Лемниската

Рассмотрение кривых в форме восьмёрки восходит к Проклу, греческому философу и математику-неоплатонику, жившему в V веке н. э. Прокл рассматривал сечения тора плоскостями, параллельными оси тора. Как он отмечал, для большинства сечений поперечное сечение состоит из одного или двух овалов; однако, когда плоскость касается внутренней поверхности тора, поперечное сечение приобретает форму восьмёрки, которую он назвал греческим словом гипопода (по сходству с верёвкой, используемой для связывания двух ног лошади вместе). Название «лемниската Бута» для этой кривой связано с её изучением математиком XIX века Джеймсом Бутом^[1].

Лемниската может быть определена как алгебраическая кривая, множество нулей квартического многочлена ${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-cx^{2}-dy^{2}}$ при отрицательном параметре d. Для положительных значений d получается гипопода.

В 1680 году Джованни Кассини изучал семейство кривых, ныне называемых овалами Кассини, определяемых следующим образом: геометрическое место точек, для которых произведение расстояний до двух фиксированных точек — фокусов — постоянно. В особом случае (когда половина расстояния между фокусами равна квадратному корню из этой константы) получается лемниската Бернулли.

В 1694 году Иоганн Бернулли исследовал случай лемнискаты в семействе овалов Кассини (которая впоследствии стала известна как Лемниската Бернулли, см. выше), в связи с задачей о изохронах, ранее поставленной Готфридом Лейбницем. Как и гипопода, это алгебраическая кривая, множество нулей многочлена ${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2a^{2}(x^{2}-y^{2})}$. Брат Бернулли, Якоб Бернулли, также изучал эту кривую в том же году и дал ей название^[2]. Геометрически её можно определить как множество точек, произведение расстояний которых до двух фокусов равно квадрату половины межфокусного расстояния^[3]. Это частный случай гипоподы (лемнискаты Бута) при ${\displaystyle d=-c}$, и может быть получена как сечение тора, у которого внутреннее отверстие и поперечные сечения имеют одинаковый диаметр^[1] Лемнискатические эллиптические функции являются аналогами тригонометрических функций для лемнискаты Бернулли, а лемнискатические константы возникают при вычислении длины дуги этой кривой.

Другая лемниската — лемниската Жероно или лемниската Гюйгенса — это множество нулей квартического многочлена ${\displaystyle y^{2}-x^{2}(a^{2}-x^{2})}$^[5].^[6] Кривая Вивиани, трёхмерная кривая, образованная пересечением сферы и цилиндра, также имеет форму восьмёрки и принимает вид лемнискаты Жероно при проекции на плоскость^[7].

Другие алгебраические кривые в форме восьмёрки включают:

• Кривая дьявола, кривая, определяемая уравнением ${\displaystyle y^{2}(y^{2}-a^{2})=x^{2}(x^{2}-b^{2})}$, одна из связных компонент которой имеет форму восьмёрки^[8],
• Кривая Уатта, кривая в форме восьмёрки, порождаемая механическим шарнирным механизмом. Кривая Уатта — множество нулей полинома шестой степени ${\displaystyle (x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}-d^{2})^{2}+4a^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2}-b^{2})=0}$ и включает лемнискату Бернулли как частный случай.
• Бесас, кривая, изученная Габриэлем Крамером, с уравнением ${\displaystyle c^{2}y=bx^{2}+ax{\sqrt {c^{2}-x^{2}}}}$ или ${\displaystyle c^{2}y=bx^{2}-ax{\sqrt {c^{2}-x^{2}}}}$, где ${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$.

В аналитической геометрии рассмотрим n точек на плоскости F₁, F₂, …,F_n и положительное действительное число k. Множество точек плоскости, произведение расстояний от которых до каждой из точек F₁, F₂,…,F_n постоянно и равно k, представляет собой кривую (геометрическое место точек), называемую лемнискатой с n фокусами^[9]. Лемниската Бернулли имеет только два фокуса^[10].

Лемниската с одним фокусом — это Окружность.

Уравнение лемнискаты на комплексной плоскости имеет вид

${\displaystyle \left|(z-z_{1})(z-z_{2})\ldots (z-z_{n})\right|=r^{n},\;z=x+iy,\;r>0.}$

Произвольная последовательность может быть аппроксимирована произвольной кривой. В частности, выбирая разное число фокусов, располагая их различным образом и задавая различные значения для произведения расстояний, можно получить самые разнообразные формы, например, контур человеческой головы или птицы.

Различные примеры лемнискат