Уравнение седьмой степени

Любое уравнение вида ${\displaystyle P(x_{1},...,x_{n})=0}$, где ${\displaystyle P(x_{1},...,x_{n})}$ — многочлен (отличный от нулевого) относительно ${\displaystyle x_{1},...,x_{n}}$, называется алгебраическим уравнением относительно переменных ${\displaystyle x_{1},...,x_{n}}$.

Коэффициенты многочлена могут при этом быть как постоянными, так и параметрами (то есть переменными, отличными от ${\displaystyle x_{1},...,x_{n}}$) или функциями таких параметров.

Если алгебраическое уравнение разделить на ${\displaystyle A_{0}\neq 0}$, то, обозначая ${\displaystyle A_{i}/A_{0}=a_{i}}$ ${\displaystyle (i=1,2,...,n)}$, получают каноническую форму алгебраического уравнения ${\displaystyle n}$-й степени относительно ${\displaystyle x}$^[2]:

Каноническая форма алгебраического уравнения ${\displaystyle x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+...+a_{n-1}x+a_{n}=0}$.

Всякое уравнение ${\displaystyle n}$-й степени, коэффициенты которого — действительные или комплексные числа, имеет ${\displaystyle n}$ корней, действительных или комплексных, если ${\displaystyle k}$-кратный корень считать за ${\displaystyle k}$ корней^[3].

Если корни ${\displaystyle P(x)}$ равны ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\dots }$ и, соответственно, кратности их ${\displaystyle k,l,m,\dots }$, то ${\displaystyle P(x)=(x-\alpha )^{k}(x-\beta )^{l}(x-\gamma )^{m}\dots }$

В алгебраически замкнутом поле каждый многочлен степени ${\displaystyle n}$ имеет ровно ${\displaystyle n}$ корней (считая их кратность). В частности, это справедливо для поля комплексных чисел.

Уравнение ${\displaystyle a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n}=0}$ степени ${\displaystyle n}$ с коэффициентами из поля ${\displaystyle P}$ называется неприводимым над полем ${\displaystyle P}$, если многочлен ${\displaystyle P(x)}$ неприводим над этим полем, то есть не может быть представлен в виде произведения других многочленов над полем ${\displaystyle P}$, степени которых меньше ${\displaystyle n}$. В противном случае многочлен и соответствующее уравнение называются приводимыми. Неприводимость многочлена над полем рациональных чисел устанавливается критерием Эйзенштейна: если для многочлена ${\displaystyle P(x)}$ степени ${\displaystyle n>0}$ с целыми коэффициентами существует простое число ${\displaystyle p}$, такое, что старший коэффициент ${\displaystyle a_{0}}$ не делится на ${\displaystyle p}$, все остальные коэффициенты делятся на ${\displaystyle p}$, а свободный член ${\displaystyle a_{n}}$ не делится на ${\displaystyle p^{2}}$, то этот многочлен неприводим над полем рациональных чисел.

Пусть ${\displaystyle P}$ — произвольное поле. Для любого многочлена ${\displaystyle P(x)}$ степени ${\displaystyle n>1}$, неприводимого над полем ${\displaystyle P}$, существует такое расширение поля ${\displaystyle P}$, в котором содержится хотя бы один корень многочлена ${\displaystyle P(x)}$. Более того, существует поле разложения многочлена ${\displaystyle P(x)}$, то есть расширение поля ${\displaystyle P}$, в котором этот многочлен может быть разложен на линейные множители. Любое поле имеет алгебраически замкнутое расширение^[4].

Отдельные уравнения седьмой степени могут быть решены путём разложения на радикалы.

Основная теорема Галуа теории о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах гласит: пусть ${\displaystyle f(x)}$ — многочлен с коэффициентами из поля ${\displaystyle K}$, неприводимый над ${\displaystyle K}$.

1. Если хотя бы один корень уравнения ${\displaystyle f(x)=0}$ выражается в радикалах через коэффициенты этого уравнения, причём показатели радикалов не делятся на характеристику поля ${\displaystyle K}$, то группа Галуа этого уравнения над полем ${\displaystyle K}$ разрешима.
2. Обратно, если группа Галуа уравнения ${\displaystyle f(x)=0}$ над полем ${\displaystyle K}$ разрешима, причём характеристика поля ${\displaystyle K}$ или равна нулю, или больше всех порядков композиционных факторов этой группы, то все корни уравнения представляются в радикалах через его коэффициенты, причём все показатели встречающихся радикалов ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}$ — простые числа, а соответствующие этим радикалам двучленные уравнения ${\displaystyle x^{n}-a=0}$ неприводимы над полями, к которым эти радикалы присоединяются.

Теорема Абеля является следствием теоремы Галуа, так как группа Галуа уравнения степени ${\displaystyle n}$ с буквенными коэффициентами над полем ${\displaystyle P}$ рациональных функций от коэффициентов уравнения с коэффициентами из любого поля ${\displaystyle K}$ — симметричная группа ${\displaystyle S_{n}}$ и при ${\displaystyle n>4}$ неразрешима. Для любого ${\displaystyle n>4}$ существуют уравнения степени ${\displaystyle n}$ с рациональными (и даже целыми) коэффициентами, неразрешимые в радикалах. В теории Галуа применяется метод сведения решения алгебраического уравнения к цепочке более простых уравнений, называемых резольвентами данного уравнения^[5].

Общее уравнение седьмой степени может быть решено с помощью чередующихся или симметричных групп A₇ или S₇. Для решения таких уравнений требуются гиперэллиптические функции и связанные с ними тета-функции 3-го рода. Однако математики XIX века, изучавшие решения алгебраических уравнений, намеренно не уделяли внимания этим уравнениям, поскольку решения уравнений шестой степени уже были на пределе их вычислительных возможностей без применения ЭВМ.

Уравнения седьмой степени — это уравнения низшего порядка, для которых не очевидно, что их решения могут быть получены путём наложения непрерывных функций двух переменных. В. И. Арнольд и А. Н. Колмогоров доказали в 1957 году, что любая непрерывная функция любого количества переменных представляется в виде суперпозиции непрерывных функций одной и двух переменных (и, более того, что в таком представлении можно обойтись, в дополнение к непрерывным функциям одной переменной, единственной функцией двух переменных — сложением):

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{q=0}^{2n}\Phi _{q}\left(\sum _{p=1}^{n}\psi _{q,p}(x_{p})\right).}$

Функций ${\displaystyle \Phi _{q}}$ и ${\displaystyle \psi _{q,p}}$, не считая нулевых, требуется не более ${\displaystyle (n+1)(2n+1)}$ штук, в частности, для двух переменных — не более 15, для трёх — не более 28.