Точка округления

В точке округления:

• главные кривизны поверхности совпадают.
• Первая квадратичная форма и вторая квадратичная форма поверхности пропорциональны.
• любое касательное направление является главным направлением.
• соприкасающийся параболоид является параболоидом вращения.
• индикатриса Дюпена является окружностью.
• сеть линий кривизны (то есть линий, касающихся в каждой точке одного из главных направлений поверхности) имеет особенность^[1].
• любая точка округления является либо эллиптической точкой поверхности (если главные кривизны не равны нулю, и следовательно, гауссова кривизна поверхности в данной точке положительная), либо так называемой плоской точкой округления (если главные кривизны равны нулю, и следовательно, гауссова кривизна и средняя кривизна поверхности в данной точке равны нулю). В первом случае в малой окрестности точки округления поверхность похожа на сферу, а во втором — на плоскость.

В евклидовом пространстве с метрикой ${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$:

• сфера целиком состоит из эллиптических точек округления.
• трёхосный эллипсоид (с попарно различными осями) имеет ровно четыре точки округления, все они эллиптические и относятся к типу «лимон».
• плоскость целиком состоит из плоских точек округления.
• обезьянье седло имеет изолированную плоскую точку округления в начале координат.

Каратеодори высказал гипотезу, что на любой достаточно гладкой замкнутой выпуклой поверхности M в трёхмерном евклидовом пространстве существуют как минимум две точки округления. Эта гипотеза была впоследствии доказана при дополнительном предположении, что поверхность M аналитическая^[2][3].

Пусть ${\displaystyle M}$ ― гладкое многообразие произвольной размерности ${\displaystyle n\geq 2}$ в евклидовом пространстве большей размерности. Тогда в каждой точке ${\displaystyle x\in M}$ определены ${\displaystyle n}$ собственных значений ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$ пары первой и второй квадратичных форм, заданных на касательном расслоении ${\displaystyle TM}$.

Точка ${\displaystyle x\in M}$ называется омбиликой, если в ней набор ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$ содержит хотя бы два совпадающих числа. Множество омбилик имеет коразмерность 2, то есть задаётся на ${\displaystyle M}$ двумя независимыми уравнениями.^[4] Так, омбилические точки на поверхности общего положения изолированы (${\displaystyle \dim =2-2=0}$), а на трёхмерном многообразии общего положения они образуют кривую (${\displaystyle \dim =3-2=1}$).