Дифференцируемая функция

Понятие дифференцируемость сформировалось в работах немецких математиков — Римана, Вейерштрасса. В немецких и французских статьях по математике, вплоть до середины 70-х годов XIX в. вместо «недифференцируемая функция» употреблялся термин «функция без производной». Долгое время функция многих переменных считалась дифференцируемой при наличии частных производных. Современное определение появилось в результате исследований Томе, Штольца, Пирпонта и Юнга. Независимо от них к аналогичному определению пришёл Фреше, который предложил и «геометрическое определение» — существование касательной плоскости поверхности ${\displaystyle z=f(x,y)}$^[2].

Пусть функция ${\displaystyle y=f(x)}$ задана на интервале ${\displaystyle (a,b)}$ и пусть ${\displaystyle x}$ — любая фиксированная точка интервала ${\displaystyle (a,b)}$, а ${\displaystyle \Delta x}$ — произвольное число, настолько малое, что значение ${\displaystyle x+\Delta x}$ также находится на интервале ${\displaystyle (a,b)}$. Это число ${\displaystyle \Delta x}$ обычно называют приращением аргумента.

Приращением функции ${\displaystyle y=f(x)}$ в точке ${\displaystyle x}$, соответствующим этому приращению аргумента ${\displaystyle \Delta x}$ называют число ${\displaystyle \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)}$^[3].

Условие непрерывности функции

Функция ${\displaystyle y=f(x)}$ непрерывна в точке ${\displaystyle x}$, если приращение ${\displaystyle \Delta y}$ этой функции в точке ${\displaystyle x}$, соответствующее приращению аргумента ${\displaystyle \Delta x}$, является бесконечно малым при ${\displaystyle \Delta x\to 0}$, то есть

${\displaystyle \lim \limits _{\Delta x\to 0}\Delta y=\lim \limits _{\Delta x\to 0}[f(x+\Delta x)-f(x)]=0}$.

Это условие называют разностной формой условия непрерывности функции ${\displaystyle y=f(x)}$ в точке ${\displaystyle x}$^[4].

Непрерывность функции является необходимым, но не достаточным условием её дифференцируемости. Всякая дифференцируемая функция непрерывна; обратное утверждение неверно: существуют непрерывные функции, но не дифференцируемые функции^[1].

Производной функции ${\displaystyle y=f(x)}$ в данной фиксированной точке ${\displaystyle x}$ называется предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю (при условии, что такой предел существует)^[5]. Производную функции ${\displaystyle y=f(x)}$ в данной фиксированной точке ${\displaystyle x}$ обозначают символом ${\displaystyle f'(x)}$ или кратко ${\displaystyle y'}$^[6].

${\displaystyle f'(x)=\lim \limits _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim \limits _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}}$.

Геометрический смысл производной

Если функция ${\displaystyle y=f(x)}$ имеет в данной фиксированной точке ${\displaystyle x_{0}}$ производную, то существует касательная к графику функции ${\displaystyle y=f(x)}$ в точке ${\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}$, причём угловой коэффициент этой касательной ${\displaystyle k}$ (то есть тангенс угла наклона её к оси ${\displaystyle Ox}$) равен производной ${\displaystyle k=f'(x_{0})}$^[7].

Геометрический смысл производной

Пусть функция ${\displaystyle y=f(x)}$ определена на интервале ${\displaystyle (a,b)}$, ${\displaystyle x}$ — любое фиксированное число из этого интервала, ${\displaystyle \Delta x}$ — произвольное приращение аргумента, настолько малое, что значение аргумента ${\displaystyle x+\Delta x}$ также принадлежит интервалу ${\displaystyle (a,b)}$, ${\displaystyle \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)}$ — приращение функции в точке ${\displaystyle x}$, отвечающее приращению аргумента ${\displaystyle \Delta x}$.

Функция ${\displaystyle y=f(x)}$ называется дифференцируемой в точке ${\displaystyle x}$, если приращение ${\displaystyle \Delta y}$ этой функции в точке ${\displaystyle x}$, отвечающее приращению аргумента ${\displaystyle \Delta x}$, может быть представлено в виде ${\displaystyle \Delta y=A\Delta x+\alpha (\Delta x)\Delta x}$, где ${\displaystyle A}$ — некоторое число, не зависящее от ${\displaystyle \Delta x}$, а ${\displaystyle \alpha (\Delta x)}$ — функция аргумента ${\displaystyle \Delta x}$, бесконечно малая в точке ${\displaystyle \Delta x=0}$.

Функция  называется дифференцируемой справа (слева) в точке ${\displaystyle x_{0}}$, если существует предел справа (слева) ${\displaystyle \lim \limits _{x\to x_{0}+0}\varphi (x)}$  (${\displaystyle \lim \limits _{x\to x_{0}-0}\varphi (x)}$) разностного отношения в точке ${\displaystyle x_{0}}$. 

Этот предел называется производной справа (слева) функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$ и обозначается ${\displaystyle f'_{+}(x_{0})}$ (${\displaystyle f'_{-}(x_{0})}$) . Если существует ${\displaystyle f'(x_{0})}$, то функция ${\displaystyle f}$ дифференцируема справа и слева в точке ${\displaystyle x_{0}}$ и ${\displaystyle f'_{+}(x_{0})=f'_{-}(x_{0})=f'(x_{0})}$. Обратно, если существуют односторонние производные ${\displaystyle f'_{+}(x_{0})}$, ${\displaystyle f'_{-}(x_{0})}$ и ${\displaystyle f'_{+}(x_{0})=f'_{-}(x_{0})}$, то существует также ${\displaystyle f'(x_{0})=f'_{+}(x_{0})=f'_{-}(x_{0})}$^[8].

Функция  называется дифференцируемой на множестве ${\displaystyle E}$, если она дифференцируема во всех точках ${\displaystyle x_{0}\in E}$. 

Производные высших порядков

Производная ${\displaystyle f'(x)}$ функции ${\displaystyle y=f(x)}$, определённой и дифференцируемой на интервале ${\displaystyle (a,b)}$, представляет собой функцию, также определённую на интервале ${\displaystyle (a,b)}$. Если эта функция ${\displaystyle f'(x)}$ сама является дифференцируемой в некоторой точке ${\displaystyle x}$ интервала ${\displaystyle (a,b)}$ или имеет в этой точке производную, то указанную производную называют второй производной (или производной второго порядка) функции ${\displaystyle y=f(x)}$ в точке ${\displaystyle x}$ и обозначают символом ${\displaystyle f^{(2)}(x)}$, ${\displaystyle f''(x)}$ или ${\displaystyle y''}$.

Понятие ${\displaystyle n}$-й производной вводят индуктивно, переходя от первой производной к последующим. Соотношение, определяющее ${\displaystyle n}$-ю производную, имеет вид^[8]

${\displaystyle f^{(n)}(x)=(f^{(n-1)}(x))'}$.

Функция называется ${\displaystyle n}$ раз непрерывно дифференцируемой на множестве ${\displaystyle E}$, если она ${\displaystyle n}$ раз дифференцируема в каждой точке ${\displaystyle x\in E}$ и  непрерывна на ${\displaystyle E}$.

В случае функции комплексной переменной дифференцируемость в точке часто называется моногенностью и существенно отличается от понятия дифференцируемости в вещественном случае. Ключевую роль в этом играет так называемое условие Коши — Римана. Функция, моногенная в окрестности точки, называется голоморфной в этой точке.

В формулах приращения функции ${\displaystyle \Delta y=A\Delta x+\alpha (\Delta x)\Delta x}$ и ${\displaystyle \Delta z=A\Delta x+B\Delta y+\alpha }$ величина ${\displaystyle A\Delta x}$ называется дифференциалом функции ${\displaystyle f(x)}$ в точке ${\displaystyle x}$.

Дифференциалом функции ${\displaystyle y=f(x)}$ в данной фиксированной точке ${\displaystyle x}$, отвечающим приращению аргумента ${\displaystyle \Delta x}$, называется число, обозначаемое символом ${\displaystyle dy}$ и равное ${\displaystyle dy=f'(x)\Delta x}$.

В случае ${\displaystyle f'(x)\neq 0}$ это число представляет собой главную часть приращения ${\displaystyle \Delta y}$ функции ${\displaystyle y=f(x)}$, линейную и однородную относительно приращения аргумента ${\displaystyle \Delta x}$. Дифференциал ${\displaystyle dy}$ и приращение функции ${\displaystyle \Delta y}$ в данной точке ${\displaystyle x}$, оба отвечающие одному и тому же приращению аргумента ${\displaystyle \Delta x}$, не равны друг другу.

Для функции от ${\displaystyle n}$ действительных переменных для дифференциала вводится обозначение ${\displaystyle dz=df(x,y)=A\Delta x+B\Delta y}$ . Эта величина называется полным дифференциалом или просто дифференциалом функции (иногда с добавлением: «по совокупности переменных»)^[9].

Дифференциал независимого переменного ${\displaystyle x}$ обозначают через ${\displaystyle dx}$. Возможны два случая:

1. аргумент ${\displaystyle x}$ представляет собой независимую переменную;
2. аргумент ${\displaystyle x}$ сам является дифференцируемой функцией вида ${\displaystyle x=\varphi (t)}$ некоторой новой переменной ${\displaystyle t}$, которую можно считать независимой.

Для первого случая дифференциал аргумента отождествляют с его приращением ${\displaystyle \Delta x}$, то есть ${\displaystyle dx=\Delta x}$. Тогда формула дифференциала функции принимает вид: ${\displaystyle dy=f'(x)dx}$.

Во втором случае величину ${\displaystyle dx}$ нельзя считать равной ${\displaystyle \Delta x}$, так как она равна ${\displaystyle dx=\varphi '(t)dt}$. Однако и в этом случае формула ${\displaystyle dy=f'(x)dx}$ остаётся справедливой.

Уравнение касательной к графику функции ${\displaystyle y=f(x)}$ в точке ${\displaystyle M(x_{0},y_{0})}$ имеет вид ${\displaystyle y-y_{0}=f'(x_{0})(x-x_{0})}$. Если положить ${\displaystyle x=x_{0}+\Delta x}$, то ${\displaystyle y-y_{0}=f'(x_{0})\Delta x}$. Правая часть есть значение дифференциала функции ${\displaystyle f(x)}$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$, отвечающее рассматриваемому значению ${\displaystyle \Delta x}$. Таким образом, дифференциал совпадает с соответствующим приращением ординаты касательной к кривой ${\displaystyle y=f(x)}$ (см. отрезок ${\displaystyle NT}$ на рисунке ниже). При этом ${\displaystyle \alpha =\Delta y-dy}$, то есть значение ${\displaystyle |\alpha |}$ совпадает с длиной отрезка ${\displaystyle TS}$^[10].

Геометрический смысл дифференциала

Если аргумент ${\displaystyle x}$ дифференцируемой функции ${\displaystyle y=f(x)}$ представляет собой независимую переменную, то для дифференциала ${\displaystyle dy}$ этой функции справедливо представление ${\displaystyle dy=f'(x)dx}$.

Это представление является универсальным и справедливо также и в случае, когда аргумент ${\displaystyle x}$ сам является дифференцируемой функцией вида ${\displaystyle x=\varphi (t)}$ некоторой независимой переменной ${\displaystyle t}$. Это свойство дифференциала функции принято называть инвариантностью его формы. Второй и последующие дифференциалы функции ${\displaystyle y=f(x)}$ уже не обладают инвариантностью формы. Вследствие этого данное свойство называют инвариантностью формы первого дифференциала.

Эквивалентная формулировка свойства инвариантности формы первого дифференциала

Производная дифференцируемой функции ${\displaystyle y=f(x)}$ равна отношению дифференциала этой функции ${\displaystyle dy}$ к дифференциалу её аргумента ${\displaystyle dx}$, то есть ${\displaystyle f'(x)={\frac {dy}{dx}}}$, как в случае, когда аргумент ${\displaystyle x}$ является независимой переменной, так и в случае, когда аргумент ${\displaystyle x}$ сам является дифференцируемой функцией вида ${\displaystyle x=\varphi (t)}$ некоторой независимой переменной ${\displaystyle t}$.

Универсальность представления производной как ${\displaystyle f'(x)={\frac {dy}{dx}}}$ позволяет использовать отношение ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$ для обозначения производной функции ${\displaystyle y=f(x)}$ по аргументу ${\displaystyle x}$^[11].

Для того чтобы функция ${\displaystyle f(x)}$ была дифференцируемой в точке ${\displaystyle x}$, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную ${\displaystyle f'(x)}$.

Эта теорема позволяет отождествлять понятие дифференцируемости функции в данной точке с понятием существования у этой функции в данной точке конечной производной. Поэтому операцию нахождения производной называют дифференцированием.

Если функция ${\displaystyle y=f(x)}$ дифференцируема в данной точке ${\displaystyle x}$, то она и непрерывна в этой точке.

Замечание

Утверждение, обратное к данной теореме, несправедливо, то есть из непрерывности функции ${\displaystyle y=f(x)}$ в данной точке ${\displaystyle x}$ не вытекает дифференцируемость функции ${\displaystyle f(x)}$ в этой точке.

Примером может служить функция ${\displaystyle y=|x|}$, которая непрерывна в точке ${\displaystyle x=0}$, но не имеет в этой точке производной. Cуществуют функции, непрерывные в каждой точке некоторого интервала, но не имеющие производной ни в одной точке этого интервала (первый пример такой функции был построен Вейерштрассом)^[12].

Пусть функция ${\displaystyle x=\varphi (t)}$ дифференцируема в точке ${\displaystyle t}$, а функция ${\displaystyle y=f(x)}$ дифференцируема в соответствующей точке ${\displaystyle x=\varphi (t)}$^[13].

Cложная функция  ${\displaystyle y=f[\varphi (t)]}$ дифференцируема в указанной точке ${\displaystyle t}$, причём для её производной в этой точке справедлива формула${\displaystyle \{f[\varphi (t)]\}'=f'[\varphi (t)]\cdot \varphi '(t)}$.

Пусть функция ${\displaystyle y=f(x)}$ возрастает (или убывает) и непрерывна в некоторой окрестности точки ${\displaystyle x}$. Пусть, кроме того, эта функция дифференцируема в указанной точке ${\displaystyle x}$ и её производная в этой точке ${\displaystyle f'(x)}$ отлична от нуля. Тогда в некоторой окрестности соответствующей точки ${\displaystyle y=f(x)}$ определена обратная для ${\displaystyle y=f(x)}$ функция ${\displaystyle x=f^{-1}(y)}$, причём указанная обратная функция дифференцируема в соответствующей точке ${\displaystyle y=f(x)}$.

Для производной обратной функции в точке ${\displaystyle y=f(x)}$ справедлива формула ${\displaystyle \{f^{-1}(y)\}'={\frac {1}{f'(x)}}}$.

Если функции ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }$, ${\displaystyle {\text{g}}\colon X\to \mathbb {R} }$ дифференцируемы в точке ${\displaystyle x\in X}$, то

• их сумма дифференцируема в ${\displaystyle x}$, причём ${\displaystyle (f+{\text{g}})'(x)=(f'+{\text{g}}')(x)}$;
• их произведение дифференцируемо в ${\displaystyle x}$, причём ${\displaystyle (f\cdot {\text{g}})'(x)=f'(x)\cdot {\text{g}}(x)+f(x)\cdot {\text{g}}'(x)}$;
• их отношение дифференцируемо в ${\displaystyle x}$, если ${\displaystyle {\text{g}}(x)\neq 0}$, причём ${\displaystyle \left({\frac {f}{\text{g}}}\right)'(x)={\frac {f'(x){\text{g}}(x)-f(x){\text{g}}'(x)}{{\text{g}}^{2}(x)}}}$.

Следствие. Производная от линейной комбинации дифференцируемых функций равна линейной комбинации производных этих функций^[14].

Приведённые ниже теоремы, относящиеся к произвольным дифференцируемым функциям, эффективны при исследовании поведения функции (как в окрестности отдельных точек, так и на целых участках области её задания)^[15].

Если функция ${\displaystyle y=f(x)}$ дифференцируема в точке ${\displaystyle c}$ и её производная в этой точке ${\displaystyle f'(c)}$ положительна [отрицательна], то функция ${\displaystyle y=f(x)}$ возрастает [убывает] в точке ${\displaystyle c}$.

Если функция ${\displaystyle y=f(x)}$ дифференцируема в точке ${\displaystyle c}$ и имеет в этой точке локальный экстремум, то еë производная в этой точке равна нулю: ${\displaystyle f'(c)=0}$.

Пусть функция ${\displaystyle f(x)}$ непрерывна на сегменте ${\displaystyle [a,b]}$ и дифференцируема во всех внутренних точках этого сегмента. Пусть, кроме того, ${\displaystyle f(a)=f(b)}$. Тогда внутри сегмента ${\displaystyle [a,b]}$ найдётся точка ${\displaystyle \xi }$ такая, что значение производной в этой точке ${\displaystyle f'(\xi )}$ равно нулю.

Если функция ${\displaystyle f(x)}$ непрерывна на сегменте ${\displaystyle [a,b]}$ и дифференцируема во всех внутренних точках этого сегмента, то внутри сегмента ${\displaystyle [a,b]}$ найдётся точка ${\displaystyle \xi }$ такая, что справедлива формула ${\displaystyle f(a)-f(b)=f'(\xi )(b-a)}$.

• О постоянстве функции, имеющей на интервале равную нулю производную

Если функция ${\displaystyle f(x)}$ дифференцируема всюду на интервале ${\displaystyle (a,b)}$ и если всюду на этом интервале ${\displaystyle f'(x)=0}$, то функция ${\displaystyle f(x)}$ является постоянной на интервале ${\displaystyle (a,b)}$.

Геометрический смысл теоремы следующий: если касательная в каждой точке некоторого участка кривой ${\displaystyle y=f(x)}$ параллельна оси ${\displaystyle Ox}$, то указанный участок кривой ${\displaystyle y=f(x)}$ представляет собой отрезок прямой, параллельной оси ${\displaystyle Ox}$.

• Условия монотонности функции на интервале

Для того чтобы дифференцируемая на интервале ${\displaystyle (a,b)}$ функция ${\displaystyle f(x)}$ не убывала (не возрастала) на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы производная этой функции была неотрицательной (неположительной) всюду на этом интервале.

• Отсутствие разрывов первого рода и устранимых разрывов у производной

Если функция ${\displaystyle f(x)}$ имеет конечную производную всюду на интервале ${\displaystyle (a,b)}$, то эта производная ${\displaystyle f'(x)}$ не может иметь на этом интервале ни точек устранимого разрыва, ни точек разрыва первого рода.

Обобщённая формула конечных приращений

Если каждая из двух функций ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle {\text{g}}(x)}$ непрерывна на сегменте ${\displaystyle [a,b]}$ и дифференцируема во всех внутренних точках этого сегмента и если, кроме того, производная ${\displaystyle {\text{g}}'(x)}$ отлична от нуля всюду внутри сегмента ${\displaystyle [a,b]}$, то внутри этого сегмента найдётся точка ${\displaystyle \xi }$ такая, что справедлива формула ${\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{{\text{g}}(b)-{\text{g}}(a)}}={\frac {f'(\xi )}{{\text{g}}'(\xi )}}}$.

Эту формулу называют обобщённой формулой коечных приращений или формулой Коши.

Замечание. Формула Лагранжа ${\displaystyle f(a)-f(b)=f'(\xi )(b-a)}$ является частным случаем формулы Коши при ${\displaystyle {\text{g}}(x)=x}$^[16].

Частные производные функции нескольких переменных

Пусть ${\displaystyle M(x_{1},x_{2},...,x_{m})}$ — внутренняя точка области задания функции ${\displaystyle u=f(x_{1},x_{2},...,x_{m})}$.

Если существует предел отношения частного приращения ${\displaystyle \Delta x_{k}u}$ функции в точке ${\displaystyle M(x_{1},x_{2},...,x_{m})}$ к соответствующему приращению ${\displaystyle \Delta x_{k}}$ аргумента ${\displaystyle x_{k}}$ при ${\displaystyle \Delta x_{k}\to 0}$, то этот предел называется частной производной функции ${\displaystyle u=f(x_{1},x_{2},...,x_{m})}$ в точке ${\displaystyle M}$ по аргументу ${\displaystyle x_{k}}$: ${\displaystyle \lim \limits _{\Delta x_{k}\to 0}{\frac {\Delta x_{k}u}{\Delta x_{k}}}}$ и обозначается одним из следующих символов: ${\displaystyle {\partial u \over \partial x_{k}},{\partial f \over \partial x_{k}},u'_{x_{k}},f'_{x_{k}}}$.

Функция ${\displaystyle u=f(x_{1},x_{2},...,x_{m})}$ называется дифференцируемой в данной точке ${\displaystyle M(x_{1},x_{2},...,x_{m})}$, если её полное приращение в этой точке может быть представлено в виде ${\displaystyle \Delta u=A_{1}\Delta x_{1}+A_{2}\Delta x_{2}+...+A_{m}\Delta x_{m}+\alpha _{1}\Delta x_{1}+\alpha _{2}\Delta x_{2}+...+\alpha _{m}\Delta x_{m}}$, где ${\displaystyle A_{1},A_{2},...,A_{m}}$ — некоторые не зависящие от ${\displaystyle \Delta x_{1},\Delta x_{2},...,\Delta x_{m}}$ числа, а ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{m}}$ — бесконечно малые при ${\displaystyle \Delta x_{1}\to 0,\Delta x_{2}\to 0,...,\Delta x_{m}\to 0}$ функции, равные нулю при ${\displaystyle \Delta x_{1}=\Delta x_{2}=...\Delta x_{m}=0}$.

Соотношение ${\displaystyle \Delta u=A_{1}\Delta x_{1}+A_{2}\Delta x_{2}+...+A_{m}\Delta x_{m}+\alpha _{1}\Delta x_{1}+\alpha _{2}\Delta x_{2}+...+\alpha _{m}\Delta x_{m}}$ называется условием дифференцируемости функции в данной точке ${\displaystyle M}$.

Теорема

Если функция ${\displaystyle u=f(x_{1},x_{2},...,x_{m})}$ дифференцируема в точке ${\displaystyle M(x_{1},x_{2},...,x_{m})}$, то в этой точке существуют частные производные по всем аргументам, причём ${\displaystyle {\partial u \over \partial x_{i}}=A_{i}}$, где ${\displaystyle A_{i}}$ определяется из условия дифференцируемости функции.

Свойство

Если функция ${\displaystyle u=f(x_{1},x_{2},...,x_{m})}$ дифференцируема в точке ${\displaystyle M(x_{1},x_{2},...,x_{m})}$, то она и непрерывна в этой точке.

Достаточное условие дифференцируемости

Если функция ${\displaystyle u=f(x_{1},x_{2},...,x_{m})}$ имеет частные производные по всем аргументам в некоторой окрестности точки ${\displaystyle M_{0}(x_{1}^{0},x_{2}^{0},...,x_{m}^{0})}$, причём все эти частные производные непрерывны в самой точке ${\displaystyle M_{0}}$, то указанная функция дифференцируема в точке ${\displaystyle M_{0}}$^[17].

Понятия производной и дифференциала и их свойства, связанные с арифметическими действиями над функциями и их композициями, включая свойство инвариантности первого дифференциала, распространяются на комплексные функции одного или нескольких действительных переменных, на действительные и комплексные вектор-функции одного или нескольких действительных переменных, на комплексные функции и вектор-функции одного или нескольких комплексных переменных^[18].

Отображение пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$, задаваемое дифференцируемыми функциями ${\displaystyle y_{i}=f_{i}(x_{j})}$:

${\displaystyle f(x)=f(x_{0})+A(x-x_{0})+o(\|x-x_{0}\|),\ \quad x\to x_{0},}$

то есть, раскрывая символ «o» малое, если

${\displaystyle \lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {\|f(x)-f(x_{0})-A(x-x_{0})\|}{\|x-x_{0}\|}}=0}$.

Линейное отображение ${\displaystyle A\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ является дифференциалом отображения ${\displaystyle f(x)}$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$.

Если отображение ${\displaystyle f\colon M\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ задано набором функций

${\displaystyle f_{i}\colon M\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ,\ \quad i=1,\ldots ,m,}$

то его дифференцируемость в точке ${\displaystyle x_{0}}$ равносильна дифференцируемости всех функций в данной точке.

Матрица, у которой на пересечении ${\displaystyle i}$-й строки и ${\displaystyle j}$-го столбца стоит ${\displaystyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial x^{j}}}}$, называется матрицей Якоби. Если ${\displaystyle m=n}$, то её определитель называется якобианом отображения^[1].

В функциональном анализе существует обобщение понятия дифференцирования на случай отображений бесконечномерных пространств — производные Гато и Фреше.

Обобщением понятия дифференцируемой функции являются понятия субдифференцируемых, супердифференцируемых и квазидифференцируемых функций.