Синусоида

Функция синуса имеет вид: ${\displaystyle y=\sin x}$. Её графиком является непрерывная кривая с периодом ${\displaystyle T=2\pi }$. Пересечения с осью ${\displaystyle Ox}$ — точки ${\displaystyle (k\pi ,0)}$; они же — точки перегиба с углом ${\displaystyle \pm {\frac {\pi }{4}}}$ наклона к оси ${\displaystyle Ox}$; экстремумы — ${\displaystyle ((k\pi +{\frac {\pi }{2}},(-1)^{k})}$.

График функции ${\displaystyle y=\sin x}$

График функции ${\displaystyle y=\cos x=\sin(x+{\frac {\pi }{2}})}$ представляет собой синусоиду, сдвинутую влево на ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$. Пересечение данной кривой с осью ${\displaystyle Ox}$ — точки ${\displaystyle ((k\pi +{\frac {\pi }{2}},0)}$; экстремумы — ${\displaystyle ((k\pi ,(-1)^{k})}$^[1].

График функции ${\displaystyle y=a+b\cos(cx+d)}$ также называют синусоидой. Термин «косинусоида» практически отсутствует в официальной литературе, поскольку является излишним.

Многие колебательные процессы описываются периодической функцией вида ${\displaystyle y=a\sin(bx+c)}$, где ${\displaystyle a,b,c}$ — постоянные.

График этой функции, по сравнению с графиком функции ${\displaystyle y=\sin x}$:

• вытянут вдоль оси ${\displaystyle Oy}$ в ${\displaystyle |a|}$ раз;
• сжат вдоль оси ${\displaystyle Ox}$ в ${\displaystyle b}$ раз;
• сдвинут влево на отрезок ${\displaystyle c/b}$;
• при ${\displaystyle a<0}$ зеркально отражён относительно оси ${\displaystyle Ox}$.

Период ${\displaystyle T=2\pi /b}$, пересечения с осью ${\displaystyle Ox}$ — точки ${\displaystyle \left({\frac {k\pi -c}{b}},0\right)}$; экстремумы — ${\displaystyle \left({\frac {(k+1/2)\pi -c}{b}},(-1)^{k}a\right)}$^[1].

Во многих вопросах механики и физики рассматриваются величины, зависящие от времени ${\displaystyle t}$ и выражающиеся формулой ${\displaystyle u=A\sin(\omega t+\varphi )}$, где ${\displaystyle A}$ — амплитуда колебания (размах), ${\displaystyle \omega }$ — частота колебания, ${\displaystyle \varphi }$ — начальная фаза колебаний. Такие величины называются синусоидальные. Их изменения в зависимости от времени называется гармоническим колебанием^[2]. Примерами могут служить качания маятника и звуковые волны (гармонические колебания воздуха), колебания напряжения в электрической сети переменного тока, изменение тока и напряжения в колебательном контуре и др..

Слово синус встречается в труде по астрономиин неизвестного индийского учёного (IV—V век). Линия синуса у индийских математиков первоначально называлась «ардхаджива»: «ардха» означает «половина», а «джива» — «тетива лука», хорда^[3].

Первая синусоида появилась не как кривая, определённая уравнением ${\displaystyle y=\sin x}$, а как вспомогательная кривая при построении циклоиды. При вычислении площади под графиком циклоиды Роберваль рассмотрел вспомогательную кривую, назвав её «спутницей циклоиды»^[4]. Позднее Оноре Фабри ввёл термин «линия синусов». Валлис впервые разрешил вопрос о знаках синуса во всех четвертях, начертил два периода синусоиды и отметил, что их бесконечно много^[5].