Знак корня

В греческой математике операция нахождения корня называлась πλευρά — «сторона». Древнегреческие математики говорили «найти сторону по данной площади квадрата» вместо «извлечь корень». Следуя этой традиции, квадратный корень называли «стороной». В латинском языке «сторона, бок, корень» выражаются одним и тем же словом — radix. От этого слова произошли термины радикал и корень, которые вошли в математику благодаря Иоганну из Севильи (1140), Роберту Честерскому (1145) и Герарду из Кремоны (1150), переводившим «Начала» Евклида с арабского на латынь.

Вслед за Леонардо Пизанским (1220) многие обозначали (вплоть до XVII в.) квадратный корень знаком ${\displaystyle {\text{R}}_{\text{x}}}$ (от лат. radix). Н. Шюке обозначал квадратный, кубический и т. д. корни знаками ${\displaystyle {\text{R}}_{\text{x}}^{2}}$, ${\displaystyle {\text{R}}_{\text{x}}^{3}}$ и т. д. В немецкой рукописи около 1480 года квадратный корень обозначался точкой перед числом, кубический корень — тремя точками, а корень четвёртой степени — двумя точками^[1].

Знак корня ввёл автор первого учебника по алгебре на немецком языке, учитель математики в Вене Рудольф (1525). Он обозначил корень квадратный как ${\displaystyle \surd }$. В 1637 году Декарт объединил знак корня с горизонтальной чертой — знаком скобок, и получился современный знак корня. Он вошёл в употребление лишь с начала XVIII века, до этого использовались различные символы.^[2].

Кубический корень в XVI веке обозначался по-разному. С появлением современного знака радикала корни степени выше второй некоторое время обозначалась замысловатыми зигзагами, состоящими из «склеенных» соответствующее число раз знаков радикала, или пометкой после радикала — например, ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}}$ мог обозначаться ${\displaystyle {\sqrt {Cx}}}$, где буква С означала «кубический», или ${\displaystyle {\sqrt {3:x}}.}$ Современное обозначение корня произвольной степени с показателем слева вверху начал использовать Альбер Жирар (1629)^[3]. Знаки ${\displaystyle {\sqrt[{3\,}]{\quad }}}$, ${\displaystyle {\sqrt[{4\,}]{\quad }}}$ ввёл Ньютон в работе «Arithmetica universalis», написанной между 1673 и 1683 гг., (вышла в 1707 г.). В публикациях 1720 г. уже повсеместно употребляются обозначения Ньютона^[2]. Таким образом, эволюция знака радикала длилась почти пятьсот лет.

В некоторых типографских традициях (например, в германской) принято верхнюю черту знака корня снабжать справа небольшой обращённой вниз засечкой. В американской типографике (в частности, системе T_EΧ) этой детали нет.

Длина и высота знака корня должны быть такими, чтобы полностью покрывать подкоренное выражение. При соседстве в одной строке нескольких подкоренных выражений разной (но близкой) высоты часто бывает принято все знаки корня подстраивать под самое высокое из них.

Операция извлечения корня есть нахождение основания степени по степени и её показателю. Данная степень получает название подкоренного числа, данный показатель — показателя корня, искомое основание степени называется корнем.

В записи ${\displaystyle {\sqrt[{4}]{81}}=3}$ число ${\displaystyle 81}$ — подкоренное число, ${\displaystyle 4}$ — показатель корня, ${\displaystyle 3}$ — корень.

Корень второй степени называется иначе квадратным; корень третьей степени — кубическим. При знаке квадратного корня показатель корня принято опускать: ${\displaystyle {\sqrt[{2}]{16}}=4}$ означает ${\displaystyle {\sqrt {16}}=4}$^[4].

Корнем ${\displaystyle n}$-й степени из ${\displaystyle x}$:  ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$ называется величина ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle n}$-я степень которой равна ${\displaystyle x}$: ${\displaystyle y^{n}=x}$. 

При ${\displaystyle n}$ чётном ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$ существует (среди действительных чисел) только при ${\displaystyle x\geqslant 0}$, причём допустимы два значения корня — положительное и отрицательное. Для определённости знак корня в этом случае всегда берут положительным, так что ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{(x)^{n}}}=|x|}$ (см. Арифметический корень).

При ${\displaystyle n}$ нечётном существует единственное значение ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$, знак которого совпадает со знаком ${\displaystyle x}$. Из определения следует, что ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x\cdot y}}={\sqrt[{n}]{x}}\cdot {\sqrt[{n}]{y}}}$ , ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x/y}}={\sqrt[{n}]{x}}/{\sqrt[{n}]{y}}}$ при условии, что соответствующие корни существуют^[5].

Числа ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$, ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{3+{\sqrt {2}}}}}$ и многие другие выражения, содержащие рациональные числа под знаком радикала, иррациональны. Эти иррациональные числа называются «выражающимися через радикалы». До конца XVIII века математики были убеждены, что корень всякого алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами, если этот корень не рационален, можно выразить через радикалы; затем было доказано, что это верно лишь для уравнений до 4-й степени включительно. Иррациональные корни уравнений 5-й и высших степеней, как правило, не могут быть выражены через радикалы^[6].

Иррациональное число, не могущее быть корнем никакого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами, называется трансцендентным числом. Все числа вида ${\displaystyle \alpha ^{\sqrt {n}}}$, где ${\displaystyle \alpha }$ — алгебраическое число, не равное нулю или единице, а ${\displaystyle n}$ — целое число. Это было доказано А. О. Гельфондом (1929 г.) и Р. О. Кузьминым (1930 г.)^[6].

Если ${\displaystyle n}$ — натуральное число и ${\displaystyle c}$ — комплексное число, то ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{c}}}$ (корень ${\displaystyle n}$-й степени из ${\displaystyle c}$) есть решение уравнения ${\displaystyle z^{n}=c}$. При ${\displaystyle c\neq 0}$ существует ровно ${\displaystyle n}$ различных корней ${\displaystyle n}$-й степени из ${\displaystyle c}$. Они определяются формулами ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{c}}={\sqrt[{n}]{|c|}}\left(\cos {\frac {\varphi +2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)}$, где ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|c|}}}$ — арифметический корень из положительного числа ${\displaystyle |c|}$, ${\displaystyle \varphi =\arg c}$ и ${\displaystyle k=0,1,2,...,n-1}$^[7].