Признаки подобия треугольников

Признаки подобия треугольников — геометрические утверждения, устанавливающие достаточные условия для подобия двух треугольников без необходимости проверки равенства всех их углов и пропорциональности всех сторон.

Подобные треугольники имеют равные углы и пропорциональные стороны, причём сходственными называются стороны, лежащие напротив равных углов. Коэффициент подобия — отношение сходственных сторон.

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны. Равенство двух углов влечёт равенство третьего, что делает условие достаточным.

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между этими сторонами равны, то треугольники подобны.

Третий признак подобия утверждает, что треугольники подобны, если все три стороны одного пропорциональны трём сторонам другого.

Для прямоугольных треугольников достаточно равенства одного острого угла, пропорциональности двух катетов или пропорциональности катета и гипотенузы.

В подобных треугольниках отношение периметров, медиан, высот, биссектрис и радиусов описанных и вписанных окружностей равно коэффициенту подобия, а отношение площадей — квадрату коэффициента подобия.

При́знаки подо́бия треуго́льников — геометрические утверждения, позволяющие установить подобие двух треугольников без проверки всех элементов определения, то есть без сравнения всех трёх углов и всех трёх сторон. Каждый признак указывает на достаточное условие, при выполнении которого треугольники гарантированно являются подобными^[1].

В евклидовой геометрии выделяют три основных признака подобия треугольников: по двум углам; по двум сторонам и углу между ними; по трём сторонам.

Для прямоугольных треугольников существуют дополнительные признаки, вытекающие из основных.

Понятие подобия фигур было известно ещё древним грекам. Евклид в своих «Началах» (III век до н. э.) подробно рассматривал теорию подобия в VI книге, где сформулировал основные признаки подобия треугольников^[2].

Термин «подобие» (греч. ὅμοιος — подобный, похожий) использовался для описания фигур, имеющих одинаковую форму, но разные размеры. Развитие теории подобия продолжалось в трудах Архимеда, Аполлония и других древнегреческих математиков.

В XVII—XVIII веках с развитием аналитической геометрии и математического анализа понятие подобия получило дальнейшее развитие и нашло применение в дифференциальной геометрии, картографии и других областях науки^[3].

Подобные треугольники — треугольники в евклидовой геометрии, у которых углы соответственно равны, а пропорциональные стороны лежат напротив равных углов. Являются частным случаем подобных фигур^[4]. Сходственные стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов. Коэффициент подобия — число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.

Запись $\triangle ABC\sim \triangle A_{1}B_{1}C_{1}$ означает, что треугольники подобны при соответствии вершин $A\leftrightarrow A_{1}$ , $B\leftrightarrow B_{1}$ , $C\leftrightarrow C_{1}$ .

Признаки подобия треугольников — достаточные условия, позволяющие установить подобие двух треугольников без проверки всех элементов определения.

Первый признак (по двум углам)

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны^[5].

Если $\angle A=\angle A_{1}$ и $\angle B=\angle B_{1}$ , то $\triangle ABC\sim \triangle A_{1}B_{1}C_{1}$ (при соответствии $A\leftrightarrow A_{1}$ , $B\leftrightarrow B_{1}$ , $C\leftrightarrow C_{1}$ ).

Дано: $\triangle ABC$ и $\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$ , $\angle A=\angle A_{1}$ , $\angle B=\angle B_{1}$ . Доказать: $\triangle ABC\sim \triangle A_{1}B_{1}C_{1}$ .

Доказательство

Из теоремы о сумме углов треугольника следует, что третьи углы также равны: $\angle C=\angle C_{1}$ . На луче $AB$ от точки $A$ отложим отрезок $AB'=A_{1}B_{1}$ . Через точку $B'$ проведём прямую $B'C'$ , параллельную $BC$ , где $C'$ — точка пересечения этой прямой с лучом $AC$ . Так как $B'C'\parallel BC$ , то $\angle AB'C'=\angle B$ и $\angle AC'B'=\angle C$ (соответственные углы при параллельных прямых). Следовательно, $\angle AB'C'=\angle B_{1}$ и $\angle AC'B'=\angle C_{1}$ , а $AB'=A_{1}B_{1}$ , поэтому $\triangle AB'C'\cong \triangle A_{1}B_{1}C_{1}$ (по стороне и двум прилежащим углам). По обобщённой теореме Фалеса, из $B'C'\parallel BC$ следует:

{\frac {AB'}{AB}}={\frac {AC'}{AC}}={\frac {B'C'}{BC}}

.

Так как $\triangle AB'C'\cong \triangle A_{1}B_{1}C_{1}$ , заменяем:

{\frac {A_{1}B_{1}}{AB}}={\frac {A_{1}C_{1}}{AC}}={\frac {B_{1}C_{1}}{BC}}

.

Стороны пропорциональны и углы равны, следовательно $\triangle ABC\sim \triangle A_{1}B_{1}C_{1}$ по определению. ∎

Следствие

Если три стороны одного треугольника попарно параллельны трём сторонам другого треугольника, то эти треугольники подобны (поскольку соответственные углы при параллельных прямых равны, и подобие следует из первого признака).

Второй признак (по двум сторонам и углу между ними)

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то треугольники подобны^[6].

Дано: $\triangle ABC$ и $\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$ , $\angle A=\angle A_{1}$ , ${\dfrac {AB}{A_{1}B_{1}}}={\dfrac {AC}{A_{1}C_{1}}}$ . Доказать: $\triangle ABC\sim \triangle A_{1}B_{1}C_{1}$ .

Доказательство

На луче $AB$ от точки $A$ отложим отрезок $AB'=A_{1}B_{1}$ . Через точку $B'$ проведём прямую $B'C'$ , параллельную $BC$ , где $C'$ — точка пересечения с лучом $AC$ . По первому признаку подобия: $\triangle AB'C'\sim \triangle ABC$ , следовательно:

{\frac {AB'}{AB}}={\frac {AC'}{AC}}

.

Подставим $AB'=A_{1}B_{1}$ :

{\frac {A_{1}B_{1}}{AB}}={\frac {AC'}{AC}}

.

По условию ${\dfrac {A_{1}B_{1}}{AB}}={\dfrac {A_{1}C_{1}}{AC}}$ , поэтому $AC'=A_{1}C_{1}$ . Теперь в треугольниках $\triangle AB'C'$ и $\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$ : $AB'=A_{1}B_{1}$ , $AC'=A_{1}C_{1}$ , $\angle B'AC'=\angle A=\angle A_{1}$ . По первому признаку равенства треугольников (SAS): $\triangle AB'C'\cong \triangle A_{1}B_{1}C_{1}$ . Из $\triangle AB'C'\sim \triangle ABC$ и $\triangle AB'C'\cong \triangle A_{1}B_{1}C_{1}$ следует $\triangle ABC\sim \triangle A_{1}B_{1}C_{1}$ . ∎

Третий признак (по трём сторонам)

Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то треугольники подобны^[7].

Дано: $\triangle ABC$ и $\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$ , ${\dfrac {AB}{A_{1}B_{1}}}={\dfrac {AC}{A_{1}C_{1}}}={\dfrac {BC}{B_{1}C_{1}}}$ . Доказать: $\triangle ABC\sim \triangle A_{1}B_{1}C_{1}$ .

Доказательство

На луче $AB$ от точки $A$ отложим отрезок $AB'=A_{1}B_{1}$ . Через точку $B'$ проведём прямую $B'C'$ , параллельную $BC$ , где $C'$ — точка пересечения с лучом $AC$ . По первому признаку подобия: $\triangle AB'C'\sim \triangle ABC$ , следовательно:

{\frac {AB'}{AB}}={\frac {AC'}{AC}}={\frac {B'C'}{BC}}

.

Обозначим коэффициент подобия $k={\dfrac {A_{1}B_{1}}{AB}}={\dfrac {A_{1}C_{1}}{AC}}={\dfrac {B_{1}C_{1}}{BC}}$ . Так как $AB'=A_{1}B_{1}$ , имеем ${\dfrac {AB'}{AB}}=k$ , следовательно:

AC'=k\cdot AC=A_{1}C_{1}

,

B'C'=k\cdot BC=B_{1}C_{1}

.

В треугольниках $\triangle AB'C'$ и $\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$ все три стороны попарно равны: $AB'=A_{1}B_{1}$ , $AC'=A_{1}C_{1}$ , $B'C'=B_{1}C_{1}$ . По третьему признаку равенства треугольников (SSS): $\triangle AB'C'\cong \triangle A_{1}B_{1}C_{1}$ . Из $\triangle AB'C'\sim \triangle ABC$ и $\triangle AB'C'\cong \triangle A_{1}B_{1}C_{1}$ следует $\triangle ABC\sim \triangle A_{1}B_{1}C_{1}$ . ∎

Признаки подобия прямоугольных треугольников

Для прямоугольных треугольников признаки упрощаются: По острому углу. Прямые углы равны, поэтому достаточно равенства одного острого угла (следствие первого признака). По двум катетам. Если катеты одного треугольника пропорциональны катетам другого, то треугольники подобны (следствие второго признака: угол между катетами — прямой). По катету и гипотенузе. Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника пропорциональны катету и гипотенузе другого, то треугольники подобны. Это доказывается через теорему Пифагора: из пропорциональности двух сторон и теоремы Пифагора следует пропорциональность третьей стороны, после чего применяется третий признак подобия.

Пусть два треугольника подобны с коэффициентом подобия $k$ . Тогда: Отношение периметров равно $k$ . Отношение площадей равно $k^{2}$ . Отношение длин медиан, высот и биссектрис, проведённых к сходственным сторонам, равно $k$ .

Отношение радиусов описанных и вписанных окружностей равно $k$ .

Высота прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит его на два треугольника, каждый из которых подобен исходному (по первому признаку: один угол — прямой, второй — общий с исходным треугольником). Из этого подобия вытекают следующие соотношения^[8]: Высота, опущенная на гипотенузу, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу:

h={\sqrt {a'\cdot b'}}

,

где

a'

и

b'

— проекции катетов на гипотенузу.

Катет равен среднему геометрическому гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу:

a={\sqrt {c\cdot a'}}

,

где

c

— длина гипотенузы,

a'

— проекция катета

a

на гипотенузу.

Медиальный и антимедиальный треугольники

Медиальный треугольник (образованный серединами сторон исходного треугольника) подобен исходному с коэффициентом $k={\tfrac {1}{2}}$ ; сходственные стороны параллельны (по теореме о средней линии). Антимедиальный треугольник (треугольник, для которого исходный является медиальным) подобен исходному с коэффициентом $k=2$ ; сходственные стороны также параллельны^[9]. Медиальный и антимедиальный треугольники подобны между собой с коэффициентом $k=4$ .

Ортотреугольник

Для остроугольного треугольника ортотреугольник (образованный основаниями высот) подобен тангенциальному треугольнику^[10]^[11].

Стороны остроугольного треугольника антипараллельны соответствующим сторонам его ортотреугольника.

Контактный треугольник

Контактный треугольник (образованный точками касания вписанной окружности со сторонами исходного треугольника) связан с исходным треугольником следующим образом: ортотреугольник контактного треугольника подобен исходному треугольнику (стороны ортотреугольника контактного треугольника параллельны сторонам исходного).

Окружностно-чевианный и подерный треугольники

Теорема. Окружностно-чевианный треугольник подобен подерному треугольнику^[12]^[13]. Здесь: Окружностно-чевианный треугольник — треугольник, вершинами которого служат вторые точки пересечения чевиан, проведённых через данную точку, с описанной окружностью. Подерный треугольник (педальный треугольник) — треугольник, вершинами которого служат проекции данной точки на стороны (или их продолжения).

Сходственные стороны медиального, антимедиального и исходного треугольников попарно параллельны.

Стороны тангенциального треугольника антипараллельны соответствующим сторонам исходного треугольника (по свойству касательных к описанной окружности).

Стороны тангенциального треугольника параллельны соответствующим сторонам ортотреугольника (для остроугольного треугольника)^[14].

Признаки подобия треугольников находят широкое применение в решении геометрических задач^[15]:

Доказательство теорем

Теорема Фалеса о пропорциональных отрезках доказывается с использованием первого признака подобия.

Теорема о биссектрисе треугольника (биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам) доказывается с помощью подобия треугольников.

Теорема Чевы (прямые, проведённые из вершин треугольника к противоположным сторонам, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда произведение отношений отрезков, на которые эти прямые делят стороны, равно единице) доказывается с использованием теоремы о пропорциональных отрезках в треугольнике.

Теорема Менелая (три точки, лежащие на сторонах треугольника или их продолжениях, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда произведение отношений отрезков, на которые они делят стороны, равно −1) доказывается с помощью обобщённой теоремы Фалеса.

Решение задач на вычисление

Нахождение высоты недоступного объекта (дерева, здания) с помощью подобия треугольников. Определение расстояния до недоступной точки методом подобия. Решение задач на построение с использованием гомотетии (преобразования подобия).

Метрические соотношения

В прямоугольном треугольнике подобие позволяет вывести важные метрические соотношения между сторонами, высотой и проекциями катетов, которые широко используются при решении задач.

↑ Атанасян Л. С., Денисова Н. С., Силаев Е. В. Курс элементарной геометрии. Ч. 1: Планиметрия. — М. ; Тула: Сантакс-пресс, 1997. — С. 184.
↑ Каган В. Ф. Основания геометрии : учение об обосновании геометрии в ходе его исторического развития / при редакционном участии Я. С. Дубнова. — М. ; Л.: Гос. изд-во технико-теоретической лит., 1949. — С. 81.
↑ Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия: Учеб. пособие. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. — С. 324. — ISBN 5-02-014336-7.
↑ Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Шестаков С. А., Юдина И. И. Планиметрия. Пособие для углубленного изучения математики. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2017. — С. 219. — ISBN 978-5-9221-1743-2.
↑ Атанасян Л. С., Денисова Н. С., Силаев Е. В. Курс элементарной геометрии. Ч. 1: Планиметрия. — М. ; Тула: Сантакс-пресс, 1997. — С. 184—185.
↑ Атанасян Л. С., Денисова Н. С., Силаев Е. В. Курс элементарной геометрии. Ч. 1: Планиметрия. — М. ; Тула: Сантакс-пресс, 1997. — С. 185—186.
↑ Атанасян Л. С., Денисова Н. С., Силаев Е. В. Курс элементарной геометрии. Ч. 1: Планиметрия. — М. ; Тула: Сантакс-пресс, 1997. — С. 186—187.
↑ Атанасян Л. С., Денисова Н. С., Силаев Е. В. Курс элементарной геометрии. Ч. 1: Планиметрия. — М. ; Тула: Сантакс-пресс, 1997. — С. 188—189.
↑ Ельчанинова Г. Г., Мельников Р. А. Основные геометрические объекты: треугольник. Методика изучения и решения задач: учебно-методическое пособие. — Елец: Елецкий государственный университет им. И. А. Бунина, 2018. — С. 36—37.
↑ Ельчанинова Г. Г., Мельников Р. А. Основные геометрические объекты: треугольник. Методика изучения и решения задач: учебно-методическое пособие. — Елец: Елецкий государственный университет им. И. А. Бунина, 2018. — С. 60—64.
↑ Егоров А. А. Ортоцентрический треугольник // Квант : журнал. — 2001. — № 4. — С. 36—38.
↑ Куланин Е. Д. Об описанных окружностях чевианных и педальных треугольников и некоторых кривых, связанных с треугольником // Математическое просвещение. Сер. 3. Вып. 9 : сборник. — М.: МЦНМО, 2005. — С. 164—182.
↑ Акопян А. В., Заславский А. А. Геометрические свойства кривых второго порядка. — М.: МЦНМО, 2007. — С. 41—42. — ISBN 978-5-94057-300-5.
↑ Зетель С. И. Новая геометрия треугольника / Ред. Г. С. Уманский. — М.: Учпедгиз, 1961. — С. 78—99. — 45 000 экз.
↑ Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Шестаков С. А., Юдина И. И. Планиметрия. Пособие для углубленного изучения математики. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2017. — С. 230—259. — ISBN 978-5-9221-1743-2.

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 7—9 классы. — 12-е изд.. — М.: Просвещение, 2002. — 384 с.
Атанасян Л. С., Денисова Н. С., Силаев Е. В. Курс элементарной геометрии. Ч. 1: Планиметрия. — М. ; Тула: Сантакс-пресс, 1997. — 303 с.
Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Шестаков С. А., Юдина И. И. Планиметрия. Пособие для углублённого изучения математики. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2017. — 488 с. — ISBN 978-5-9221-1743-2.
Гордин Р. К. Теоремы и задачи школьной геометрии. Базовый и профильный уровни / Р. К. Гордин ; чертежи М. Ю. Панова и др.. — 3-е изд., стереотип.. — М.: МЦНМО, 2018. — 96 с. — ISBN 978-5-4439-2681-0.
Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. — 2-е изд.. — М.: Учпедгиз, 1962. — 153 с.
Г. Коксетер, С. Грейцер. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — 224 с. — (Библиотека математического кружка).
Погорелов А. В. Геометрия. 7—9 классы. — М.: Просвещение, 2014.
Понарин Я. П. Элементарная геометрия: В 3 т. Т. 3: Треугольники и тетраэдры. — М.: МЦНМО, 2009. — 192 с. — ISBN 978-5-94057-400-2.

[1] Атанасян Л. С., Денисова Н. С., Силаев Е. В. Курс элементарной геометрии. Ч. 1: Планиметрия. — М. ; Тула: Сантакс-пресс, 1997. — С. 184.

[2] Каган В. Ф. Основания геометрии : учение об обосновании геометрии в ходе его исторического развития / при редакционном участии Я. С. Дубнова. — М. ; Л.: Гос. изд-во технико-теоретической лит., 1949. — С. 81.

[3] Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия: Учеб. пособие. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. — С. 324. — ISBN 5-02-014336-7.

[4] Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Шестаков С. А., Юдина И. И. Планиметрия. Пособие для углубленного изучения математики. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2017. — С. 219. — ISBN 978-5-9221-1743-2.

[5] Атанасян Л. С., Денисова Н. С., Силаев Е. В. Курс элементарной геометрии. Ч. 1: Планиметрия. — М. ; Тула: Сантакс-пресс, 1997. — С. 184—185.

[6] Атанасян Л. С., Денисова Н. С., Силаев Е. В. Курс элементарной геометрии. Ч. 1: Планиметрия. — М. ; Тула: Сантакс-пресс, 1997. — С. 185—186.

[7] Атанасян Л. С., Денисова Н. С., Силаев Е. В. Курс элементарной геометрии. Ч. 1: Планиметрия. — М. ; Тула: Сантакс-пресс, 1997. — С. 186—187.

[8] Атанасян Л. С., Денисова Н. С., Силаев Е. В. Курс элементарной геометрии. Ч. 1: Планиметрия. — М. ; Тула: Сантакс-пресс, 1997. — С. 188—189.

[9] Ельчанинова Г. Г., Мельников Р. А. Основные геометрические объекты: треугольник. Методика изучения и решения задач: учебно-методическое пособие. — Елец: Елецкий государственный университет им. И. А. Бунина, 2018. — С. 36—37.

[10] Ельчанинова Г. Г., Мельников Р. А. Основные геометрические объекты: треугольник. Методика изучения и решения задач: учебно-методическое пособие. — Елец: Елецкий государственный университет им. И. А. Бунина, 2018. — С. 60—64.

[11] Егоров А. А. Ортоцентрический треугольник // Квант : журнал. — 2001. — № 4. — С. 36—38.

[12] Куланин Е. Д. Об описанных окружностях чевианных и педальных треугольников и некоторых кривых, связанных с треугольником // Математическое просвещение. Сер. 3. Вып. 9 : сборник. — М.: МЦНМО, 2005. — С. 164—182.

[13] Акопян А. В., Заславский А. А. Геометрические свойства кривых второго порядка. — М.: МЦНМО, 2007. — С. 41—42. — ISBN 978-5-94057-300-5.

[14] Зетель С. И. Новая геометрия треугольника / Ред. Г. С. Уманский. — М.: Учпедгиз, 1961. — С. 78—99. — 45 000 экз.

[15] Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Шестаков С. А., Юдина И. И. Планиметрия. Пособие для углубленного изучения математики. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2017. — С. 230—259. — ISBN 978-5-9221-1743-2.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

Треугольник
Виды треугольников	Прямоугольный Равнобедренный Равносторонний Равнобедренный прямоугольный
Замечательные линии в треугольнике	Медиана Высота Биссектриса Серединный перпендикуляр Средняя линия Описанная и вписанная окружности Прямая Симсона Прямая Эйлера Симедиана Чевиана
Замечательные точки треугольника	Ортоцентр Центроид Инцентр Точка Брокара Точка Вектена Точка Жергонна Точка Лемуана Точка Микеля Точка Нагеля Точки Наполеона Точки Торричелли Центр окружности девяти точек Центр Шпикера Энциклопедия центров треугольника
Основные теоремы	Неравенство треугольника Признаки подобия треугольников Решение треугольников Теорема о внешнем угле треугольника Теорема о сумме углов треугольника Теорема Пифагора Теорема косинусов Теорема синусов Теорема о проекциях Формула Герона
Дополнительные теоремы	Теорема Ван-Обеля Теорема Менелая Теорема Ройшле (Теркема) Теорема Стюарта Теорема тангенсов Теорема котангенсов Теорема Чевы Формулы Мольвейде
Обобщения	Сферический треугольник Гиперболический треугольник Симплекс

Признаки подобия треугольников

История развития понятия подобия

Определения