Квадратный корень

Клинописные таблички второго тысячелетия до нашей эры содержат задачи на нахождение стороны квадрата по площади и методы приближённого извлечения; знаменитая вавилонская табличка даёт ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ в шестидесятеричной записи с ошибкой лишь в шестом знаке^[5][7]. Вавилонский приём состоял в представлении числа в виде суммы известного квадрата и поправки: значение подбиралось между соседними целыми и уточнялось по линейной формуле, а близкие схемы встречаются и в египетских папирусах^[5][8])^[9]. Греки переосмыслили задачу строго геометрически: извлечь корень означало построить отрезок — сторону квадрата данной площади, и термин «сторона» долгое время заменял слово «корень»^[10].

Поворотным пунктом стало открытие несоизмеримости диагонали и стороны квадрата, то есть иррациональности ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$. Предание связывает его с Гиппасом Метапонтским, а систематическое изучение корней из натуральных чисел провели Феодор Киренский и его ученик Теэтет, доказавший иррациональность корней из всех неквадратных чисел вплоть до семнадцати^[11][12]. Результаты Теэтета легли в основу десятой книги «Начал» Евклида, где теория несоизмеримостей изложена в геометрической форме^[13][14][15].

Первые систематические обозначения восходят к латинской букве ${\displaystyle R}$ с чертой: так писали математики XIII—XV веков^[16], а Николя Шюке применял эту букву с показателем степени^[17][18]. В немецких рукописях величина обозначалась точками перед числом: одна для квадратного корня, две и три для корней высших степеней; эти чёрточки и считают прообразом современной галочки^[17]. Современный знак ввёл в учебнике алгебры 1525 года венский учитель Кристоф Рудольф; его символ представлял собой стилизованную строчную букву ${\displaystyle r}$ — первую букву в слове, означающем «корень»^[17][19].

Горизонтальную черту над подкоренным выражением, служившую ранее группировочным знаком (скобкой), объединил с радикалом Рене Декарт в «Геометрии» 1637 года, и эта запись закрепилась в печати^[20][21]. Показатель для корней высших степеней ввели Антуан Жирар и Исаак Ньютон, а окончательную форму запись приняла к началу XVIII века^[17]. История символа длилась почти пять столетий — дольше, чем формировалось само понятие^[17].

Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа ${\displaystyle a}$ называется неотрицательное число ${\displaystyle b}$, квадрат которого равен ${\displaystyle a}$; это записывается как ${\displaystyle {\sqrt {a}}=b}$. Условия ${\displaystyle b^{2}=a}$ и ${\displaystyle b\geqslant 0}$ выделяют из двух возможных значений одно и делают операцию функцией: каждому ${\displaystyle a\geqslant 0}$ соответствует ровно один результат^[1]. Корень из нуля равен нулю, корень из единицы — единице; из точных квадратов корень извлекается нацело, из остальных чисел он является иррациональным^[22][3][4].

На положительной полуоси значение растёт медленнее любой линейной функции: график ${\displaystyle y={\sqrt {x}}}$ — это верхняя ветвь параболы ${\displaystyle y^{2}=x}$, симметричной относительно оси абсцисс^[23]. Функция определена при ${\displaystyle x\geqslant 0}$, монотонно возрастает, принимает значения от нуля до бесконечности и симметрична относительно биссектрисы первого координатного угла функции ${\displaystyle y=x^{2}}$, рассматриваемой на той же полуоси^[23]. Возведение корня в квадрат однозначно: ${\displaystyle ({\sqrt {a}})^{2}=a}$, тогда как извлечение корня из квадрата ${\displaystyle {\sqrt {a^{2}}}}$ даёт модуль этого числа^[24].

Без условия неотрицательности уравнение ${\displaystyle x^{2}=a}$ при ${\displaystyle a>0}$ имеет ровно два решения: ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$ и ${\displaystyle -{\sqrt {a}}}$; их принято записывать со знаком «плюс-минус»^[1]. Различие принципиально: длина отрезка, площадь и другие измеримые величины соответствуют только арифметическому значению, тогда как при решении алгебраических задач используются оба значения^[25]. Так, сторона квадрата площадью девять равна трём, но уравнение ${\displaystyle x^{2}=9}$ имеет и второе решение — минус три^[25]. При ${\displaystyle a=0}$ решение единственно, а при отрицательном ${\displaystyle a}$ действительных корней не существует — этот случай привёл математику к расширению понятия числа^[10].

Извлечение корня подчиняется простым правилам, справедливым для неотрицательных величин: корень из произведения равен произведению корней ${\displaystyle {\sqrt {ab}}={\sqrt {a}},{\sqrt {b}}}$, корень из дроби равен отношению корней ${\displaystyle {\sqrt {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}}$, а возведение результата в степень сводится к возведению подкоренного выражения в эту же степень^[1]. Эти тождества позволяют выносить множитель из-под знака и вносить его обратно, упрощая выражения: например, ${\displaystyle {\sqrt {72}}=6{\sqrt {2}}}$^[6]. В языке степеней извлечение корня есть возведение в дробную степень, ${\displaystyle {\sqrt {a}}=a^{1/2}}$, и все перечисленные правила становятся частными случаями операций со степенями^[26].

С этой операцией связано понятие средних величин: корень из произведения двух положительных чисел называют их средним геометрическим. Оно не превосходит их среднего арифметического и не меньше их среднего гармонического; эти границы лежат в основе оценок извлекаемой величины и классических схем приближений^[26].

Классическое доказательство иррациональности ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ строится от противного: если бы корень представлялся несократимой дробью ${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$, то выполнялось бы равенство ${\displaystyle m^{2}=2n^{2}}$. Тогда квадрат числителя делится на два, значит, и само число ${\displaystyle m}$ чётно; но при чётном ${\displaystyle m}$ левая часть делится на четыре, а правая — лишь на два (поскольку ${\displaystyle n}$ нечётно)^[22]. Противоречие показывает, что представление в виде дроби невозможно. Томас Маховер выразил это рассуждение поэтической строфой на страницах журнала Mathematics Magazine — это редкий случай доказательства в стихах на научных страницах^[27].

Теэтет доказал: корень из натурального числа либо является целым, либо иррационален — промежуточного варианта в виде дроби не бывает^[11]. Отсюда следует, что иррациональных значений столько же, сколько неквадратных чисел: ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$, ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ и так далее^[22]. В современной терминологии эти величины являются алгебраическими числами: они служат корнями уравнений с целыми коэффициентами, в отличие от трансцендентных чисел ${\displaystyle \pi }$ и ${\displaystyle e}$^[26].

Другой признак дают непрерывные дроби: число рационально тогда и только тогда, когда его разложение конечно, а корни из натуральных чисел имеют периодические разложения, например ${\displaystyle {\sqrt {2}}=[1;2,2,2,\ldots ]}$^[28]. Периодичность делает корни самым аккуратным классом иррациональностей: их приближения воспроизводятся простым правилом^[28].

Простейшая оценка опирается на соседние точные квадраты: поскольку ${\displaystyle 1^{2}<2<2^{2}}$, корень из двух лежит между единицей и двойкой, а дробление промежутка уточняет границы до нужного знака^[1]. Подкоренное число раскладывают на множители и извлекают корень из полных квадратов: ${\displaystyle {\sqrt {432}}=12{\sqrt {3}}}$; вычитание последовательных нечётных чисел даёт целую часть, ведь сумма нечётных чисел, начиная с единицы, равна квадрату их количества^[6]. При больших числах помогает масштабирование: цифры разбивают на пары, что сразу определяет количество знаков в результате^[1]. Исторические таблицы значений, начиная с вавилонских списков, служили тем же целям, что современные калькуляторы^[5].

Рабочий численный метод восходит к Герону Александрийскому и описан в его «Метрике»: очередное приближение есть среднее арифметическое предыдущего приближения и частного от деления подкоренного числа на это приближение^[29]. Итерационная формула ${\displaystyle x_{n+1}={\frac {1}{2}}\left(x_{n}+{\frac {a}{x_{n}}}\right)}$ сходится при любом положительном начальном приближении: частное ${\displaystyle {\frac {a}{x_{n}}}}$ всегда отстоит от искомого значения в другую сторону по сравнению с ${\displaystyle x_{n}}$, и их полусумма приближается к нему^[30]. Для ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ последовательность начинается с единицы и продолжается значениями ${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}$, ${\displaystyle {\tfrac {17}{12}}}$, ${\displaystyle {\tfrac {577}{408}}}$; уже четвёртый шаг даёт шесть верных знаков^[5].

Старинный школьный приём позволяет извлекать корень столбиком, подобно делению: цифры подкоренного числа разбивают на пары, и каждая пара даёт очередную цифру результата^[1]. Разложение в непрерывную дробь порождает подходящие дроби — наилучшие рациональные приближения при малом знаменателе; для корня из двух это дроби ${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}$, ${\displaystyle {\tfrac {7}{5}}}$, ${\displaystyle {\tfrac {17}{12}}}$^[28]. Наконец, степенной ряд ${\displaystyle {\sqrt {1+x}}=1+{\frac {x}{2}}-{\frac {x^{2}}{8}}+{\frac {x^{3}}{16}}-\ldots }$ применим при малых ${\displaystyle x}$ и лежит в основе аналитических вычислений^[23].

Квадрат действительного числа неотрицателен, поэтому уравнение ${\displaystyle x^{2}=-1}$ в действительных числах решений не имеет; выход состоит во введении мнимой единицы ${\displaystyle i}$ с условием ${\displaystyle i^{2}=-1}$, и тогда корнями становятся ${\displaystyle \pm i}$^[10]. Потребность в таких величинах возникла в шестнадцатом веке при решении кубических уравнений: Джероламо Кардано столкнулся с корнями из отрицательных чисел в формуле, дающей вещественный ответ, а Рафаэль Бомбелли сформулировал правила действий с ними^[10]. Название «мнимые» предложил Декарт, и долгое время такие величины оставались полупрезрительным вычислительным приёмом^[10][31].

Для комплексного числа в тригонометрической форме ${\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}$ извлечение корня сводится к делению аргумента пополам: ${\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {r}}\left(\cos {\frac {\varphi }{2}}+i\sin {\frac {\varphi }{2}}\right)}$, и у ненулевого числа ровно два корня, отличающихся знаком^[32]. Примеры просты: корни из минус четырёх — это ${\displaystyle \pm 2i}$, корни из единицы — ${\displaystyle \pm 1}$^[32]. Геометрическая интерпретация Гаусса превратила мнимые величины в равноправные точки плоскости, а операцию извлечения корня — в поворот на половинный угол с растяжением в ${\displaystyle {\sqrt {r}}}$ раз^[10][33].

В геометрии радикал появляется всюду, где теорема Пифагора связывает стороны: диагональ квадрата со стороной ${\displaystyle a}$ равна ${\displaystyle a{\sqrt {2}}}$, а диагональ прямоугольника и расстояние между точками плоскости вычисляются как ${\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}}$^[23]. Формула Герона выражает площадь треугольника через корень из произведения полупериметра и трёх разностей: ${\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}$^[29]. Построение корней по отрезкам выполняется циркулем и линейкой с использованием окружности, построенной на диаметре: высота, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее геометрическое проекций катетов, что даёт отрезок длины ${\displaystyle {\sqrt {ab}}}$^[13]. Спираль Феодора строит корни из натуральных чисел с помощью последовательных прямоугольных треугольников с катетом, равным единице^[11][34].

Физические формулы содержат радикал там, где величина пропорциональна квадрату другой величины: период колебаний маятника ${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}}$, время свободного падения ${\displaystyle t={\sqrt {\frac {2h}{g}}}}$, скорость истечения жидкости из отверстия и средняя скорость молекул газа вычисляются похожим образом^[25]. В статистике разброс измеряется корнем из дисперсии: среднеквадратическое отклонение ${\displaystyle \sigma ={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}}$ возвращает показатель к исходным единицам измерения^[35].

В вычислительной практике извлечение корня нужно при нормировании векторов, расчёте расстояний в графике и навигации, фильтрации сигналов; быстрые алгоритмы входят в число базовых машинных операций^[36]. От четырёхзначных таблиц и логарифмической линейки путь привёл к карманным калькуляторам, где корень нажатием одной клавиши вычисляется тем же методом касательных (методом Ньютона)^[25].

Понятие обобщается по разным направлениям. Корень из матрицы определяется через матричное умножение и применяется в анализе линейных систем^[37]; корни высших степеней подчиняются тем же правилам действий со степенями; визуальные доказательства свойств продолжают традицию «доказательств без слов»^[38].