Бесконечное произведение

Если произведение сходится, тогда необходимо выполняется предельное равенство ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=1}$. Следовательно, логарифм ${\displaystyle \ln a_{n}}$ определён для всех ${\displaystyle n}$, за исключением конечного числа значений, присутствие которых не влияет на сходимость. Исключая из последовательности ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ это конечное число членов, получим равенство:

${\displaystyle \ln \prod _{n=1}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }\ln a_{n},}$

в котором сходимость бесконечной суммы в правой части равносильна сходимости бесконечного произведения в левой. Это позволяет переформулировать критерий сходимости бесконечных сумм в критерий сходимости бесконечных произведений. Для таких произведений для любого ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{n}\geqslant 1}$ обозначим ${\displaystyle p_{n}=a_{n}-1}$, тогда ${\displaystyle a_{n}=p_{n}+1}$ и ${\displaystyle p_{n}\geqslant 0}$, откуда следует неравенство:

${\displaystyle 1+\sum _{n=1}^{N}p_{n}\leqslant \prod _{n=1}^{N}\left(1+p_{n}\right)\leqslant \exp \left(\sum _{n=1}^{N}p_{n}\right)}$,

которое показывает, что бесконечное произведение ${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ сходится тогда и только тогда, когда сходится бесконечная сумма ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }p_{n}}$.

Известные примеры бесконечных произведений, формулы для числа ${\displaystyle \pi }$, открытые соответственно Франсуа Виетом и Джоном Валлисом:

${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots }$;

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}\right)}$.

Тождество Эйлера для дзета-функции:

${\displaystyle \zeta (x)={\frac {1}{1-2^{-x}}}\cdot {\frac {1}{1-3^{-x}}}\cdot {\frac {1}{1-5^{-x}}}\cdot {\frac {1}{1-7^{-x}}}\cdots =\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-x}}}}$ ,

где произведение берётся по всем простым числам ${\displaystyle \displaystyle p}$. Это произведение сходится при ${\displaystyle x>1}$.

В комплексном анализе известно, что синус и косинус могут быть разложены в бесконечное произведение многочленов:

${\displaystyle \sin \pi z=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \cos \pi z=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1-{\frac {4z^{2}}{(2n+1)^{2}}}\right)}$.

Эти разложения являются следствием общей теоремы о том, что любая целая функция ${\displaystyle f}$, имеющая не более чем счётное количество нулей ${\displaystyle \{0\}\cup \{a_{n}\}\to \infty }$, где точка 0 — нуль порядка ${\displaystyle \lambda }$, может быть представлена в виде бесконечного произведения вида:

${\displaystyle f(z)=z^{\lambda }e^{h(z)}\prod _{1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{a_{n}}}\right)\exp \left({\frac {z}{a_{n}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{2}+\dots +{\frac {1}{p_{n}}}\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{p_{n}}\right)}$,

где ${\displaystyle h}$ — некоторая целая функция, а неотрицательные целые числа ${\displaystyle p_{n}}$ подобраны таким образом, чтобы ряд ${\displaystyle \sum _{1}^{\infty }\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{p_{n}+1}}$ сходился. При ${\displaystyle p_{n}=0}$ соответственная множителю номер ${\displaystyle n}$ экспонента опускается (считается равной ${\displaystyle \exp(0)=1}$).