Сплайн Эрмита

Кубический эрмитов сплайн — сплайн, построенный из кубических полиномов с использованием эрмитовой интерполяции, в соответствии с которой интерполируемая функция задаётся не только своими значениями в n точках, но и её первыми производными. Для заданной интерполяционной сетки ${\displaystyle x_{k}}$ для ${\displaystyle k=1,...,n}$, и заданного значения независимой переменной x вычисление функции проводится в соответствующем интервале ${\displaystyle (x_{k},x_{k+1})}$ с известными граничными значениями функции p и её производной m. Для упрощения вычислений делается замена независимой переменной x на независимую переменную t по формуле ${\displaystyle t=(x-x_{k})/(x_{k+1}-x_{k})}$. В результате такой замены левая граница интервала становится равной 0, а правая 1. Кубический полином, служащий для вычисления интерполируемой функции в соответствующем интервале имеет вид:

${\displaystyle {\boldsymbol {p}}(t)=(2t^{3}-3t^{2}+1){\boldsymbol {p}}_{k}+(t^{3}-2t^{2}+t)(x_{k+1}-x_{k}){\boldsymbol {m}}_{k}+(-2t^{3}+3t^{2}){\boldsymbol {p}}_{k+1}+(t^{3}-t^{2})(x_{k+1}-x_{k}){\boldsymbol {m}}_{k+1}}$

В вышеприведённой формуле значения производных относятся к независимой переменной t. Для их вычисления необходимо исходные значения производных умножить на длины интервалов ${\displaystyle x_{k+1}-x_{k}}$. Как следует из формулы, значение интерполируемой функции вычислятся с помощью четырёх кубических полиномов ${\displaystyle h_{00}(t),h_{10}(t),h_{01}(t),h_{11}(t)}$. Эти полиномы отнюдь не являются классическими полиномами Эрмита, как об этом сказано в англоязычной версии статьи. На практике обычно известны лишь значения функции в узловых точках, но не значения первой производной. Для вычисления значений первой производной используются различные способы. Простейшим является вычисление среднего арифметического значения разделённых первых разностей на двух соседних интервалах.

${\displaystyle {\boldsymbol {m}}_{k}={\frac {{\boldsymbol {p}}_{k+1}-{\boldsymbol {p}}_{k}}{2(x_{k+1}-x_{k})}}+{\frac {{\boldsymbol {p}}_{k}-{\boldsymbol {p}}_{k-1}}{2(x_{k}-x_{k-1})}}}$

В так называемом кардинальном сплайне используется формула

${\displaystyle {\boldsymbol {m}}_{k}=(1-c){\frac {{\boldsymbol {p}}_{k+1}-{\boldsymbol {p}}_{k-1}}{x_{k+1}-x_{k-1}}}}$

В этой формуле параметр c изменяется от 0 до 1. В соответствии с этой формулой производная в середине отрезка равняется разделённой первой разности на всем отрезке, умноженной на некий коэффициент. В случае с = 0 формула называется сплайном Катмалла-Рома (базовым сплайном).