Среднее геометрическое

Среднее геометрическое (среднее пропорциональное) двух положительных величин ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ называется величина ${\displaystyle x={\sqrt {ab}}}$. Величины ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle b}$ образуют геометрическую прогрессию^[2].

В геометрии среднее геометрическое или среднее пропорциональное имеет следующее применение:

Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу, а каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.

Среднее геометрическое отрезков:
${\displaystyle BH={\sqrt {AH\cdot HC}}={\sqrt {ab}}}$

Это даёт геометрический способ построения среднего геометрического двух (длин) отрезков: нужно построить окружность на сумме этих двух отрезков как на диаметре, и тогда высота, восстановленная из точки их соединения до пересечения с окружностью, даст искомую величину^[3].

Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического:

Для двух чисел это неравенство имеет вид: ${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}\geqslant {\sqrt {ab}}}$.

Среднее степенное ${\displaystyle k}$-го порядка определяется по формуле^[4]:

${\displaystyle {\bar {x}}^{k}=\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}}{n}}\right)^{\frac {1}{k}}}$.

Среднее геометрическое является степенным средним нулевого порядка.

Доказательство.

Если под средним степенным нулевого порядка понимать ${\displaystyle \lim _{k\to 0}{\bar {x}}^{k}}$ и ${\displaystyle \ln {\bar {x}}^{k}={\frac {1}{k}}\left(\ln \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}-\ln n\right)}$;

то ${\displaystyle \lim _{k\to 0}\ln {\bar {x}}^{k}=\lim _{k\to 0}{\frac {\ln \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}-\ln n}{k}}}$.

Применяя правило Лопиталя, получаем:

${\displaystyle \lim _{k\to 0}\ln {\bar {x}}^{k}=\lim _{k\to 0}{\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}\ln {x_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\ln {x_{i}}}{n}}=\ln({x_{1}\cdot x_{2}\cdot ...\cdot x_{n}})^{\frac {1}{n}}}$.

Отсюда ${\displaystyle \lim _{k\to 0}{\bar {x}}^{k}={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdot ...\cdot x_{n}}}={\bar {x}}_{geom}.\blacksquare }$

• Так же, как и любое другое среднее значение, среднее геометрическое лежит между минимумом и максимумом из всех чисел:

${\displaystyle \operatorname {min} (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\leqslant G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\leqslant \operatorname {max} (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}).}$

Среднее геометрическое взвешенное набора вещественных чисел ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ с вещественными весами ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$ определяется как

${\displaystyle {\bar {x}}=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)^{1/\sum _{i=1}^{n}w_{i}}=\quad \exp \left({\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}\;\sum _{i=1}^{n}w_{i}\ln x_{i}\right).}$

В том случае, если все веса равны между собой, среднее геометрическое взвешенное равно среднему геометрическому.

• Среднее геометрическое можно рассматривать как предел средних степенных ${\displaystyle A_{g}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\sqrt[{g}]{\frac {x_{1}^{g}+\ldots +x_{n}^{g}}{n}}}}$ , при ${\displaystyle g\to 0}$.
• Среднее геометрическое является средним Колмогорова при ${\displaystyle \phi (x)=\ln x}$.

Среднее геометрическое используют прежде всего тогда, когда среднее значение вычисляют для значений, заданных через некоторые равные промежутки времени (рост или снижение успеваемости, заработной платы, вклада в банке за несколько лет). Его применяют тогда, когда переменная с течением времени изменяется примерно с одинаковым соотношением между измерениями или когда отдельные значения в статистической совокупности удалены от других значений; это меньше влияет на среднее геометрическое по сравнению со средним арифметическим, а потому даёт более правильное представление о среднем. Для вычисления среднего геометрического в Excel можно использовать функцию (СРГЕОМ)^[4].

Вычисление средних значений аналитических показателей, один из которых средний темп роста^[5]. Средний коэффициент (темп) роста — обобщающая характеристика индивидуальных темпов роста ряда динамики и для его определения применяется формула среднего геометрического из цепных коэффициентов роста: ${\displaystyle {\bar {K}}_{p}={\sqrt[{n-1}]{K_{p_{1}}\cdot K_{p_{2}}\cdot K_{p_{3}}\cdot ...\cdot K_{p_{n}}}}}$. Аналогично находится средний темп роста: ${\displaystyle {\bar {T}}_{p}={\sqrt[{n-1}]{T_{p_{1}}\cdot T_{p_{2}}\cdot T_{p_{3}}\cdot ...\cdot T_{p_{n}}}}}$.