Улитка Паскаля

Пусть на плоскости дана окружность диаметра ${\displaystyle a}$ и точка ${\displaystyle O}$ на ней. Луч с началом в ${\displaystyle O}$ пересекает окружность в точке ${\displaystyle Q}$; откладывая вдоль луча от точки ${\displaystyle Q}$ в обе стороны отрезки длины ${\displaystyle \ell }$, получаем точки улитки (такое построение делает улитку конхоидой окружности относительно точки ${\displaystyle O}$)^[8][7][9].

Уравнение в прямоугольных координатах (начало координат в точке ${\displaystyle O}$, ось ${\displaystyle y}$ проходит через центр окружности):

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}+ay)^{2}=\ell ^{2}(x^{2}+y^{2}).}$

В полярных координатах с тем же полюсом:

${\displaystyle \rho =\ell -a\sin \phi .}$

Поворотом осей это уравнение приводится к стандартному виду ${\displaystyle r=\ell +a\cos \theta }$, который обычно и принимается за определение улитки^[10].

Параметрические уравнения:

${\displaystyle x=(\ell +a\cos t)\cos t,\qquad y=(\ell +a\cos t)\sin t,}$

а в форме, показывающей, что улитка является эпитрохоидой (точкой, жёстко связанной с окружностью, катящейся снаружи по равной ей окружности)^[5][11]:

${\displaystyle x=2R\cos t-h\cos 2t,\qquad y=2R\sin t-h\sin 2t,}$

где параметры связаны с ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle \ell }$ соотношениями ${\displaystyle a=2h}$, ${\displaystyle \ell =2R}$ (система координат при этом повёрнута относительно приведённой выше).

Таким образом, a — диаметр порождающей окружности, а ${\displaystyle \ell }$ — длина откладываемого отрезка, то есть расстояние, на которое смещается точка вдоль радиус-вектора (см. конхоида)^[12].

Вид кривой определяется отношением ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle \ell }$: при ${\displaystyle a>\ell }$ улитка имеет внутреннюю петлю, при ${\displaystyle a=\ell }$ обращается в кардиоиду, при ${\displaystyle a<\ell <2a}$ на стороне, обращённой к полюсу, появляется «вмятина», а при ${\displaystyle \ell \geq 2a}$ кривая выпукла^[13][10].

Начало координат — особая точка улитки; её тип находится по младшим (квадратичным) членам уравнения ${\displaystyle \ell ^{2}x^{2}+(\ell ^{2}-a^{2})y^{2}=0}$ и зависит от отношения ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle \ell }$. Для понимания классификации напомним определения^[14][15]:

• двойная точка — точка, в которой кривая «проходит дважды»: через неё проходят две ветви кривой (в том числе мнимые);
• узловая точка (узел) — двойная точка, в которой две ветви пересекаются, имея две различные вещественные касательные;
• точка возврата (касп) — двойная точка, в которой две ветви имеют общую касательную и направление движения по кривой меняется на противоположное;
• изолированная (сопряжённая) точка — двойная точка, не лежащая ни на одной вещественной ветви кривой (касательные в ней мнимые).

Применительно к улитке Паскаля начало координат является^[16]:

• узловой точкой при ${\displaystyle a>\ell }$ — это точка самопересечения внутренней петли, касательные в ней задаются уравнением ${\displaystyle y=\pm {\frac {\ell }{\sqrt {a^{2}-\ell ^{2}}}}\,x}$;
• точкой возврата при ${\displaystyle a=\ell }$ (в этом случае улитка Паскаля называется кардиоидой);
• изолированной двойной точкой при ${\displaystyle a<\ell }$ — вещественная кривая через начало координат не проходит, однако как точка алгебраической кривой оно остаётся двойным (две мнимые ветви).

Кроме того, начало координат — эквихордная точка улитки: любой проходящий через неё хордовый отрезок между двумя точками кривой (взятыми на противоположных лучах) имеет постоянную длину ${\displaystyle 2\ell }$, поскольку ${\displaystyle \rho (\phi )+\rho (\phi +\pi )=2\ell }$.

• Улитка Паскаля — плоская алгебраическая кривая 4-го порядка; как конхоида окружности она является бициркулярной квартикой (проходит через обе мнимые круговые точки плоскости)^[5].
• Улитка Паскаля — рациональная кривая (род 0): приведённые выше параметрические уравнения задают её целиком.
• Улитка Паскаля является педалью окружности относительно произвольной точки плоскости; при выборе точки на окружности получается кардиоида^[7][5].
• Улитка Паскаля является конхоидой окружности относительно точки на окружности (по определению)^[17].
• Улитка Паскаля — инверсный образ конического сечения при инверсии с центром в его фокусе: эллипсу отвечает выпуклая улитка (${\displaystyle \ell >a}$), параболе — кардиоида (${\displaystyle \ell =a}$), гиперболе — улитка с петлёй (${\displaystyle \ell <a}$)^[5].
• Улитка Паскаля является частным случаем Декартова овала^[5].
• Улитка Паскаля является частным случаем эпитрохоиды — траекторией точки, жёстко связанной с окружностью, катящейся снаружи по равной ей окружности^[5].
• Кардиоида — частный случай улитки (${\displaystyle \ell =a}$), поэтому улитку называют её обобщением.
• Кривая симметрична относительно прямой, проходящей через полюс и центр порождающей окружности.
• Длина дуги улитки выражается эллиптическим интегралом 2-го рода^[18][5][19].
• Площадь, ограниченная улиткой Паскаля (значение интеграла ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\oint \rho ^{2}\,d\phi }$ по полному периоду)^[20]:

${\displaystyle S={\frac {\pi a^{2}}{2}}+\pi \ell ^{2}.}$

Уточнение смысла формулы при ${\displaystyle a>\ell }$: в этом случае кривая имеет внутреннюю петлю, и при обходе по полному периоду область петли ометается дважды (один раз при ${\displaystyle \rho >0}$ вместе с внешней областью и второй раз при ${\displaystyle \rho <0}$). Поэтому ${\displaystyle S=A_{\text{внеш}}+A_{\text{петли}}}$, где ${\displaystyle A_{\text{внеш}}}$ — площадь, ограниченная внешней ветвью (включающая область петли), а ${\displaystyle A_{\text{петли}}}$ — площадь самой петли; иными словами, относительно площади «кольца» между ветвями (${\displaystyle A_{\text{внеш}}-A_{\text{петли}}}$) петля в формуле учтена дважды. Площадь петли выражается эллиптическими интегралами и в элементарных функциях не записывается.

В случае ${\displaystyle \ell =a/2}$ улитка Паскаля называется трисектрисой, поскольку позволяет трисектировать угол. В стандартной ориентации (${\displaystyle r=\ell +a\cos \theta }$ при ${\displaystyle a=2\ell }$) её уравнение принимает вид^[4]:

${\displaystyle r=c\,(1+2\cos \theta ),\qquad c=\ell .}$

Уравнение ${\displaystyle r=2c\cos {\frac {\theta }{3}}}$, иногда приводимое для трисектрисы, задаёт ту же кривую, но в системе координат, начало которой перенесено в вершину внутренней петли, а не в узел^[21].

Свойство трисекции формулируется так. Пусть ${\displaystyle A}$ — узел кривой, ${\displaystyle B}$ — наиболее удалённая от ${\displaystyle A}$ точка внешней ветви, ${\displaystyle M}$ — центр порождающей окружности. Если луч из ${\displaystyle A}$, составляющий угол ${\displaystyle \alpha }$ с осью ${\displaystyle AB}$, пересекает внешнюю ветвь в точке ${\displaystyle P}$, а порождающую окружность — в точке ${\displaystyle Q}$, то ${\displaystyle \angle PMB={\tfrac {3}{2}}\alpha }$, а углы ${\displaystyle \angle QMP}$ и ${\displaystyle \angle QPM}$ равны ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}\angle PMB}$; прямая ${\displaystyle AP}$ составляет с осью угол ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\angle PMB}$. Таким образом, имея начерченную улитку, любой угол можно разделить на три равные части построениями циркулем и линейкой по точкам пересечения с кривой^[4][22]. Важно понимать: это не трисекция одними циркулем и линейкой (невозможность которой для произвольного угла доказана), а построение с использованием дополнительной кривой — допустимое расширение классических построений (ср. трисектрису Маклорена, конхоиду Никомеда, квадратрису Гиппия)^[23].

Инверсия трисектрисы относительно узла даёт кривую, совпадающую по форме с гиперболой эксцентриситета 2, которая также является трисектрисой; сама улитка-трисектриса принадлежит семейству сектрис Маклорена^[24].

• Акустика и антенны. Семейство кривых ${\displaystyle r=a+b\cos \theta }$ описывает диаграммы направленности микрофонов и направленных антенн: при ${\displaystyle b=0}$ получается всенаправленная («круговая») диаграмма, при ${\displaystyle a=b}$ — кардиоидная, при ${\displaystyle a<b}$ — суперкардиоидная, при ${\displaystyle a=0}$ — двунаправленная «восьмёрка»^[25].

• Оптика. Кардиоида и улитка возникают как каустики при отражении света от кругового зеркала: точечный источник на окружности даёт кардиоиду, поэтому улитки встречаются в расчётах отражателей и концентраторов^[10].
• Кинематика и механизмы. Как эпитрохоида улитка описывает траектории точек катящейся окружности; такие профили используются при расчёте кулачков и зубчатых зацеплений^[5].
• Геометрические построения. Улитка при ${\displaystyle \ell =a/2}$ служит трисектрисой (см. выше), что даёт практичный способ трисекции угла с помощью начерченной кривой.
• Учебные задачи. Улитка Паскаля — классический пример в курсах анализа и аналитической геометрии при вычислении площадей, длин дуг и исследовании особых точек^[26][7].