Логарифмическая спираль

Логарифмическая спираль впервые упоминается в письме Декарта к Мерсенну (1638). Декарт нашёл, что спираль, дуга которой растёт пропорционально полярному радиусу, обладает тем свойством, что её касательная образует постоянный угол с полярным радиусом. Независимо от Декарта её открыл Торричелли (1644), который более подробно изучил свойства «геометрической спирали» — так он назвал эту линию, и доказал некоторые её геометрически свойства. Особое внимание изучению свойств этой кривой уделял Я. Бернулли (1692), называвший ее spira mirabilis — «дивная спираль». Открытые им свойства инвариантности кривой относительно различных преобразований настолько поразили его, что он склонен был приписывать мистический смысл этой кривой и пожелал иметь на своей могиле изображение spira mirabilis с надписью “Eadem mutata resurgo” — «Изменённая воскресаю прежней». Так как при перемножении, показатели степени складываются, то оказывается, что кривая имеет свойства, роднящие её с логарифмами. Поэтому Вариньон (1704) предложил назвать кривую логарифмической спиралью^[2].

Позднее логарифмическая спираль была предметом многочисленных исследований. Так, её кинематическое свойство найдено Э. Каталаном (1856).

Надгробие Бернулли

Якоб Бернулли хотел, чтобы на его могиле была выгравирована логарифмическая спираль, но вместо этого по ошибке на его надгробие поместили архимедову спираль. Тем не менее, надпись на латыни, выгравированная согласно завещанию вокруг спирали, «EADEM MUTATA RESURGO», свидетельствует о том, что имеется в виду именно логарифмическая спираль, которая обладает замечательным свойством восстанавливать свою форму после различных преобразований.

Пусть луч равномерно вращается около неподвижной точки ${\displaystyle O}$ (полюс), а точка ${\displaystyle M}$ движется вдоль луча, удаляясь от ${\displaystyle O}$ со скоростью, пропорциональной расстоянию ${\displaystyle OM}$ (Рис.1 ). Линия, описываемая точкой ${\displaystyle M}$, называется логарифмической спиралью.

Рис.1

Если удаление точки ${\displaystyle M}$ от полюса ${\displaystyle O}$ сопровождается вращением прямой против часовой стрелки, то логарифмическая спираль называется правой; в противном случае — левой. При неограниченном количестве оборотов луча против часовой стрелки (по часовой стрелке) точка ${\displaystyle M}$, описывающая правую (левую) спираль, неограниченно удаляется от полюса и описывает бесконечное количество витков. При неограниченном количестве оборотов в противоположном направлении точка ${\displaystyle M}$ неограниченно приближается к полюсу ${\displaystyle O}$, но ни при каком положении прямой не совпадает с ${\displaystyle O}$. Таким образом спираль делает бесконечное множество витков также около полюса. Однако длина дуги, описываемой при этом точкой ${\displaystyle M}$ и отсчитываемой от некоторого начального положения ${\displaystyle A_{0}}$ точки ${\displaystyle M}$, хотя и возрастает, но не безгранично. Она стремится к некоторому пределу ${\displaystyle s}$, который называют длиной дуги ${\displaystyle OA_{0}}$. Название это условно, так как точка ${\displaystyle O}$, строго говоря, не принадлежит логарифмической спирали^[3].

Уравнение кривых в полярных координатах устанавливает зависимость между текущими полярными координатами ${\displaystyle r,\theta '}$ точек кривой. Полярный угол ${\displaystyle \theta }$ отсчитывают от полярной оси ${\displaystyle p}$, считая его положительным против часовой стрелки. Полярный радиус-вектор может быть как положительным, так и отрицательным: в первом случае его откладывают в направлении, определяемом углом, а во втором — в противоположном направлении.

Уравнение в явной форме^[4] вида ${\displaystyle r=f(\theta )}$ для логарифмической спирали записывается как

${\displaystyle r=ae^{m\theta }}$, где ${\displaystyle a>0}$, ${\displaystyle -\infty <\theta <+\infty }$.

Геометрический смысл параметра ${\displaystyle m}$ представляет собой соотношение ${\displaystyle m=\operatorname {ctg} \omega }$, где ${\displaystyle \omega }$ — угол между радиусом-вектором и касательной^[5] (Рис. 2).

Рис. 2

${\displaystyle x(t)=r\cos t=ae^{mt}\cos t\,,}$

${\displaystyle y(t)=r\sin t=ae^{mt}\sin t\,,}$

где ${\displaystyle a,m}$ — действительные числа, ${\displaystyle t}$ — аналог ${\displaystyle \theta }$ в уравнении в полярных координатах.

${\displaystyle s=kr}$, где ${\displaystyle k={\frac {1}{\ln a}}}$.

• Так как в уравнении ${\displaystyle r=ae^{m\theta }}$ параметр ${\displaystyle m=\operatorname {ctg} \omega }$, то для правых спиралей он имеет положительные значения, для левых — отрицательные^[6].

• Угол между радиусом-вектором и касательной ${\displaystyle \omega }$ сохраняет постоянную величину, то есть ${\displaystyle \operatorname {tg} \omega ={\frac {1}{m}}={\text{const}}}$. Иными словами, логарифмическая спираль пересекает все свои радиусы-векторы под постоянным углом ${\displaystyle \omega }$.
• Свойством, описанным выше, логарифмическая спираль напоминает окружность, которая также пересекает радиусы-векторы, исходящие из центра, под постоянным (под прямым) углом. Параметр ${\displaystyle m}$ определяет, насколько плотно и в каком направлении закручивается спираль. В этом смысле окружность можно рассматривать как частный случай логарифмической спирали, отвечающий ${\displaystyle m=0}$ ^[7].
• Если угол ${\displaystyle \theta }$ возрастает (или убывает) в арифметической прогрессии, то ${\displaystyle r}$ возрастает (убывает) в геометрической прогрессии.
• Когда угол ${\displaystyle \theta }$ растёт от ${\displaystyle 0}$ до ${\displaystyle +\infty }$, точка делает бесчисленное множество оборотов вокруг полюса, быстро удаляясь от него в бесконечность; расстояния между витками уже не равны. Угол ${\displaystyle \theta }$ может принимать и отрицательные значения; когда ${\displaystyle \theta }$ стремится к ${\displaystyle -\infty }$, то радиус-вектор ${\displaystyle r}$ стремится к ${\displaystyle 0}$. Кривая бесконечное множество раз заворачивается вокруг полюса, безгранично к нему приближаясь (но никогда не достигая); полюс является асимптотической точкой кривой.
• Поворачивая полярную ось вокруг полюса, можно добиться уничтожения множителя ${\displaystyle a}$ и привести уравнение логарифмической спирали к простейшему виду: ${\displaystyle r=e^{m\theta }}$.
• Радиус кривизны в каждой точке спирали пропорционален длине дуги спирали от её начала до этой точки^[4].

Зная, что первая и вторая производные равны соответственно ${\displaystyle r'_{\theta }=mr}$ и ${\displaystyle r''_{\theta ^{2}}=m^{2}r}$ и, подставляя эти выражения в общую формулу: ${\displaystyle R={\frac {{\Bigl (}r^{2}+r_{\theta }'^{2}{\Bigr )}^{\frac {3}{2}}}{r^{2}+2r_{\theta }'^{2}-rr_{\theta ^{2}}''}}}$, получают радиус кривизны логарифмической спирали ${\displaystyle R={\frac {{\Bigl (}r^{2}+m^{2}r^{2}{\Bigr )}^{\frac {3}{2}}}{r^{2}+2m^{2}r^{2}-r^{2}}}=r{\sqrt {1+m^{2}}}}$.

Центр кривизны ${\displaystyle N}$, соответствующий точке ${\displaystyle M}$ логарифмической спирали, лежит в пересечении нормали ${\displaystyle NM}$, проведённой через ${\displaystyle M}$, с прямой ${\displaystyle OT}$, проведённой через полюс перпендикулярно полярному радиусу ${\displaystyle OM}$ (Рис. 3). Из треугольника ${\displaystyle ONM}$ следует, что радиус кривизны ${\displaystyle NM}$ равен ${\displaystyle R={\frac {r}{\sin \omega }}}$^[8].

Рис. 3

Длина дуги ${\displaystyle {\overset {\smile }{M_{0}M}}}$ между двумя точками с координатами ${\displaystyle (r_{0},\theta _{0})}$ и ${\displaystyle (r,\theta )}$: ${\displaystyle s=(r-r_{0}){\sqrt {1+m^{2}}}/m}$^[9].

Геометрическое место центров кривизны кривой называется её эволютой. По отношению к своей эволюте исходная кривая называется эвольвентой. Геометрическое место центров кривизны ${\displaystyle N}$ логарифмической спирали есть логарифмическая спираль, получаемая из исходной спирали поворотом около полюса на угол ${\displaystyle \omega =(2n+1){\pi \over 2}-\operatorname {tg} \theta \ln \operatorname {tg} \theta }$, где ${\displaystyle n}$ — любое целое число^[8]. То есть эволютой является та же логарифмическая спираль, которая от исходной отличается лишь положением^[10].

В окружающем нас мире часто встречаются формы логарифмической спирали. В космическом пространстве это спиральные рукава некоторых галактик.

• В живой природе самый характерный пример — это раковина наутилуса (Nautilus pompilius). Раковина увеличивается с добавлением внутренних камер, каждая из которых больше, чем предыдущая, но её форма остаётся прежней. По дугам, близким к логарифмической спирали, расположены семена в подсолнечнике, чешуйки в шишках^[11].
• Интерес представляет картографическое свойство логарифмической спирали: если на поверхности сферы провести линию, пересекающую меридианы под постоянным углом, то её проекция из полюса сферы на экваториальную плоскость будет изображаться логарифмической спиралью.
• На языке физики натуральное уравнение логарифмической спирали выражает кинематическое свойство: если дуга логарифмической спирали катится (без скольжения) по прямой ${\displaystyle AB}$, то центр кривизны, соответствующий точке касания, движется по прямой, наклонённой к ${\displaystyle AB}$ под углом ${\displaystyle {\pi \over {2}}-\alpha }$^[8].
• В архитектуре часто используются спирали для аппроксимации контуров исследуемых объектов природы и их проекций. Согласно мнению специалистов-морфологов, природным конфигурациям чаще всего и наилучшим образом соответствует логарифмическая спираль. Предпочтение ей отдаётся в случае, когда целью является понимание динамики и развития формы объекта^[12].