Тригонометрические функции, их графики

Функция синуса имеет вид:

${\displaystyle y=\sin x}$.

Основные свойства этой функции:

1. Область определения ${\displaystyle D(x)=\mathbb {R} }$;
2. Область значений ${\displaystyle E(y)=[-1;1]}$;
3. Функция нечётная ${\displaystyle \sin(-x)=-\sin x}$;
4. Функция не является монотонной на всей своей области определения;
5. Функция периодична с периодом ${\displaystyle T=2\pi }$.

Синусо́ида — плоская кривая, задаваемая в прямоугольных координатах уравнением

${\displaystyle y=\sin x.}$

Построение графика удобно начинать с изображения области, которая ограничивает график сверху числом 1 и снизу числом -1, что обусловленно областью значений функции.

Также важно помнить значения синусов нескольких основных табличных углов, что позволит построить первую полную «волну» графика и потом перерисовывать её вправо и влево с периодом ${\displaystyle 2\pi }$.

Функция косинуса имеет вид:

${\displaystyle y=\cos x}$.

Основные свойства этой функции:

1. Область определения ${\displaystyle D(x)=\mathbb {R} }$;
2. Область значений ${\displaystyle E(y)=[-1;1]}$;
3. Функция чётная ${\displaystyle \cos(-x)=\cos x}$;
4. Функция не является монотонной на всей своей области определения;
5. Функция периодична с периодом ${\displaystyle T=2\pi }$.

Косинусо́ида — плоская кривая, задаваемая в прямоугольных координатах уравнением

${\displaystyle y=\cos x}$.

Построение графика косинуса также удобно начинать с изображения области, которая ограничивает график сверху числом 1 и снизу числом -1, в соответствии с областью значений функции.

Полезно помнить значения косинусов нескольких основных табличных углов, что позволит построить первую полную «волну» графика и потом перерисовывать её вправо и влево с периодом ${\displaystyle 2\pi }$.

Функция тангенса имеет вид:

${\displaystyle y=\mathrm {tg} x}$.

Основные свойства этой функции:

1. Область определения ${\displaystyle D(x)=\mathbb {R} }$, кроме ${\displaystyle x={\frac {\pi }{2}}+\pi n,n\in \mathbb {Z} }$ (тангенс этих аргументов не существует);
2. Область значений ${\displaystyle E(y)=\mathbb {R} }$;
3. Функция нечётная ${\displaystyle \mathrm {tg} (-x)=-\mathrm {tg} x}$;
4. Функция монотонно возрастает в пределах своих так называемых веток тангенса (см. рис.);
5. Функция периодична с периодом ${\displaystyle T=\pi }$.

Построение графика функции ${\displaystyle y=\mathrm {tg} x}$ удобно начинать с изображения вертикальных асимптот графика в точках, которые не входят в область определения, то есть ${\displaystyle x=-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}}$ и т. д.

Далее изображаем ветки тангенса внутри каждой из образованных асимптотами полос, прижимая их к левой асимптоте и к правой. При этом не забываем, что каждая ветка монотонно возрастает.

Все ветки изображаем одинаково, так как функция имеет период, равный ${\displaystyle \pi }$. Это видно по тому, что каждая ветка получается смещением соседней на вдоль оси ${\displaystyle \pi }$ абсцисс.

Функция котангенса имеет вид:

${\displaystyle y=\mathrm {ctg} x}$.

Основные свойства этой функции:

1. Область определения ${\displaystyle D(x)=\mathbb {R} }$, кроме ${\displaystyle x=\pi n,n\in \mathbb {Z} }$ (котангенс этих аргументов не существует);
2. Область значений ${\displaystyle E(y)=\mathbb {R} }$;
3. Функция нечётная ${\displaystyle \mathrm {ctg} (-x)=-\mathrm {ctg} x}$;
4. Функция монотонно убывает в пределах своих веток, аналогичных веткам тангенса (см. рис.);
5. Функция периодична с периодом ${\displaystyle T=\pi }$.

Как и для тангенса, построение удобно начинать с изображения вертикальных асимптот графика в точках, которые не входят в область определения, то есть ${\displaystyle x=-\pi ,0,\pi }$ и т. д. Далее изображаем ветки котангенса внутри каждой из образованных асимптотами полос, прижимая их к левой асимптоте и к правой. В этом случае учитываем, что каждая ветка монотонно убывает. Все ветки аналогично тангенсу изображаем одинаково, так как функция имеет период, равный ${\displaystyle \pi }$.

У тригонометрических функций со сложным аргументом период может быть нестандартным.

Например, у функций:

• ${\displaystyle y=\sin(ax\pm b)}$ и
• ${\displaystyle y=\cos(ax\pm b)}$

период будет равен:

${\displaystyle T={\frac {2\pi }{a}}}$.

Для функций:

• ${\displaystyle y=\mathrm {tg} (ax\pm b)}$ и
• ${\displaystyle y=\mathrm {ctg} (ax\pm b)}$

период составляет

${\displaystyle T={\frac {\pi }{a}}}$.

Как можно заметить, новый период получается делением стандартного периода на множитель при аргументе. От других видоизменений функции он не зависит.