Куб (алгебра)

Функция ${\displaystyle y=x^{3}}$ называется кубической параболой.

Её график обладает следующими свойствами:

• Область определения: все действительные числа (${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$).
• Область значений: все действительные числа (${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$). Следовательно, функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения — в отличие от ${\displaystyle y=x^{2}}$, у которой есть наименьшее значение (0) при отсутствии наибольшего.
• Чётность: функция нечётна, то есть ${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$, поэтому график центрально-симметричен относительно начала координат ${\displaystyle (0;0)}$.
• Периодичность: функция непериодична.
• Монотонность: функция строго возрастает на всей числовой прямой: чем больше ${\displaystyle x}$, тем больше ${\displaystyle y}$. Это отличает кубическую параболу от квадратичной, которая возрастает только на половине области определения.
• Точка перегиба: в точке ${\displaystyle (0;0)}$ график меняет выпуклость: при ${\displaystyle x<0}$ он выпуклый вверх, при ${\displaystyle x>0}$ — выпуклый вниз (вторая производная ${\displaystyle y''=6x}$ меняет знак).
• Касательная в нуле: горизонтальна (${\displaystyle y'(0)=0}$), однако экстремума в этой точке нет, поскольку производная ${\displaystyle y'=3x^{2}\geq 0}$ не меняет знак при переходе через нуль.
• Промежутки знакопостоянства: ${\displaystyle y<0}$ при ${\displaystyle x<0}$, ${\displaystyle y=0}$ при ${\displaystyle x=0}$, ${\displaystyle y>0}$ при ${\displaystyle x>0}$.
• Асимптоты: отсутствуют (ни вертикальных, ни горизонтальных, ни наклонных), так как функция определена на всей прямой и ${\displaystyle x^{3}}$ растёт быстрее любой линейной функции.
• Поведение на бесконечности:

 * при ${\displaystyle x\to +\infty }$ значение ${\displaystyle y\to +\infty }$ (быстрее, чем у квадратичной параболы, начиная с ${\displaystyle x>1}$; при ${\displaystyle 0<x<1}$, наоборот, ${\displaystyle x^{3}<x^{2}}$, а равенство достигается при ${\displaystyle x=1}$);
 * при ${\displaystyle x\to -\infty }$ значение ${\displaystyle y\to -\infty }$.

• Нули функции: единственный нуль в точке ${\displaystyle x=0}$.

Для кубов справедливы основные формулы сокращённого умножения:

• Куб суммы: ${\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}.}$
• Куб разности: ${\displaystyle (a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}.}$
• Сумма кубов: ${\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2}).}$
• Разность кубов: ${\displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}).}$
• Тождество для трёх переменных: ${\displaystyle a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca).}$

Последовательность кубов неотрицательных целых чисел начинается числами^[1]:

${\displaystyle 0,1,8,27,64,125,216,343,512,729,1000,1331,1728,2197,2744,3375,\ldots }$

В десятичной записи куб целого числа может оканчиваться на любую цифру (в отличие от квадрата). Однако предпоследняя цифра подчиняется ограничениям. Зависимость предпоследней цифры куба от последней представлена в таблице:

Две последние цифры куба могут принимать следующие 63 значения^[2]: 00, 01, 03, 04, 07, 08, 09, 11, 12, 13, 16, 17, 19, 21, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 31, 32, 33, 36, 37, 39, 41, 43, 44, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 56, 57, 59, 61, 63, 64, 67, 68, 69, 71, 72, 73, 75, 76, 77, 79, 81, 83, 84, 87, 88, 89, 91, 92, 93, 96, 97, 99.

«Кубическое число» ${\displaystyle Q_{n}=n^{3}}$ исторически рассматривалось как пространственное фигурное число. Оно тесно связано с треугольными числами ${\displaystyle T_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}}$ и тетраэдральными ${\displaystyle \Pi _{n}^{(3)}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}}$.

• Каждое кубическое число можно представить как разность квадратов соседних треугольных чисел:

 : ${\displaystyle Q_{n}=T_{n}^{2}-T_{n-1}^{2},\quad n\geq 1.}$
 (При ${\displaystyle n=1}$ формула также работает: ${\displaystyle T_{1}^{2}-T_{0}^{2}=1-0=1=Q_{1}}$.)
 Отсюда сразу вытекает формула суммы кубов: ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}Q_{i}=T_{n}^{2}}$.

• Разность двух соседних кубов ${\displaystyle Q_{n}-Q_{n-1}}$ является центрированным шестиугольным числом. Следовательно, сумма первых ${\displaystyle n}$ центрированных шестиугольных чисел равна ${\displaystyle Q_{n}}$.

• Кубическое число также выражается через тетраэдральные:

 : ${\displaystyle Q_{n}=\Pi _{n}^{(3)}+4\Pi _{n-1}^{(3)}+\Pi _{n-2}^{(3)},\quad n\geq 2.}$
 (При ${\displaystyle n=2}$ формула даёт ${\displaystyle \Pi _{2}+4\Pi _{1}+\Pi _{0}=4+4+0=8=Q_{2}}$.)

Эти соотношения показывают глубокую связь кубических чисел с арифметическими прогрессиями (треугольные числа являются суммами арифметических прогрессий) и другими классами фигурных чисел.

Для последовательности кубов ${\displaystyle Q_{n}=n^{3}}$ производящая функция (в смысле формальных степенных рядов) имеет вид^[11]:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }n^{3}x^{n}={\frac {x(x^{2}+4x+1)}{(1-x)^{4}}},\quad |x|<1.}$

Эта функция позволяет компактно вычислять суммы ${\displaystyle \sum n^{3}x^{n}}$ и получать различные тождества.

Понятие куба числа восходит к пифагорейской арифметике: представляя числа наборами точек (псефов), пифагорейцы выделяли среди фигурных чисел «кубические» — пространственный, трёхмерный аналог треугольных и квадратных чисел^[12]. Название «куб» закрепилось потому, что ${\displaystyle n^{3}}$ равнялось числу точек, образующих кубическую решётку с ребром ${\displaystyle n}$.

С кубом числа связана делосская задача («удвоение куба») — одна из трёх классических задач на построение циркулем и линейкой, наряду с квадратурой круга и трисекцией угла. По преданию, для прекращения эпидемии на острове Делос оракул предписал удвоить объём кубического жертвенника, сохранив его форму^[13]. Алгебраически задача сводится к построению отрезка длиной ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ от исходного ребра^[13]. Уже в 1637 году Рене Декарт высказал мнение о невозможности такого построения^[13], но строго доказал это лишь в 1837 году французский математик Пьер Лоран Ванцель^[14][13]: он показал, что расширение поля рациональных чисел, порождённое ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$, имеет степень 3, тогда как координаты любой точки, построимой циркулем и линейкой, лежат в расширении степени, равной степени двойки. В той же работе Ванцель тем же методом доказал невозможность трисекции произвольного угла.

В 1770 году Эдуард Варинг сформулировал гипотезу, известную впоследствии как проблема Варинга: любое натуральное число представимо в виде суммы не более девяти кубов неотрицательных целых чисел^[15]. Точное значение ${\displaystyle g(3)=9}$ доказали Артур Виферих (1909) и Обри Кемпнер (1912), завершивший проверку оставшихся малых случаев^[16][17][18].

Кубы чисел встречаются во многих областях:

• Геометрия и практические измерения: объём куба со стороной ${\displaystyle a}$ равен ${\displaystyle a^{3}}$. Это основа для кубических единиц измерения объёма: кубический метр (м³), кубический сантиметр (см³), кубический дециметр (дм³), который соответствует одному литру. Эти единицы используются повсеместно — от строительства до кулинарии.

• Физика и инженерия: закон куба-квадрата (при изменении размеров объекта объём (и масса) меняется пропорционально кубу линейного размера, а площадь поверхности — пропорционально квадрату); момент инерции некоторых тел содержит кубические члены.

• Математический анализ: производная ${\displaystyle (x^{3})'=3x^{2}}$, интеграл ${\displaystyle \int x^{3}dx={\frac {x^{4}}{4}}+C}$.

• Теория чисел: кубические вычеты, эллиптические кривые (уравнения вида ${\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b}$).