Целая часть

Впервые квадратные скобки (${\displaystyle [x]}$) для обозначения целой части числа ${\displaystyle x}$ использовал Гаусс в 1808 году в своём доказательстве закона квадратичной взаимности^[1]. Это обозначение считалось стандартным^[2], пока Кеннет Айверсон в своей книге «A Programming Language», опубликованной в 1962 году, не предложил^[3][4][5] округление числа ${\displaystyle x}$ до ближайшего целого в меньшую и большую стороны называть «пол» и «потолок» ${\displaystyle x}$ и обозначать ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ и ${\displaystyle \lceil x\rceil }$ соответственно.

В современной математике используются оба обозначения^[6], ${\displaystyle [x]}$ и ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$, однако всё более и более преимущественно применяют терминологию и обозначения Айверсона: одна из причин состоит в том, что для отрицательных чисел понятие «целая часть числа» уже является неоднозначным^[5]. Например, целая часть числа 2,7 равна 2, но на то, как определить целую часть числа −2,7, уже возможны две точки зрения: по определению, данному в этой статье, ${\displaystyle [x]\equiv \lfloor x\rfloor =-3}$, однако в некоторых калькуляторах функция целой части INT для отрицательных чисел определяется как INT(-x) = -INT(x), так что INT(-2,7) = −2. Терминология Айверсона лишена этих недостатков:

${\displaystyle {\begin{matrix}\lfloor 2{,}7\rfloor =2,&\lfloor -2{,}7\rfloor =-3,\\\lceil 2{,}7\rceil =3,&\lceil -2{,}7\rceil =-2.\end{matrix}}}$

Функция «пол» ${\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor \colon x\mapsto \lfloor x\rfloor }$ определяется как наибольшее целое, меньшее или равное ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle \lfloor x\rfloor =\max\{n\in \mathbb {Z} \mid n\leqslant x\}.}$

Функция «потолок» ${\displaystyle \lceil \,\cdot \,\rceil \colon x\mapsto \lceil x\rceil }$ — это наименьшее целое, большее или равное ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle \lceil x\rceil =\min\{n\in \mathbb {Z} \mid n\geqslant x\}.}$

Эти определения эквивалентны следующим неравенствам (где n — целое число):^[7]

${\displaystyle {\begin{matrix}\lfloor x\rfloor =n&\Longleftrightarrow &n\leqslant x<n+1&\Longleftrightarrow &x-1<n\leqslant x,\\\lceil x\rceil =n&\Longleftrightarrow &n-1<x\leqslant n&\Longleftrightarrow &x\leqslant n<x+1.\end{matrix}}}$

В формулах, записанных ниже, буквами ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ обозначены вещественные числа, а буквами ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle m}$ — целые.

Функции пол и потолок отображают множество вещественных чисел в множество целых чисел:

${\displaystyle \lfloor \,\cdot \,\rfloor \colon \mathbb {R} \to \mathbb {Z} ,\quad \lceil \,\cdot \,\rceil \colon \mathbb {R} \to \mathbb {Z} ,\quad }$

Пол и потолок — кусочно-постоянные функции.

Функции пол и потолок разрывны: во всех целочисленных точках терпят разрывы первого рода со скачком, равным единице.

При этом функция пол является:

• полунепрерывной сверху и
• непрерывной справа.

Функция потолок является:

• полунепрерывной снизу и
• непрерывной слева.

Для произвольного числа ${\displaystyle x}$ верно неравенство:^[8]

${\displaystyle \lfloor x\rfloor \leqslant x\leqslant \lceil x\rceil }$.

Для целого ${\displaystyle x}$ пол и потолок совпадают:

${\displaystyle \lfloor x\rfloor =x\quad \Longleftrightarrow \quad x\in \mathbb {Z} \quad \Longleftrightarrow \quad \lceil x\rceil =x}$.

Если ${\displaystyle x}$ — не целое, то значение функции потолок на единицу больше значения функции пол:

${\displaystyle \lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor ={\begin{cases}1,&x\notin \mathbb {Z} \\0,&x\in \mathbb {Z} \end{cases}}}$.

Функции пол и потолок являются отражениями друг друга от обеих осей:

${\displaystyle \lfloor -x\rfloor =-\lceil x\rceil ,\quad \lceil -x\rceil =-\lfloor x\rfloor }$.

Любое неравенство между вещественным и целым числами равносильно неравенству с полом и потолком между целыми числами^[7]:

${\displaystyle {\begin{matrix}n\leqslant x&\Longleftrightarrow &n\leqslant \lfloor x\rfloor &\qquad x\leqslant n&\Longleftrightarrow &\lceil x\rceil \leqslant n\\n<x&\Longleftrightarrow &n<\lceil x\rceil &\qquad x<n&\Longleftrightarrow &\lfloor x\rfloor <n\end{matrix}}}$.

Два верхних неравенства являются непосредственными следствиями определений пола и потолка, а два нижние — обращение верхних от противного.

Функции пол/потолок являются монотонно возрастающими функциями:

${\displaystyle x\leqslant y\Rightarrow \lfloor x\rfloor \leqslant \lfloor y\rfloor ,\quad x\leqslant y\Rightarrow \lceil x\rceil \leqslant \lceil y\rceil }$.

Целочисленное слагаемое можно вносить/выносить за скобки пола/потолка^[9]:

${\displaystyle \lfloor x+n\rfloor =\lfloor x\rfloor +n,\quad \lceil x+n\rceil =\lceil x\rceil +n}$.

Предыдущие равенства, вообще говоря, не выполняются, если оба слагаемых — вещественные числа. Однако и в этом случае справедливы неравенства:

${\displaystyle \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor \leqslant \lfloor x+y\rfloor \leqslant \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +1,\quad \lceil x\rceil +\lceil y\rceil -1\leqslant \lceil x+y\rceil \leqslant \lceil x\rceil +\lceil y\rceil }$.

Имеет место следующее предложение:^[10]

Пусть ${\displaystyle f(x)}$ — непрерывная монотонно возрастающая функция, определённая на некотором промежутке, обладающая свойством:

${\displaystyle f(x)\in \mathbb {Z} \Rightarrow x\in \mathbb {Z} }$.

Тогда:

${\displaystyle \lfloor f(x)\rfloor =\lfloor f(\lfloor x\rfloor )\rfloor ,\quad \lceil f(x)\rceil =\lceil f(\lceil x\rceil )\rceil }$,

всякий раз, когда определены ${\displaystyle f(x),f(\lfloor x\rfloor ),f(\lceil x\rceil )}$.

В частности,

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {x+m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {\left\lfloor x\right\rfloor +m}{n}}\right\rfloor ,\quad \left\lceil {\frac {x+m}{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {\left\lceil x\right\rceil +m}{n}}\right\rceil }$,

если ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ — целые числа, и ${\displaystyle n>0}$.

Если ${\displaystyle m,n}$ — целые числа, ${\displaystyle m>0}$, то:^[11]

${\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor }$

Вообще, если ${\displaystyle x}$ — произвольное вещественное число, а ${\displaystyle m}$ — целое положительное, то:

${\displaystyle \lfloor mx\rfloor =\left\lfloor x\right\rfloor +\left\lfloor x+{\frac {1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor x+{\frac {m-1}{m}}\right\rfloor }$

(тождество Эрмита).

Имеет место более общее соотношение:^[12]:

${\displaystyle \sum _{0\leqslant k<m}\left\lfloor {\frac {nk+x}{m}}\right\rfloor =d\left\lfloor {\frac {x}{d}}\right\rfloor +{\frac {(m-1)(n-1)}{2}}+{\frac {d-1}{2}},\quad d=(m,n)}$.

Так как правая часть этого равенства симметрична относительно ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$, то справедлив следующий закон взаимности:

${\displaystyle \sum _{0\leqslant k<m}\left\lfloor {\frac {nk+x}{m}}\right\rfloor =\sum _{0\leqslant k<n}\left\lfloor {\frac {mk+x}{n}}\right\rfloor ,\quad m,n>0}$.

Тривиальным образом функция антье раскладывается в ряд с помощью функции Хевисайда:

${\displaystyle [x]=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }n\left(\theta (x-n)-\theta (x-n-1)\right),}$

где каждое слагаемое ряда создаёт характерные «ступеньки» функции. Этот ряд сходится абсолютно, однако ошибочное преобразование его слагаемых может привести к «упрощённому» ряду:

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{+\infty }\theta \left(x-n\right),}$

который расходится.

Целочисленные функции пол/потолок находят широкое применение в дискретной математике и теории чисел. Ниже приведены некоторые примеры использования этих функций.

Количество цифр в записи целого положительного числа в позиционной системе счисления с основанием b равно:^[13]

${\displaystyle \lfloor \log _{b}n\rfloor +1}$.

Ближайшее к ${\displaystyle x}$ целое число может быть определено по формуле:

${\displaystyle (x)=\lfloor x+0{,}5\rfloor }$.

Операция «остаток по модулю», обозначаемая ${\displaystyle x{\bmod {y}}}$, может быть определена с помощью функции пола следующим образом. Если ${\displaystyle x,y}$ — произвольные вещественные числа, и ${\displaystyle y\neq 0}$, то неполное частное от деления ${\displaystyle x}$ на ${\displaystyle y}$ равно:

${\displaystyle \lfloor x/y\rfloor }$,

а остаток:

${\displaystyle x\,{\bmod {\,}}y=x-y\lfloor x/y\rfloor }$.

Дробная часть вещественного числа ${\displaystyle x}$ по определению равна:

${\displaystyle \{x\}=x\,{\bmod {\,}}1=x-\lfloor x\rfloor }$.

Требуется найти количество целых точек в замкнутом промежутке с концами ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$, то есть количество целых чисел ${\displaystyle n}$, удовлетворяющий неравенству:

${\displaystyle \alpha \leqslant n\leqslant \beta }$.

В силу свойств пол/потолка, это неравенство равносильно:

${\displaystyle \lceil \alpha \rceil \leqslant n\leqslant \lfloor \beta \rfloor }$.

Это есть число точек в замкнутом промежутке с концами ${\displaystyle \lceil \alpha \rceil }$ и ${\displaystyle \lfloor \beta \rfloor }$, равное ${\displaystyle \lfloor \beta \rfloor -\lceil \alpha \rceil +1}$.

Аналогично можно подсчитать количество целых точек в других типах промежутков. Сводка результатов приведена ниже:^[14].

${\displaystyle \#\{n\in \mathbb {Z} \colon \alpha \leqslant n\leqslant \beta \}=\lfloor \beta \rfloor -\lceil \alpha \rceil +1}$

${\displaystyle \#\{n\in \mathbb {Z} \colon \alpha \leqslant n<\beta \}=\lceil \beta \rceil -\lceil \alpha \rceil }$

${\displaystyle \#\{n\in \mathbb {Z} \colon \alpha <n\leqslant \beta \}=\lfloor \beta \rfloor -\lfloor \alpha \rfloor }$

${\displaystyle \#\{n\in \mathbb {Z} \colon \alpha <n<\beta \}=\lceil \beta \rceil -\lfloor \alpha \rfloor -1}$

(Через ${\displaystyle \#M}$ обозначена мощность множества ${\displaystyle M}$).

Первые три результата справедливы при всех ${\displaystyle \alpha \leqslant \beta }$, а четвёртый — только при ${\displaystyle \alpha <\beta }$.

Пусть ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ — положительные иррациональные числа, связанные соотношением:^[15]

${\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{\beta }}=1.}$

Тогда в ряду чисел:

${\displaystyle \lfloor \alpha \rfloor ,\lfloor \beta \rfloor ,\lfloor 2\alpha \rfloor ,\lfloor 2\beta \rfloor ,\ldots ,\lfloor m\alpha \rfloor ,\lfloor m\beta \rfloor ,\ldots }$

каждое натуральное ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ встречается в точности один раз.

Иными словами, последовательности

${\displaystyle \{m\alpha \mid m\in \mathbb {N} \}}$ и ${\displaystyle \{m\beta \mid m\in \mathbb {N} \}}$,

называемые последовательностями Битти, образуют разбиение натурального ряда.^[16]

Во многих языках программирования существуют встроенные функции пола/потолка: floor(), ceil().

В TeX (и LaTeX) для символов пола/потолка ${\displaystyle \lfloor }$, ${\displaystyle \rfloor }$, ${\displaystyle \lceil }$, ${\displaystyle \rceil }$ существуют специальные команды: \lfloor, \rfloor, \lceil, \rceil. Поскольку wiki использует LaTeX для набора математических формул, то и в данной статье использованы именно эти команды.