоническим строго периодическим колебаниям (а приближенно — и к непериодическим колебаниям, близким к периодичности).^[2]^[3]^[4]^[5]

В случае, когда речь идет о колебаниях гармонического осциллятора с затуханием, под периодом понимается период его осциллирующей составляющей (при этом затуханием пренебрегают), который совпадает с удвоенным временным промежутком между ближайшими прохождениями колеблющейся величины через ноль. В принципе, это определение может быть с большей или меньшей точностью и пользой распространено в некотором обобщении и на затухающие колебания с другими свойствами.

Обозначения: обычное стандартное обозначение периода колебаний: $T$ (хотя могут применяться и другие, напри мер, $\tau$ , иногда $\Theta$ и т. д.).

Единицы измерения: секунда или любые другие единицы измерения времени.

Период колебаний обратно пропорционален частоте колебаний:

T={\frac {1}{\nu }},\ \ \ \nu ={\frac {1}{T}}.

Для волновых процессов период колебаний связан с длиной волны $\lambda$ соотношением:

v=\lambda \nu ,\ \ \ T={\frac {\lambda }{v}},

где $v$ — скорость распространения волны (точнее^[6] — фазовая скорость).

В квантовой физике период колебаний связан с энергией, поскольку в квантовой физике энергия объекта (например, частицы) есть частота^[7] колебаний его волновой функции.

Теоретическое вычисление периода колебаний той или иной физической системы сводится, как правило, к нахождению решения динамических уравнений (уравнения), описывающих эту систему. Для категории линейных систем (а приближенно — и для линеаризуемых систем в линейном приближении, которое является очень хорошим приближением) существуют стандартные, сравнительно простые математические методы, позволяющие это сделать (если известны сами физические уравнения, описывающие систему).

Для экспериментального определения периода используются часы, секундомеры, частотомеры, стробоскопы, строботахометры, осциллографы. В ряде методов применяются биения, метод гетеродинирования в разных видах, используется принцип резонанса. Для волн можно измерить период косвенными методами, измеряя длину волны, для чего применяются интерферометры, дифракционные решётки и т. п. В ряде случаев методы определения периода колебаний достаточно сложны, и разрабатываются для каждого конкретного случая (сложность может представлять как само измерение времени, особенно если речь идет о предельно малых или наоборот очень больших временах, так и наблюдение колеблющейся величины).

Периоды колебаний в природе

Представление о периодах колебаний различных физических процессов рассматривается в статье Частотные интервалы (учитывая то, что период в секундах есть обратная величина частоты в герцах).

Некоторое представление о величинах периодов различных физических процессов также может дать шкала частот электромагнитных колебаний (см. Электромагнитный спектр) .

Периоды колебаний слышимого человеком звука (звуковой диапазон) находятся в диапазоне

от 5·10⁻⁵ с до 0,6 с

(четкие границы его несколько условны и зависят от ряда биологических факторов, например, возраста человека).

Периоды электромагнитных колебаний, соответствующих разным цветам видимого света — в диапазоне

от 1,1·10⁻¹⁵ с до 2,5·10⁻¹⁵ с.

Поскольку при экстремально больших и экстремально маленьких периодах колебаний методы измерения имеют тенденцию становиться всё более косвенными (вплоть до плавного перетекания в теоретические экстраполяции), трудно назвать четкую верхнюю и нижнюю границы для периода колебаний, измеренного непосредственно. Какую-то оценку для верхней границы может дать время существования современной науки (сотни лет), а для нижней — период колебаний волновой функции самой тяжелой из известных сейчас частиц.

В любом случае границей снизу может служить планковское время, которое столь мало, что по современным представлениям не только вряд ли может быть вообще как-то физически измерено,^[8] но и вряд ли в более-менее обозримом будущем представляется возможность приблизиться к измерению величин даже намного порядков больших, а границей сверху — время существования Вселенной (более десяти миллиардов лет).

Периоды колебаний простейших физических систем

Пружинный маятник

Период колебаний пружинного маятника может быть вычислен по следующей формуле:

$T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}$ ,

где $m$ — масса груза, $k$ — жёсткость пружины.

Математический маятник

Период малых колебаний математического маятника:

$T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}$

где $l$ — длина подвеса (к примеру, нити), $g$ — ускорение свободного падения. Отсюда видно, что период колебаний маятника зависит только от длины подвеса и ничего более.

Период малых колебаний (на Земле) математического маятника длиной 1 метр с хорошей точностью^[9] равен 2 секундам.

Физический маятник

Период малых колебаний физического маятника:

$T=2\pi {\sqrt {\frac {J}{mgl}}}$

где $J$ — момент инерции маятника относительно оси вращения, $m$ — масса маятника, $l$ — расстояние от оси вращения до центра масс.

Крутильный маятник

Период колебаний крутильного маятника:

$T=2\pi {\sqrt {\frac {I}{K}}}$

где $I$ — момент инерции маятника относительно оси кручения, а $K$ — вращательный коэффициент жёсткости маятника.

Электрический колебательный (LC) контур

Период колебаний электрического колебательного контура (формула Томсона):

$T=2\pi {\sqrt {LC}}$ ,

где $L$ — индуктивность катушки, $C$ — ёмкость конденсатора.

Эту формулу вывел в 1853 году английский физик Уильям Томсон.

См. также

Примечания

↑ Состояние механической системы характеризуется положениями и скоростями всех её материальных точек (строже говоря — координатами и скоростями, соответствующими всем степеням свободы данной системы), для немеханической — их формальными аналогами (которые также можно назвать координатами и скоростями в смысле абстрактного описания динамической системы — в количестве, также равном количеству её степеней свободы).
↑ А. А. Андронов, А. А. Витт, С. Э. Хайкин. Теория колебаний. — 2-е. — М.:: Наука, 1981.
↑ Бишоп Р. Колебания. — пер. с англ. под ред. Я. Г. Пановко. — М.:: Вузовская книга, 2019.
↑ Д. И. Трубецков, А. Г. Рожнев. Линейные колебания и волны : учебное. пособие для студентов вузов. — М.:: Физматлит, 2001.
↑ Горелик Г. С. Колебания и волны : введение в акустику, радиофизику и оптику : учебное пособие для студентов вузов. — 3-е.. — М.:: Физматлит, 2007.
↑ Для монохроматических волн это уточнение самоочевидно, для близких к монохроматическим — интуитивно очевидно по аналогии со строго монохроматическими, для существенно немонохроматических — наиболее ясный случай сводится к тому, что фазовые скорости всех монохроматических компонент совпадают друг с другом, поэтому комментируемое утверждение также верно.
↑ С точностью до единиц измерения: в традиционных (обычных) системах физических единиц частота и энергия измеряются в разных единицах (поскольку до появления квантовой теории совпадение энергии и частоты было неизвестно, и, естественно, для каждой из величин была выбрана своя независимая единица измерения), поэтому при измерении их в обычных (разных) единицах, например, джоулях и герцах требуется переводной коэффициент (так называемая константа Планка). Однако можно выбрать систему единиц измерения так, чтобы в ней константа Планка стала равной 1 и пропала из формул; в такой системе единиц энергия любой частицы просто равна частоте колебания её волновой функции (а значит обратна периоду этого колебания).
↑ Имеется в виду, конечно же, невозможность экспериментального измерения времен конкретных процессов или периодов колебаний такого порядка, а не просто вычисление некоторого числа.
↑ Лучше, чем 0,5 %, если взять метрологическое или принятое техническое значение ускорения свободного падения; И с разбросом ~0.53 % для максимального и минимального значений ускорения свободного падения, наблюдаемых на земле.

Литература

Андронов А. А. Витт А. А. Хайкин С. Э. Теория колебаний. — Москва : Наука, 1981.
Трубецков Д. И. Рожнев А. Г. Линейные колебания и волны : учебное. пособие для студентов вузов. — Москва : Издательство физико-математической литературы, 2001.
Горелик Г. С. Колебания и волны : введение в акустику, радиофизику и оптику : учебное пособие для студентов вузов. — Москва : Физматлит, 2007.
Бишоп Р. Колебания. — Москва : Вузовская книга, 2019.

Ссылки

[1] Состояние механической системы характеризуется положениями и скоростями всех её материальных точек (строже говоря — координатами и скоростями, соответствующими всем степеням свободы данной системы), для немеханической — их формальными аналогами (которые также можно назвать координатами и скоростями в смысле абстрактного описания динамической системы — в количестве, также равном количеству её степеней свободы).

[2] А. А. Андронов, А. А. Витт, С. Э. Хайкин. Теория колебаний. — 2-е. — М.:: Наука, 1981.

[3] Бишоп Р. Колебания. — пер. с англ. под ред. Я. Г. Пановко. — М.:: Вузовская книга, 2019.

[4] Д. И. Трубецков, А. Г. Рожнев. Линейные колебания и волны : учебное. пособие для студентов вузов. — М.:: Физматлит, 2001.

[5] Горелик Г. С. Колебания и волны : введение в акустику, радиофизику и оптику : учебное пособие для студентов вузов. — 3-е.. — М.:: Физматлит, 2007.

[6] Для монохроматических волн это уточнение самоочевидно, для близких к монохроматическим — интуитивно очевидно по аналогии со строго монохроматическими, для существенно немонохроматических — наиболее ясный случай сводится к тому, что фазовые скорости всех монохроматических компонент совпадают друг с другом, поэтому комментируемое утверждение также верно.

[7] С точностью до единиц измерения: в традиционных (обычных) системах физических единиц частота и энергия измеряются в разных единицах (поскольку до появления квантовой теории совпадение энергии и частоты было неизвестно, и, естественно, для каждой из величин была выбрана своя независимая единица измерения), поэтому при измерении их в обычных (разных) единицах, например, джоулях и герцах требуется переводной коэффициент (так называемая константа Планка). Однако можно выбрать систему единиц измерения так, чтобы в ней константа Планка стала равной 1 и пропала из формул; в такой системе единиц энергия любой частицы просто равна частоте колебания её волновой функции (а значит обратна периоду этого колебания).

[8] Имеется в виду, конечно же, невозможность экспериментального измерения времен конкретных процессов или периодов колебаний такого порядка, а не просто вычисление некоторого числа.

[9] Лучше, чем 0,5 %, если взять метрологическое или принятое техническое значение ускорения свободного падения; И с разбросом ~0.53 % для максимального и минимального значений ускорения свободного падения, наблюдаемых на земле.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]