Верзьера Аньези

Верзье́ра (верзие́ра) Анье́зи (иногда ло́кон Анье́зи) — плоская кривая, геометрическое место точек $M$ , для которых выполняется соотношение $\textstyle {\frac {BM}{BC}}={\frac {OA}{OB}}$ , где $OA$ — диаметр окружности, $BC$ — полухорда этой окружности, перпендикулярная $OA$ . Своё название верзьера Аньези получила в честь итальянского математика Марии Гаэтаны Аньези, исследовавшей эту кривую.

Пьер Ферма в 1630 году нашёл площадь области между кривой и её асимптотой. В 1703 году Гвидо Гранди, независимо от Ферма, описал построение этой кривой, а в работе 1718 года назвал её верзьерой (итал. Versiera, от лат. Versoria), так как в его конструкции использовалась функция синус-верзус.^[1]

В 1748 году Мария Аньези опубликовала известный обобщающий труд Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana, в котором кривая, как и в работе Гранди, именовалась верзьерой. По совпадению, итальянское слово Versiera/Aversiera, производное от латинского Adversarius, имело также значение «ведьма» (англ. witch)^[2]. Возможно, по этой причине кембриджский профессор Джон Колсон, переводивший труд Аньези на английский, неправильно перевёл это слово, в результате чего в литературе на английском языке кривая часто именуется the witch of Agnesi.

$O=(0,0)$ , $A=(0,a)$

В прямоугольной системе координат:

y={\frac {a^{3}}{a^{2}+x^{2}}}

Вывод

Координаты точки $M$ , лежащей на верзьере — это $x=BM$ , $y=OB$ . $OA=a$ и по определению строим пропорцию

\textstyle {\frac {x}{BC}}={\frac {a}{y}}

Отсюда

\textstyle BC={\frac {xy}{a}}

С другой стороны $BC$ может быть найден из уравнения окружности:

\textstyle \left(y-{\frac {a}{2}}\right)^{2}+x^{2}={\frac {a^{2}}{4}}

Нам известен $y=OB$ , значит выражаем $x^{2}$ :

\textstyle x^{2}={\frac {a^{2}}{4}}-\left(y-{\frac {a}{2}}\right)^{2}

Приравниваем оба выражения для $BC$ :

\textstyle {\frac {x^{2}y^{2}}{a^{2}}}={\frac {a^{2}}{4}}-\left(y-{\frac {a}{2}}\right)^{2}

Возводим в квадрат, переносим и выносим $y^{2}$ за скобки:

\textstyle \left({\frac {x^{2}}{a^{2}}}+1\right)y^{2}=ay

Выражаем y (y=0 не подходит по определению):

\textstyle y={\frac {a^{3}}{a^{2}+x^{2}}}

Если $a$ — это не диаметр, а радиус окружности, то уравнение такое:

\textstyle y={\frac {8a^{3}}{4a^{2}+x^{2}}}

Параметрическое уравнение:

{\begin{cases}x=a\,\operatorname {tg} \,\varphi \\y=a\cos ^{2}\varphi \end{cases}}

, где

\varphi

— угол между

OA

и

OC

Вывод

Координаты точки $M$ однозначно определяются углом $\varphi$ между $OB$ и $OC$ . Если $OB=y$ , а $BM=x$ , то по определению верзьеры можно составить пропорцию

\textstyle {\frac {OA}{y}}={\frac {x}{BC}}

$OA$ по предположению равен $a$ . Из треугольника $OBC$ : $BC=y\,\operatorname {tg} \,\varphi$ , значит

\textstyle {\frac {a}{y}}={\frac {x}{y\,\operatorname {tg} \,\varphi }}

отсюда $x=a\,\operatorname {tg} \,\varphi$ . Эту формулу подставляем в уравнение кривой:

\textstyle y={\frac {a^{3}}{a^{2}+a^{2}\,\operatorname {tg} ^{2}\,\varphi }}

\textstyle y={\frac {a}{1+\,\operatorname {tg} ^{2}\,\varphi }}

Используя тождество, получаем

y=a\cos ^{2}\varphi

В полярной системе уравнение верзьеры достаточно сложное: чтобы найти его необходимо решить кубическое уравнение:

\textstyle \rho \sin {\varphi }={\frac {a^{3}}{a^{2}+\rho ^{2}\cos ^{2}\varphi }}

\textstyle \rho ^{3}(\cos ^{2}\varphi \sin \varphi )+\rho (a^{2}\sin \varphi )-a^{3}=0

Однако полученная формула будет слишком сложной и громоздкой, чтобы иметь какое-либо практическое значение.

Верзьера — кривая третьего порядка.
Диаметр $OA$ единственная ось симметрии кривой.
Кривая имеет один максимум — $A(0;a)$ и две точки перегиба — $\textstyle P_{1,2}\left(\pm {\frac {a}{\sqrt {3}}};{\frac {3a}{4}}\right)$
В окрестности вершины $A$ верзьера приближается к окружности диаметра $OA$ . В точке $A$ происходит касание, и кривая совпадает с окружностью. Это показывает величина радиуса кривизны в точке $A$ : $\textstyle R_{A}={\frac {a}{2}}$ .
Площадь под графиком $S=\pi a^{2}$ . Она вычисляется интегрированием уравнения по всему $\textstyle \mathbb {R}$ .
Объём тела вращения верзьеры вокруг своей асимптоты (оси $OX$ ) $\textstyle V={\frac {\pi ^{2}a^{3}}{2}}$ .

Строится окружность диаметра $a$ и касательная к ней. На касательной выбирается система отсчёта с началом в точке касания. Строится прямая через выбранную точку касательной и точку окружности, противоположную точке касания. Эта прямая пересекает окружность в некоторой точке. Через эту точку строится прямая, параллельная касательной. Точка верзьеры лежит на пересечении этой прямой и перпендикуляра к касательной в выбранной точке.

Трамплин-рампа российского авианосца Адмирал флота Советского Союза Кузнецов образован верзьерой Аньези. Когда самолет сходит с рампы, он находится в идеальном угле атаки при скорости 180—200 км/ч (для Су-27). Теоретически, с рампы-трамплина может взлететь самолет любой взлетной массы.^[3]

Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. — М.: АСТ:Астрель, 2006.

И. М. Виноградов. Аньези локон // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.). — 1977—1985.
Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов (неопр.). Дата обращения: 13 января 2012.
Анимация построения (англ.). Дата обращения: 13 января 2012. Архивировано 14 марта 2012 года.
Статья в Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (фр.). Дата обращения: 15 июня 2010. Архивировано 14 марта 2012 года.
Статья на сайте Wolfram MathWorld (англ.). Дата обращения: 15 июня 2010.
XahLee.org (англ.). Дата обращения: 13 января 2012.
Leslie Pacher. The mathematical “Witch” (англ.) (недоступная ссылка — история). Дата обращения: 13 января 2012. Архивировано 14 марта 2012 года.

[1]

[2]

[3]

Верзьера Аньези

История

Уравнения

Свойства

Построение

Интересные факты

См. также

Литература

Ссылки

Примечания