Логарифмическая спираль

В полярной системе координат ${\displaystyle (r,\theta )}$ уравнение логарифмической спирали записывается как показательная функция^[7][4]: ${\displaystyle r=a\cdot e^{b\theta }}$ или в логарифмическом виде (откуда и происходит название кривой): ${\displaystyle \theta ={\frac {1}{b}}\ln \left({\frac {r}{a}}\right)}$, где:

• ${\displaystyle e}$ — основание натуральных логарифмов (число Эйлера, приблизительно равное 2,71828),
• ${\displaystyle a>0}$ — масштабный коэффициент, определяющий начальный радиус-вектор кривой (при ${\displaystyle \theta =0}$ радиус ${\displaystyle r=a}$),
• ${\displaystyle b}$ — коэффициент, определяющий темп раскручивания спирали и её "плотность.

Параметр ${\displaystyle b}$ может быть положительным или отрицательным:

• при ${\displaystyle b>0}$ спираль раскручивается против часовой стрелки при увеличении ${\displaystyle \theta }$;
• при ${\displaystyle b<0}$ спираль закручивается по часовой стрелке;
• модуль ${\displaystyle |b|}$ определяет, насколько быстро растёт радиус: чем больше ${\displaystyle |b|}$, тем «круче» спираль^[8].

В параметрическом виде уравнения логарифмической спирали в прямоугольной декартовой системе координат ${\displaystyle (x,y)}$ выглядят так: ${\displaystyle {\begin{cases}x(t)=a\cdot e^{bt}\cos(t)\\y(t)=a\cdot e^{bt}\sin(t)\end{cases}}}$, где параметр ${\displaystyle t}$ пробегает все вещественные значения от ${\displaystyle -\infty }$ до ${\displaystyle +\infty }$^[9][4].

Логарифмическая спираль может быть представлена на комплексной плоскости. Если ${\displaystyle z}$ — комплексное число, то спираль можно описать уравнением^[9][4]: ${\displaystyle z(t)=a\cdot e^{(b+i)t}}$, где ${\displaystyle i}$ — мнимая единица, а ${\displaystyle t}$ — вещественный параметр. Это уравнение демонстрирует глубокую связь между экспоненциальным ростом и вращением в комплексной плоскости.

Логарифмическая спираль является решением нескольких важных дифференциальных уравнений^[10]:

1. Первое дифференциальное уравнение: ${\displaystyle {\frac {dr}{d\theta }}=br}$. Это уравнение отражает тот факт, что скорость изменения радиуса пропорциональна самому радиусу.
2. Второе дифференциальное уравнение: ${\displaystyle r^{2}+\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}=r^{2}(1+b^{2})}$.
3. Дифференциальное уравнение в декартовых координатах: ${\displaystyle x{\frac {dy}{dx}}-y=b(x+y{\frac {dy}{dx}})}$.

Для вычисления длины дуги кривой в полярных координатах используется формула^[8]: ${\displaystyle L=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}{\sqrt {r^{2}+\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}}}\,d\theta }$.

Для логарифмической спирали ${\displaystyle r=ae^{b\theta }}$, следовательно: ${\displaystyle {\frac {dr}{d\theta }}=abe^{b\theta }=br}$.

Подставляем в формулу длины дуги: ${\displaystyle L=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}{\sqrt {r^{2}+(br)^{2}}}\,d\theta =\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}r{\sqrt {1+b^{2}}}\,d\theta }$.

Так как ${\displaystyle r=ae^{b\theta }}$: ${\displaystyle L={\sqrt {1+b^{2}}}\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}ae^{b\theta }\,d\theta ={\sqrt {1+b^{2}}}\cdot {\frac {a}{b}}\left[e^{b\theta }\right]_{\theta _{1}}^{\theta _{2}}}$.

${\displaystyle L={\frac {\sqrt {1+b^{2}}}{b}}\left(ae^{b\theta _{2}}-ae^{b\theta _{1}}\right)={\frac {\sqrt {1+b^{2}}}{b}}(r_{2}-r_{1})}$.

Если ${\displaystyle \theta _{1}\to -\infty }$ (полюс), то ${\displaystyle r_{1}\to 0}$, и получаем: ${\displaystyle L={\frac {r{\sqrt {1+b^{2}}}}{b}}={\frac {r}{\cos \alpha }}}$.

Кривизна кривой в полярных координатах вычисляется по формуле^[8]: ${\displaystyle \kappa ={\frac {|r^{2}+2\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}-r{\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}|}{\left(r^{2}+\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}\right)^{3/2}}}}$.

Для логарифмической спирали: ${\displaystyle {\frac {dr}{d\theta }}=br,\quad {\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}=b^{2}r}$.

Подставляем: ${\displaystyle \kappa ={\frac {|r^{2}+2b^{2}r^{2}-rb^{2}r|}{(r^{2}+b^{2}r^{2})^{3/2}}}={\frac {r^{2}(1+b^{2})}{r^{3}(1+b^{2})^{3/2}}}={\frac {1}{r{\sqrt {1+b^{2}}}}}}$.

Следовательно, радиус кривизны: ${\displaystyle \rho ={\frac {1}{\kappa }}=r{\sqrt {1+b^{2}}}={\frac {r}{\sin \alpha }}}$.

Площадь сектора в полярных координатах вычисляется по формуле: ${\displaystyle S={\frac {1}{2}}\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}r^{2}\,d\theta }$.

Для логарифмической спирали ${\displaystyle r^{2}=a^{2}e^{2b\theta }}$: ${\displaystyle S={\frac {1}{2}}\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}a^{2}e^{2b\theta }\,d\theta ={\frac {a^{2}}{2}}\cdot {\frac {1}{2b}}\left[e^{2b\theta }\right]_{\theta _{1}}^{\theta _{2}}}$.

${\displaystyle S={\frac {a^{2}}{4b}}\left(e^{2b\theta _{2}}-e^{2b\theta _{1}}\right)={\frac {r_{2}^{2}-r_{1}^{2}}{4b}}}$.

Уравнение касательной к логарифмической спирали в точке ${\displaystyle (r_{0},\theta _{0})}$ в полярных координатах имеет вид: ${\displaystyle r\cos(\theta -\theta _{0})-b\cdot r\sin(\theta -\theta _{0})=r_{0}}$.

Уравнение нормали к логарифмической спирали в точке ${\displaystyle (r_{0},\theta _{0})}$: ${\displaystyle r\sin(\theta -\theta _{0})+b\cdot r\cos(\theta -\theta _{0})=br_{0}}$.

Подера — геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из полюса на касательные к кривой. Для логарифмической спирали под ра также является логарифмической спиралью с уравнением: ${\displaystyle r_{\text{подэры}}=r_{0}\cdot e^{b(\theta -\alpha )}\cdot \cos \alpha }$, где ${\displaystyle \alpha ={\text{arccot}}(b)}$ — постоянный угол спирали^[16].

Эволюта — геометрическое место центров кривизны. Для логарифмической спирали эволюта также является логарифмической спиралью, повёрнутой на угол ${\displaystyle \alpha }$ и масштабированной: ${\displaystyle r_{\text{эволюты}}=r\cdot {\sqrt {1+b^{2}}}={\frac {r}{\sin \alpha }}}$^[14][3].

Золотая спираль также может быть построена внутри правильного пятиугольника и пентаграммы, где все диагонали пересекаются в точках, делящих их в золотом сечении. Если последовательно соединять точки пересечения дугами окружностей, получится приближение золотой спирали^[21].

Существуют обобщения логарифмической спирали, где параметр ${\displaystyle b}$ не постоянен, а зависит от угла ${\displaystyle \theta }$. Такие кривые теряют свойство равноугольности, но сохраняют некоторые другие свойства обычной логарифмической спирали.

Хотя спираль Ферма (параболическая спираль) отличается от логарифмической, они имеют некоторые общие свойства и обе часто встречаются в природе, особенно в филлотаксисе.

Гиперболическая спираль с уравнением ${\displaystyle r=a/\theta }$ является своеобразной «противоположностью» логарифмической спирали: она закручивается к полюсу при увеличении угла, а не раскручивается от него.

Сравнение логарифмической и параболической спиралей

Свойство	Логарифмическая спираль	Спираль Ферма
Уравнение	${\displaystyle r=ae^{b\theta }}$	${\displaystyle r=a{\sqrt {\theta }}}$
Рост радиуса	Экспоненциальный	Степенной (корневой)
Угол между касательной и радиус-вектором	Постоянен	Переменный
Самоподобие	Присутствует	Отсутствует
Длина дуги до полюса	Конечна	Бесконечна
Эволюта	Логарифмическая спираль	Более сложная кривая
Применение в природе	Раковины, галактики, циклоны	Соцветия, филлотаксис