Гипоциклоида

Пусть в начальный момент окружности касаются в точке ${\displaystyle A}$, лежащей на оси ${\displaystyle OX}$, где точка ${\displaystyle O}$ — центр большой окружности. Координаты точки ${\displaystyle A}$ при этом - ${\displaystyle (kr,0)}$, где ${\displaystyle k={\frac {R}{r}}}$. Рассмотрим, как меняются координаты точки ${\displaystyle A}$, привязанной к катящейся окружности (${\displaystyle A}$ переходит в ${\displaystyle A'}$). Пусть маленькая окружность прокатилась так, что её центр перешёл из точки ${\displaystyle C'}$ в точку ${\displaystyle C'}$ и повернулся относительно точки ${\displaystyle O}$ на угол ${\displaystyle t}$. Во-первых, можно показать, что поворот маленькой окружности относительно своего центра при этом (т.е. угол между ${\displaystyle CA}$ и ${\displaystyle C'A'}$) равен ${\displaystyle t-kt=-(k-1)t}$. Во-вторых, координаты точки ${\displaystyle C'}$ будут такими: ${\displaystyle (cos(t)(k-1)r,sin(t)(k-1)r)}$. Тогда, зная, куда перейдёт центр катящейся окружности, и на какой угол она повернулась относительно этого центра, можно записать координаты точки ${\displaystyle A'}$:

${\displaystyle {\begin{cases}x=cos(t)(k-1)r+cos((k-1)t)r\\y=sin(t)(k-1)r-sin((k-1)t)r\end{cases}}}$