Устойчивость (математика)

В 1973 году канадский эколог К. С. Холлинг предложил определение устойчивости применительно к экологическим системам. По Холлингу, устойчивость — это «мера сохранения системы и её способности впитывать изменения и потрясения, сохраняя прежние соотношения между популяциями или переменными состояния». Он выделил два типа устойчивости: инженерную устойчивость и экологическую устойчивость^[3]. Инженерная устойчивость — это способность системы возвращаться в исходное состояние после нарушения, например, мост, который можно восстановить после землетрясения. Экологическая устойчивость — способность системы сохранять свою структуру и функцию при воздействии потрясений, например, восстановление леса после пожара с поддержанием биоразнообразия и экосистемных функций. Со временем ранее чёткое и однозначное понятие устойчивости всё больше утрачивает определённость и сближается с понятием зонтичный термин вместо конкретной количественной меры^[4].

С математической точки зрения, устойчивость часто аппроксимируется обратной величиной времени возвращения к стационарному состоянию^[5][6]:

${\displaystyle {\text{устойчивость}}\equiv -\mathrm {Re} (\lambda _{1}(\mathbf {A} ))}$

где ${\textstyle \lambda _{1}}$ — максимальное собственное значение матрицы ${\textstyle \mathbf {A} }$.

Чем выше это значение, тем быстрее система возвращается к исходному устойчивому стационарному состоянию, то есть, тем быстрее затухают возмущения.

В экологии устойчивость часто означает способность экосистемы восстанавливаться после потрясений (пожаров, засух, внедрения инвазивных видов). Устойчивая экосистема способна адаптироваться к изменениям и продолжить функционировать, в то время как менее устойчивая может подвергнуться необратимым изменениям или разрушению^[7]. Прикладное применение концепции устойчивости осложняется тем, что её формальные определения остаются довольно размытыми, что ограничивает внедрение в практическое управление экосистемами^[8].

В эпидемиологии устойчивость может означать способность здорового сообщества возвращаться к безболезненному состоянию после появления инфицированных особей. То есть более устойчивая система с большей вероятностью останется в безэпидемическом стационарном состоянии даже после вторжения новой инфекции. В ряде устойчивых систем наблюдается критическое замедление, когда при приближении базового репродуктивного числа к единице устойчивость системы снижается, и возврат к устойчивому состоянию замедляется.

Понятие устойчивости играет важную роль в исследовании сложных систем, где множество взаимодействующих компонентов могут неожиданным образом влиять друг на друга^[9]. Математическое моделирование позволяет исследовать устойчивость таких систем и определять стратегии повышения их надёжности при внешних изменениях. Например, при моделировании сетей важно количественно оценивать устойчивость или робастность сети к потере узлов. Сети с масштабным распределением связей отличаются повышенной устойчивостью^[10], так как большинство их узлов имеют мало связей, и при случайном удалении они с большей вероятностью будут удаляться, что сохраняет ключевые свойства сети^[11].