Эвольвента

Эвольве́нта (от лат. evolvens «разворачивающийся») плоской линии $L$ — это линия $L_{*}$ , по отношению к которой $L$ является эволютой.

Иными словами — кривая, нормаль в каждой точке которой является касательной к исходной кривой.

Если линия $L$ задана уравнением ${\bar {r}}={\bar {r}}(s)$ (где $s$ — натуральный параметр), то уравнение её эвольвенты имеет вид

{\bar {\psi }}={\bar {r}}+(\alpha -s){\dot {\bar {r}}}

,

где $\alpha$ — произвольный параметр.

Для параметрически заданной кривой уравнение эвольвенты

X=x-{\frac {x'\int \limits _{a}^{t}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}\,dt}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}

Y=y-{\frac {y'\int \limits _{a}^{t}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}\,dt}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}

Эвольвентой окружности является спиралевидная кривая. Её уравнения имеют следующий вид:

x=r(\cos(t)+t\sin(t))

y=r(\sin(t)-t\cos(t))

где $t$ — угол, a $r$ — радиус

В технике эвольвенту окружности используют как профиль зуба для колёс зубчатой передачи и в спиральных вакуумных насосах.

Пример