Преобразования тригонометрических выражений

1. При преобразовании выражения с большим количеством тригонометрических функций необходимо привести его виду с минимальным количеством разных функций. Для этого следует воспользоваться основными тригонометрическими тождествами, формулами приведения и другими формулами.
2. Если выражение содержит функции с разными аргументами, необходимо постараться привести их к одному аргументу.
3. Если для упрощения выражений необходимо получить кофункцию, следует воспользоваться формулами приведения.
4. Если в выражении имеются функции высоких степеней, можно воспользоваться основным тригонометрическим тождеством или формулами понижения степеней.

Формула	Допустимые значения аргумента
${\displaystyle \operatorname {sin} ^{2}\alpha +\operatorname {cos} ^{2}\alpha =1}$	${\displaystyle \forall \alpha }$
${\displaystyle \operatorname {tg} ^{2}\alpha +1={\frac {1}{\cos ^{2}\alpha }}=\operatorname {sec} ^{2}\alpha }$	${\displaystyle \alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+\pi n,\quad n\in \mathbb {Z} }$
${\displaystyle \operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1={\frac {1}{\sin ^{2}\alpha }}=\operatorname {cosec} ^{2}\alpha }$	${\displaystyle \alpha \neq \pi n,\quad n\in \mathbb {Z} }$
${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \cdot \operatorname {ctg} \alpha =1}$	${\displaystyle \alpha \neq {\frac {\pi n}{2}},\quad n\in \mathbb {Z} }$

Формулами приведения называются формулы следующего вида:

${\displaystyle f(n\pi +\alpha )=\pm f(\alpha ),}$

${\displaystyle f(n\pi -\alpha )=\pm f(\alpha ),}$

${\displaystyle f\left({\frac {(2n+1)\pi }{2}}+\alpha \right)=\pm g(\alpha ),}$

${\displaystyle f\left({\frac {(2n+1)\pi }{2}}-\alpha \right)=\pm g(\alpha ).}$

Здесь ${\displaystyle f}$ — любая тригонометрическая функция, ${\displaystyle g}$ — соответствующая ей кофункция (то есть косинус для синуса, синус для косинуса, тангенс для котангенса, котангенс для тангенса, секанс для косеканса и косеканс для секанса), ${\displaystyle n}$ — целое число. Перед полученной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция в заданной координатной четверти при условии, что угол ${\displaystyle \alpha }$ острый, например:

${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\sin \alpha \,,}$ или что то же самое: ${\displaystyle \cos \left(90^{\circ }-\alpha \right)=\sin \alpha \,.}$

Таблица, позволяющая получить некоторые формулы приведения:

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://ru.ruwiki.ru/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Expected width > 0.»): {\displaystyle }	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\alpha }$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+\alpha }$	${\displaystyle \pi -\alpha }$	${\displaystyle \pi +\alpha }$	${\displaystyle {\frac {3\,\pi }{2}}-\alpha }$	${\displaystyle {\frac {3\,\pi }{2}}+\alpha }$	${\displaystyle 2\,\pi -\alpha }$
${\displaystyle \sin }$	${\displaystyle \cos \alpha }$	${\displaystyle \cos \alpha }$	${\displaystyle \sin \alpha }$	${\displaystyle -\sin \alpha }$	${\displaystyle -\cos \alpha }$	${\displaystyle -\cos \alpha }$	${\displaystyle -\sin \alpha }$
${\displaystyle \cos }$	${\displaystyle \sin \alpha }$	${\displaystyle -\sin \alpha }$	${\displaystyle -\cos \alpha }$	${\displaystyle -\cos \alpha }$	${\displaystyle -\sin \alpha }$	${\displaystyle \sin \alpha }$	${\displaystyle \cos \alpha }$
${\displaystyle \operatorname {tg} }$	${\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha }$	${\displaystyle -\operatorname {ctg} \,\alpha }$	${\displaystyle -\operatorname {tg} \,\alpha }$	${\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha }$	${\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha }$	${\displaystyle -\operatorname {ctg} \,\alpha }$	${\displaystyle -\operatorname {tg} \,\alpha }$
${\displaystyle \operatorname {ctg} }$	${\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha }$	${\displaystyle -\operatorname {tg} \,\alpha }$	${\displaystyle -\operatorname {ctg} \,\alpha }$	${\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha }$	${\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha }$	${\displaystyle -\operatorname {tg} \,\alpha }$	${\displaystyle -\operatorname {ctg} \,\alpha }$

Из формулы двойного угла для косинуса выводятся формулы половинного угла, в частности тангенса половинного угла:

Формулы половинного угла
${\displaystyle \sin {\alpha \over 2}=\pm {\sqrt {1-\cos \alpha \over 2}}}$
${\displaystyle \cos {\alpha \over 2}=\pm {\sqrt {1+\cos \alpha \over 2}}}$
${\displaystyle \operatorname {tg} {\alpha \over 2}=\pm {\sqrt {1-\cos \alpha \over 1+\cos \alpha }}={\sin \alpha \over 1+\cos \alpha }={1-\cos \alpha \over \sin \alpha }}$
${\displaystyle \operatorname {ctg} {\alpha \over 2}=\pm {\sqrt {1+\cos \alpha \over 1-\cos \alpha }}={\sin \alpha \over 1-\cos \alpha }={1+\cos \alpha \over \sin \alpha }}$

• В формулах половинного угла знаки перед радикалами следует выбирать в зависимости от знака тригонометрической функции, стоящей в левой части равенства.

В формуле ${\displaystyle \operatorname {tg} {\alpha \over 2}={1-\cos \alpha \over \sin \alpha }}$ и аналогичной для котангенса, левая и правая части имеют разные области определения, и невнимательность в преобразованиях может приводить к появлению лишних корней.

Синус	Косинус	Произведение
${\displaystyle \sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 2\alpha }{2}}}$	${\displaystyle \cos ^{2}\alpha ={\frac {1+\cos 2\alpha }{2}}}$	${\displaystyle \sin ^{2}\alpha \cos ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 4\alpha }{8}}}$
${\displaystyle \sin ^{3}\alpha ={\frac {3\sin \alpha -\sin 3\alpha }{4}}}$	${\displaystyle \cos ^{3}\alpha ={\frac {3\cos \alpha +\cos 3\alpha }{4}}}$	${\displaystyle \sin ^{3}\alpha \cos ^{3}\alpha ={\frac {3\sin 2\alpha -\sin 6\alpha }{32}}}$
${\displaystyle \sin ^{4}\alpha ={\frac {3-4\cos 2\alpha +\cos 4\alpha }{8}}}$	${\displaystyle \cos ^{4}\alpha ={\frac {3+4\cos 2\alpha +\cos 4\alpha }{8}}}$	${\displaystyle \sin ^{4}\alpha \cos ^{4}\alpha ={\frac {3-4\cos 4\alpha +\cos 8\alpha }{128}}}$
${\displaystyle \sin ^{5}\alpha ={\frac {10\sin \alpha -5\sin 3\alpha +\sin 5\alpha }{16}}}$	${\displaystyle \cos ^{5}\alpha ={\frac {10\cos \alpha +5\cos 3\alpha +\cos 5\alpha }{16}}}$	${\displaystyle \sin ^{5}\alpha \cos ^{5}\alpha ={\frac {10\sin 2\alpha -5\sin 6\alpha +\sin 10\alpha }{512}}}$

Формулы преобразования произведения функций выводятся из формул сложения аргументов.

Синус и косинус	Тангенс и котангенс
${\displaystyle \sin \alpha \sin \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{2}}}$	${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \operatorname {tg} \beta ={\frac {\operatorname {tg} \alpha +\operatorname {tg} \beta }{\operatorname {ctg} \alpha +\operatorname {ctg} \beta }}=-{\frac {\operatorname {tg} \alpha -\operatorname {tg} \beta }{\operatorname {ctg} \alpha -\operatorname {ctg} \beta }}}$
${\displaystyle \sin \alpha \cos \beta ={\frac {\sin(\alpha -\beta )+\sin(\alpha +\beta )}{2}}}$	${\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha \operatorname {ctg} \beta ={\frac {\operatorname {ctg} \alpha +\operatorname {ctg} \beta }{\operatorname {tg} \alpha +\operatorname {tg} \beta }}=-{\frac {\operatorname {ctg} \alpha -\operatorname {ctg} \beta }{\operatorname {tg} \alpha -\operatorname {tg} \beta }}}$
${\displaystyle \cos \alpha \cos \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )}{2}}}$	${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \operatorname {ctg} \beta ={\frac {\operatorname {tg} \alpha +\operatorname {ctg} \beta }{\operatorname {ctg} \alpha +\operatorname {tg} \beta }}=-{\frac {\operatorname {tg} \alpha -\operatorname {ctg} \beta }{\operatorname {ctg} \alpha -\operatorname {tg} \beta }}}$

Синус и косинус	Тангенс и котангенс
${\displaystyle \sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin {\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\cos {\frac {\alpha \mp \beta }{2}}}$	${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}}$
${\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}$	${\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha \pm \operatorname {ctg} \beta ={\frac {\sin(\beta \pm \alpha )}{\sin \alpha \sin \beta }}}$
${\displaystyle \cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}$	${\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta ={\frac {\cos(\alpha \mp \beta )}{\sin \alpha \cos \beta }}}$

• ${\displaystyle \sin {3\alpha }=3\sin {\alpha }-4{\sin ^{3}\alpha }}$
• ${\displaystyle \cos {3\alpha }=4{\cos ^{3}\alpha }-3{\cos \alpha }}$
• ${\displaystyle \operatorname {tg} 3\alpha {\frac {3\operatorname {tg} \alpha -\operatorname {tg} ^{3}\alpha }{1-3\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}}$
• ${\displaystyle \sin ^{2}\alpha -\sin ^{2}\beta =\sin(\alpha +\beta )\sin(\alpha -\beta )}$;
• ${\displaystyle \cos ^{2}\alpha -\cos ^{2}\beta =\sin(\alpha +\beta )\sin(\beta -\alpha )}$;
• ${\displaystyle \sin ^{2}\alpha -\cos ^{2}\alpha =-\cos(\alpha +\beta )\cos(\alpha -\beta )}$;
• ${\displaystyle \sin \alpha +\cos \alpha ={\sqrt {2}}\sin(\alpha +{\frac {\pi }{4}})}$;
• ${\displaystyle \sin \alpha -\cos \alpha ={\sqrt {2}}\sin(\alpha -{\frac {\pi }{4}})}$;
• ${\displaystyle \sin \alpha +\cos \beta =2\sin {({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\alpha -\beta }{2}})}\cos {({\frac {\pi }{4}}-{\frac {\alpha +\beta }{2}})}}$

Необходимо упростить выражение:

${\displaystyle \cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {1}{2}}\cos \alpha }$.

Применяем формулу понижения степени для косинуса и получаем:

${\displaystyle {\frac {\cos \alpha +1}{2}}-{\frac {1}{2}}\cos \alpha ={\frac {\cos \alpha +1-\cos \alpha }{2}}={\frac {1}{2}}}$.