Движение (математика)

Пусть ${\displaystyle f\colon E\rightarrow E}$ — движение евклидова точечного пространства ${\displaystyle E,}$ а ${\displaystyle V}$ — пространство свободных векторов для пространства ${\displaystyle E}$. Линейный оператор ${\displaystyle Df\colon V\rightarrow V,}$ ассоциированный с аффинным преобразованием ${\displaystyle f,}$ является ортогональным оператором, и поэтому его определитель может быть равен либо ${\displaystyle 1}$ (собственный ортогональный оператор), либо ${\displaystyle -1}$ (несобственный ортогональный оператор). В соответствии с этим и движения подразделяются на два класса: собственные (если ${\displaystyle \det Df=1}$) и несобственные (если ${\displaystyle \det Df=-1}$)^[1].

Собственные движения сохраняют ориентацию пространства ${\displaystyle E,}$ несобственные — заменяют её на противоположную^[2]. Иногда собственные и несобственные движения называют соответственно перемещениями и антиперемещениями^[3].

Всякое движение n-мерного евклидова точечного пространства ${\displaystyle E}$ может быть однозначно определено указанием ортонормированного репера ${\displaystyle (O';e'_{1},\ldots ,e'_{n}),}$ в который при данном движении переходит заранее выбранный в пространстве ${\displaystyle E}$ ортонормированный репер ${\displaystyle (O;e_{1},\ldots ,e_{n}).}$ При этом в случае собственного движения новый репер ориентирован так же, как и исходный, а в случае несобственного движения новый репер ориентирован противоположным образом. Движения всегда сохраняют расстояния между точками пространства ${\displaystyle E}$ (т. e. являются изометриями), причём никаких других изометрий, кроме собственных и несобственных движений, не существует^[4].

В механике в понятие «движение» вкладывается другой смысл; в частности, оно всегда рассматривается как непрерывный процесс, происходящий в течение некоторого промежутка времени (см. механическое движение). Если, следуя П. С. Александрову, называть непрерывным движением такое движение пространства ${\displaystyle E,}$ которое непрерывно зависит от параметра ${\displaystyle t\in [t_{0},t_{1}]}$ (при ${\displaystyle n=3}$ в механике это соответствует движению абсолютно твёрдого тела), то ортонормированный репер ${\displaystyle (O';e'_{1},\ldots ,e'_{n})}$ может быть получен непрерывным движением из ортонормированного репера ${\displaystyle (O;e_{1},\ldots ,e_{n})}$ тогда и только тогда, когда оба репера ориентированы одинаково^[5].

Любую изометрию в ${\displaystyle n}$-мерном евклидовом пространстве можно представить в виде суперпозиции не более чем n+1 зеркальных отражений^[8].

Так, параллельный перенос и поворот — суперпозиции двух отражений, скользящее отражение и зеркальный поворот — трёх, винтовое движение — четырёх.

• Суперпозиция изометрий также является изометрией^[9].
• Изометрии евклидова пространства E относительно операции суперпозиции образуют группу Iso(E), являющуюся группой Ли.
• Изометрия — частный случай аффинного преобразования (так что Iso(E) является подгруппой другой группы Ли — аффинной группы Aff(E) пространства E)^[10].
• Группа Iso(E) состоит из двух связных компонент: множества Iso₊(E) собственных движений (которое само является группой Ли) и множества Iso_-(E) несобственных движений; каждая из этих компонент линейно связна^[3].
• Изометрия, будучи аффинным преобразованием, всегда переводит отрезок снова в отрезок.

Движения находят широкое применение как в самой математике, так и в прикладных науках, поскольку они сохраняют расстояния, углы и формы фигур, что делает их естественным инструментом для анализа симметрии и инвариантности.

Движения активно используются в элементарной геометрии для доказательства теорем и решения задач на равенство фигур, построение симметричных образов и нахождение инвариантов^[11]. Помимо планиметрии, движения применяются и в стереометрии — разделе геометрии, изучающем фигуры в пространстве. Здесь также есть понятия поворота, параллельного переноса, симметрий.

Идеи движений применяются далеко за пределами геометрии. Например, в физике изучаются симметрии в строении кристаллов, молекул, элементарных частиц. В информатике при работе с изображениями используются такие преобразования, как поворот, отражение, масштабирование.

В веб-дизайне применяются симметричные композиции. Свойства движений, в частности симметрий, широко используются в орнаментах — узорах с правильным чередованием элементов. Это позволяет создавать гармоничные композиции. Например, в восточных орнаментах часто встречается мотив правильной восьмиугольной звезды, обладающей центральной симметрией относительно центра и осевой симметрией относительно прямых, соединяющих противоположные вершины^[12].