Улитка Паскаля

Уравнение в прямоугольных координатах:

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}+ay)^{2}=\ell ^{2}(x^{2}+y^{2}),}$

в полярных координатах:

${\displaystyle \rho =\ell -a\sin \phi ,}$

параметрическое:

${\displaystyle x=2R\cdot \cos(t)-h\cdot \cos(2t),}$

${\displaystyle y=2R\cdot \sin(t)-h\cdot \sin(2t).}$

Здесь a — диаметр исходной окружности, а ${\displaystyle \ell }$ — расстояние, на которое смещается точка вдоль радиус-вектора (см. конхоида).

При этом начало координат является

• узловой точкой при ${\displaystyle a>\ell }$,
• точкой возврата при ${\displaystyle a=\ell }$ (в этом случае улитка Паскаля называется кардиоидой),
• двойной точкой при ${\displaystyle a<\ell }$.

В случае ${\displaystyle \ell =a/2}$ улитка Паскаля также называется трисектри́са. Такое название она получила из-за того, что если на плоскости задана трисектриса, то трисекцию угла можно построить с помощью циркуля и линейки. Уравнение трисектрисы:

${\displaystyle z=b(e^{it}+e^{2it})=be^{\frac {3it}{2}}\left(e^{\frac {it}{2}}+e^{\frac {-it}{2}}\right)=2be^{\frac {3it}{2}}\cos {\frac {t}{2}},}$

в полярных координатах:

${\displaystyle r=2b\cos {\frac {\theta }{3}}.}$

• Улитка Паскаля является плоской алгебраической кривой 4-го порядка.
• Улитка Паскаля является обобщением кардиоиды.
• Улитка Паскаля является подерой окружности.
• Улитка Паскаля является конхоидой окружности относительно точки на окружности.
• Улитка Паскаля является частным случаем Декартова овала.
• Улитка Паскаля является частным случаем эпитрохоиды.
• Улитка Паскаля является примером эквихордной кривой.
• Длина дуги выражается эллиптическим интегралом 2-го рода.
• Площадь, ограниченная улиткой Паскаля:

  ${\displaystyle S={\frac {\pi a^{2}}{2}}+\pi \ell ^{2}.}$

При ${\displaystyle a>\ell }$ площадь внутренней петли при вычислении по этой формуле считается дважды.