Линейная операция

Сложение векторов и умножение вектора на число

Лине́йная опера́ция над векторами — операция сложения векторов либо операция умножения вектора на число. Иногда к этим двум операциям добавляют операцию вычитания векторов.

Определение

Линейные операции над векторами — операции сложения векторов, вычитания векторов и умножения вектора на скаляр. Эти операции называются линейными потому, что если над векторами $\mathbf {a}$, $\mathbf {b}$, $\mathbf {c}$ и $\mathbf {d}$ выполнить конечное количество произвольных действий сложения, вычитания и умножения на скаляр, то в результате получится новый вектор — линейная комбинация исходных векторов

$\alpha \mathbf {a} +\beta \mathbf {b} +\gamma \mathbf {c} +\delta \mathbf {d}$,

где $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ — скаляры (действительные числа).

Сложение векторов

Основная статья: Сложение векторов

Треугольник сложения произвольных векторов: сумма векторов c = a + b

Сложе́ние векторо́в, или геометри́ческое сложе́ние векторо́в (англ. addition of vectors) — операция, ставящая в соответствие двум векторам третий вектор — сумму векторов. При этом сумма $\mathbf {a} +\mathbf {b}$ двух векторов $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ — это третий вектор $\mathbf {c} =\mathbf {a} +\mathbf {b}$, проведённый из начала одного вектора к концу второго, причём конец первого вектора совпадает с началом второго (правило треугольника). Сумма векторов геометрически строится с помощью правил — алгоритмов построения вектора суммы по векторам-слагаемым (см. рисунок с треугольником сложения векторов справа).

Три вектора $\mathbf {a}$, $\mathbf {b}$ и $\mathbf {c} =\mathbf {a} +\mathbf {b}$ всегда компланарны, то есть параллельны одной плоскости.

Векторы, которые складываются, называются слагаемыми векторами, а результат сложения — геометрической суммой, или результирующим вектором.

Результат сложения векторов не зависит от расположения первого слагаемого, при его изменении треугольник сложения будет параллельно перенесён.

Существуют два действия, обратных сложению векторов:

• геометрическое вычитание векторов;
• геометрическое разложение вектора.

Законы сложения

Операция сложения в математике в векторной алгебре векторов как геометрическое построение по правилу многоугольника возникла как обобщение операции вычисления равнодействующей силы в механике. Правомерность названия «сложение» заключается также и в том, что операция сложения векторов подчиняется тем же двум законам, что и арифметическая операция сложения чисел, а именно:

• сочетательный закон (ассоциативность);
• переместительный закон (коммутативность).

Эти законы и аналогичные законы для сложения чисел записываются одинаково. Что не только важно, но и удобно, поскольку позволяет работать с векторными равенствами, не переучиваясь, так же, как с числовыми равенствами. Эта аналогия распространяется и на вычитание векторов, а также действия с равенствами векторов.

Вычитание векторов

Основная статья: Вычитание векторов

Треугольник вычитания произвольных векторов: разность векторов c = a — b

Вычита́ние векторо́в, или геометри́ческое вычита́ние векторо́в (англ. subtraction of vectors) — операция, обратная сложению, ставящая в соответствие двум векторам третий вектор — разность векторов, другими словами, по сумме векторов и одному слагаемому определяется второе слагаемое. При этом разность $\mathbf {a} -\mathbf {b}$ двух векторов $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ — это третий вектор $\mathbf {c} =\mathbf {a} -\mathbf {b}$ такой, что $\mathbf {c} +\mathbf {b} =\mathbf {a}$ (см. рисунок справа с треугольником вычитания векторов). Первый вектор разности называется уменьшаемым, а второй — вычитаемым.

Умножение вектора на число

Основная статья: Умножение вектора на число

Умножение вектора на положительные (синие) и отрицательные (красные) числа

Умноже́ние ве́ктора на число́ (англ. scalar multiplication of a vector) — операция, ставящая в соответствие вектору и числу другой коллинеарный вектор — произведение вектора на это число. При этом произведение вектора и числа в случае ненулевых вектора и числа — новый вектор, у которого:

• модуль равен произведению модуля исходного вектора на абсолютную величину числа;
• направление, совпадающее с направлением исходного вектора, если число положительно, и противоположное, если число отрицательно (см. рисунок справа).

Обозначение произведения вектора $\mathbf {a}$ и скаляра $\lambda$ следующее:

$\mathbf {a} \lambda$ или $\lambda \mathbf {a} .$

В итоге получаем:

$|\lambda \mathbf {a} |=|\mathbf {a} \lambda |=|\lambda ||\mathbf {a} |.$

Произведение вектора и числа равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю:

$\lambda \mathbf {0} =0\mathbf {a} =\mathbf {0} .$

Существуют два действия, обратных умножению вектора на число:

• деление вектора на число;
• деление вектора на вектор.

Законы умножения на скаляр

Три закона умножения вектора на скаляр те же самые, что и законы умножения чисел:

• переместительности (коммутативность):

$\lambda \mathbf {a} =\mathbf {a} \lambda$;

• сочетательности (ассоциативность):

$\lambda (\mu \mathbf {a} )=(\lambda \mu )\mathbf {a}$;

• распределительности (дистрибутивность):

$(\mathbf {a} +\mathbf {b} )\lambda =\mathbf {a} \lambda +\mathbf {b} \lambda$;

$(\lambda +\mu )\mathbf {a} =\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {a}$.

Разложение вектора

Геометрическое вычитание векторов — операция, обратная геометрическому сложению векторов. Кроме неё, обратной операцией к сложению векторов является геометрическое разложение вектора, или просто разложение вектора — операция представления данного вектора в виде замыкающей нескольких векторов. Геометрически строится ломаная линия, которую замыкает данный вектор. Но так эту операцию определить нельзя, и чтобы её определить, нужно наложить на геометрические слагаемые определённые условия.

Применение линейных операций

Применение линейных операций — использование линейных операций над векторами:

• сложение векторов;
• вычитание векторов;
• умножение вектора на число, —

для решения математических и физических задач.

Коллинеарность и компланарность точек

Коллинеарность трёх точек

Задача 1. Три точки $A$, $B$ и $C$, где

${\overrightarrow {OA}}=\mathbf {a}$, ${\overrightarrow {OB}}=\mathbf {b}$, ${\overrightarrow {OC}}=\mathbf {c}$,

$\mathbf {c} =\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b}$,

тогда и только тогда коллинеарны, то есть лежат на одной прямой, когда (см. рисунок справа)

$\lambda +\mu =1$.

Исключение: коллинеарность векторов $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$, когда три точки $A$, $B$ и $C$ всегда лежат на одной прямой при любых числах $\lambda$ и $\mu$.

Решение

1. Необходимость. Пусть три точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой (см. рисунок справа вверху). Тогда векторы ${\overrightarrow {AB}}=\mathbf {b} -\mathbf {a}$ и ${\overrightarrow {AC}}=\mathbf {c} -\mathbf {a}$ коллинеарны, то есть

$\mathbf {c} -\mathbf {a} =\mu (\mathbf {b} -\mathbf {a} )$,

следовательно,

$\mathbf {c} =\mathbf {a} +\mu (\mathbf {b} -\mathbf {a} )=(1-\mu )\mathbf {a} +\mu \mathbf {b}$,

но разложение вектора $\mathbf {c}$ по векторам $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ единственно при их неколлинеарности, поэтому окончательно получаем:

$\lambda =1-\mu$, $\quad \lambda +\mu =1$.

2. Достаточность. Обратно, пусть $\lambda +\mu =1$, тогда

$\mathbf {c} -\mathbf {a} =\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} -\mathbf {a} =\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} -(\lambda +\mu )\mathbf {a} =\mu (\mathbf {b} -\mathbf {a} )$,

поэтому векторы ${\overrightarrow {AC}}=\mathbf {c} -\mathbf {a}$ и ${\overrightarrow {AB}}=\mathbf {b} -\mathbf {a}$ коллинеарны и отложены от одной и той же точки $A$, следовательно, три точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой.

Замечание. Уравнение $\mathbf {c} =\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b}$ с ограничением $\lambda +\mu =1$ — относительно полюса $O$ векторное уравнение прямой, которая проходит через две заданные точки $A$ и $B$, $\mathbf {a} ={\overrightarrow {OA}}$, $\mathbf {b} ={\overrightarrow {OB}}$, $\mathbf {c} ={\overrightarrow {OC}}$. При этом значения коэффициентов $\lambda$ и $\mu$ вычисляются как частные векторов:

$\lambda ={\frac {\overrightarrow {BC}}{\overrightarrow {BA}}};$ $\quad \mu ={\frac {\overrightarrow {AC}}{\overrightarrow {AB}}}.$

Используя полученные результаты, найдем такой радиус-вектор ${\overrightarrow {OC}}=\mathbf {c}$, который делит отрезок $AB$ в отношении ${\frac {x}{y}}$. Итак, имеем, учитывая, что в данном случае коэффициенты $\lambda ,\mu \geqslant 0$:

${\frac {AC}{CB}}={\frac {x}{y}}$,

${\frac {AC}{AB}}={\frac {AC}{AC+CB}}={\frac {x}{x+y}}=\mu$,

$\lambda =1-\mu ={\frac {y}{x+y}}$,

$\mathbf {c} =\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} ={\frac {y\mathbf {a} +x\mathbf {b} }{x+y}}$.

Задача 2. Четыре точки $A$, $B$, $C$ и $D$, где

${\overrightarrow {OA}}=\mathbf {a}$, ${\overrightarrow {OB}}=\mathbf {b}$, ${\overrightarrow {OC}}=\mathbf {c}$, ${\overrightarrow {OD}}=\mathbf {d}$,

$\mathbf {d} =\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} +\mu \mathbf {c}$,

тогда и только тогда компланарны, то есть лежат в одной плоскости, когда (см. рисунок справа)

$\lambda +\mu +\nu =1$.

Исключение: компланарность векторов $\mathbf {a}$, $\mathbf {b}$ и $\mathbf {c}$, когда четыре точки $A$, $B$, $C$ и $D$ всегда лежат в одной плоскости при любых числах $\lambda$, $\mu$ и $\nu$.

Решение

1. Необходимость. Пусть четыре точки $A$, $B$, $C$ и $D$ лежат в одной плоскости. Тогда векторы ${\overrightarrow {AB}}=\mathbf {b} -\mathbf {a}$, ${\overrightarrow {AC}}=\mathbf {c} -\mathbf {a}$ и ${\overrightarrow {AF}}=\mathbf {d} -\mathbf {a}$ компланарны, то есть

$\mathbf {d} -\mathbf {a} =\mu (\mathbf {b} -\mathbf {a} )+\nu (\mathbf {c} -\mathbf {a} )$,

следовательно,

$\mathbf {d} =\mathbf {a} +\mu (\mathbf {b} -\mathbf {a} )+\nu (\mathbf {c} -\mathbf {a} )=(1-\mu -\nu )\mathbf {a} +\mu \mathbf {b} +\nu \mathbf {c}$,

но разложение вектора $\mathbf {d}$ по векторам $\mathbf {a}$, $\mathbf {b}$ и $\mathbf {c}$ единственно при их некомпланарности, поэтому окончательно получаем:

$\lambda =1-\mu -\nu$, $\quad \lambda +\mu +\nu =1$.

2. Достаточность. Обратно, пусть $\lambda +\mu +\nu =1$, тогда

$\mathbf {d} -\mathbf {a} =\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} +\nu \mathbf {c} -\mathbf {a} =\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} +\nu \mathbf {c} -(\lambda +\mu +\nu )\mathbf {a} =\mu (\mathbf {b} -\mathbf {a} )+\nu (\mathbf {c} -\mathbf {a} )$,

поэтому векторы ${\overrightarrow {AD}}=\mathbf {d} -\mathbf {a}$, ${\overrightarrow {AB}}=\mathbf {b} -\mathbf {a}$ и ${\overrightarrow {AC}}=\mathbf {c} -\mathbf {a}$ компланарны и отложены от одной и той же точки $A$, следовательно, четыре точки $A$, $B$, $C$ и $D$ лежат в одной плоскости.

Замечание. Уравнение $\mathbf {d} =\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} +\mu \mathbf {c}$ с ограничением $\lambda +\mu +\nu =1$ — относительно полюса $O$ векторное уравнение плоскости, которая проходит через три заданные точки $A$, $B$ и $C$, $\mathbf {a} ={\overrightarrow {OA}}$, $\mathbf {b} ={\overrightarrow {OB}}$, $\mathbf {c} ={\overrightarrow {OC}}$, $\mathbf {d} ={\overrightarrow {OD}}$.

Построение треугольника

Треугольник из векторов

Здесь приведены две задачи на построение треугольника.

Задача 3. Найти условие, которому отвечают три вектора, образующие треугольник (см. рисунок справа).

Решение. Рисунок справа показывает, что искомое условие для трёх векторов следующее:

$\mathbf {a} +\mathbf {b} +\mathbf {c} =0$,

потому что тогда и только тогда ломаная линия $BCAB$ будет замкнута и получится треугольник.

Треугольник из векторов и медиана

Задача 4. Доказать, что всегда можно построить треугольник с тремя сторонами, равными и параллельными трём медианам данного треугольника $ABC$ (см. рисунок справа).

Решение. Пусть $A'$, $B'$ и $C'$ — середины сторон треугольника соответственно $BC$, $CA$ и $AB$. Разложим векторы ${\overrightarrow {AA'}}$, ${\overrightarrow {BB'}}$ и ${\overrightarrow {CC'}}$, которые представляют медианы треугольника, по векторам $\mathbf {a}$, $\mathbf {b}$ и $\mathbf {c}$. Разложим медиану ${\overrightarrow {AA'}}$:

${\overrightarrow {BA'}}={\frac {1}{2}}{\overrightarrow {BC}}={\frac {1}{2}}\mathbf {a}$,

${\overrightarrow {AA'}}={\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BA'}}=\mathbf {c} +{\frac {1}{2}}\mathbf {a}$,

аналогично

${\overrightarrow {BB'}}=\mathbf {a} +{\frac {1}{2}}\mathbf {b}$,

${\overrightarrow {CC'}}=\mathbf {b} +{\frac {1}{2}}\mathbf {c}$,

и проверяем условие того, что векторы ${\overrightarrow {AA'}}$, ${\overrightarrow {BB'}}$ и ${\overrightarrow {CC'}}$ составляют треугольник — условие задачи 3:

$\mathbf {a} +\mathbf {b} +\mathbf {c} =0$,

${\overrightarrow {AA'}}+{\overrightarrow {BB'}}+{\overrightarrow {CC'}}=\mathbf {c} +{\frac {1}{2}}\mathbf {a} +\mathbf {a} +{\frac {1}{2}}\mathbf {b} +\mathbf {b} +{\frac {1}{2}}\mathbf {c} ={\frac {3}{2}}(\mathbf {a} +\mathbf {b} +\mathbf {c} )=0$.

Середина отрезка

Задача 5. По двум радиус-векторам ${\overrightarrow {OA}}=\mathbf {a}$ и ${\overrightarrow {OB}}=\mathbf {b}$ концов $A$ и $B$ отрезка $AB$ найти радиус-вектор ${\overrightarrow {OC}}=\mathbf {c}$ середины $C$ этого отрезка.

Решение. Вычислим искомый радиус-вектор:

$\mathbf {c} ={\overrightarrow {OC}}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {AC}}={\overrightarrow {OA}}+{\frac {1}{2}}{\overrightarrow {AB}}=\mathbf {a} +{\frac {1}{2}}(\mathbf {b} -\mathbf {a} )={\frac {1}{2}}(\mathbf {a} +\mathbf {b} ).$

Задача 6. Доказать, что если две диагонали произвольного четырёхугольника делят друг друга пополам, то такой четырёхугольник — параллелограмм.

Решение. Пусть $\mathbf {a}$, $\mathbf {b}$, $\mathbf {c}$ и $\mathbf {d}$ — радиус-векторы четырёх последовательных вершин четырёхугольника $ABCD$. Тогда

$\mathbf {e'} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {a} +\mathbf {c} )$ —

радиус-вектор середины одной диагонали, а

$\mathbf {e''} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {b} +\mathbf {d} )$ —

радиус-вектор середины другой диагонали. Поскольку диагонали делят друг друга пополам, то их середины совпадают:

${\frac {1}{2}}(\mathbf {a} +\mathbf {c} )={\frac {1}{2}}(\mathbf {b} +\mathbf {d} )$,

$\mathbf {b} -\mathbf {a} =\mathbf {c} -\mathbf {d}$,

другими словами, вектор $\mathbf {b} -\mathbf {a}$ равен и параллелен вектору $\mathbf {c} -\mathbf {d}$. Поскольку эти векторы представляют противоположные стороны четырёхугольника $ABCD$, то $ABCD$ — параллелограмм.

Пересечение трёх прямых в одной точке

Задача 7. Доказать, что медианы произвольного треугольника пересекаются в одной точке и найти радиус-вектор этой точки.

Решение

Пусть вершины произвольного треугольника $A$, $B$ и $C$ имеют радиус-векторы соответственно $\mathbf {r} _{1}={\overrightarrow {OA}}$, $\mathbf {r} _{2}={\overrightarrow {OB}}$ и $\mathbf {r} _{3}={\overrightarrow {OC}}$. Обозначим через $A'$, $B'$ и $C'$ середины сторон соответственно $BC$, $CA$ и $AB$ (см. рисунок к задаче 4). Тогда, по задаче 5, радиус-вектор

$\mathbf {r} '={\overrightarrow {OA'}}={\frac {1}{2}}(\mathbf {r} _{2}+\mathbf {r} _{2}),$

следовательно, по задаче задаче 1, уравнение прямой, проходящей серз две точки $A$ и $A'$, то есть уравнение медианы $AA'$,

$\mathbf {r} =\lambda \mathbf {r} _{1}+(1-\lambda ){\frac {1}{2}}(\mathbf {r} _{1}+\mathbf {r} _{3})=\lambda \mathbf {r} _{1}+{\frac {1-\lambda }{2}}(\mathbf {r} _{2}+\mathbf {r} _{3}),$

где $\mathbf {r}$ — произвольный радиус-вектор. Аналогично уравнение медианы $BB'$ следующее:

$\mathbf {r} =\mu \mathbf {r} _{2}+{\frac {1-\mu }{2}}(\mathbf {r} _{3}+\mathbf {r} _{1}).$

Приравняем оба выражения и получим уравнение точки пересечения медиан $AA'$ и $BB'$:

$\lambda \mathbf {r} _{1}+{\frac {1-\lambda }{2}}(\mathbf {r} _{2}+\mathbf {r} _{3})=\mu \mathbf {r} _{2}+{\frac {1-\mu }{2}}(\mathbf {r} _{3}+\mathbf {r} _{1}).$

Теперь приравняем коэффициенты при $\mathbf {r} _{1}$, $\mathbf {r} _{2}$ и $\mathbf {r} _{3}$:

$\lambda ={\frac {1-\mu }{2}},\quad \mu ={\frac {1-\lambda }{2}},\quad {\frac {1-\lambda }{2}}={\frac {1-\mu }{2}},$

откуда

$\lambda =\mu ={\frac {1}{3}},$

и уравнение точки пересечения медиан $AA'$ и $BB'$

$\mathbf {r} =\lambda \mathbf {r} _{1}+{\frac {1-\lambda }{2}}(\mathbf {r} _{2}+\mathbf {r} _{3})={\frac {1}{3}}(\mathbf {r} _{1}+\mathbf {r} _{2}+\mathbf {r} _{3}).$

При определении точки пересечения медиан $BB'$ и $CC'$ будет получен тот же результат по причине симметрии полученного выражения, поэтому третья медиана проходит через ту же точку.

Задача 8. Доказать, что биссектрисы произвольного треугольника пересекаются в одной точке и найти радиус-вектор этой точки.

Решение

Треугольник из векторов и биссектрисы

Пусть биссектрисы $AA'$ и $BB'$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $P$ (см. рисунок справа), и пусть

$\mathbf {a} _{1}={\frac {\mathbf {a} }{|\mathbf {a} |}},\quad \mathbf {b} _{1}={\frac {\mathbf {b} }{|\mathbf {b} |}},\quad \mathbf {c} _{1}={\frac {\mathbf {c} }{|\mathbf {c} |}}$ —

орты векторов

$\mathbf {a} ={\overrightarrow {BC}},\quad \mathbf {b} ={\overrightarrow {CA}},\quad \mathbf {c} ={\overrightarrow {AB}}$

соответственно. Отложим единичные векторы ${\overrightarrow {AK}}=\mathbf {c} _{1}$ и ${\overrightarrow {AL}}=\mathbf {b} _{1}$ на сторонах $AB$ и $AC$ соответственно и построим на этих ортах ромб $AKML$ (см. рисунок справа).

Диагональ $AM$ этого ромба — биссектриса угла $A$. Вектор ${\overrightarrow {AP}}$, направленный по биссектрисе угла $A$, коллинеарен вектору $\mathbf {c} _{1}+(-\mathbf {b} _{1})$:

${\overrightarrow {AP}}=x(\mathbf {c} _{1}-\mathbf {b} _{1})=x\left({\frac {\mathbf {c} }{|\mathbf {c} |}}-{\frac {\mathbf {b} }{|\mathbf {b} |}}\right),$

где $x$ пока не определён.

Либо таким же способом, то есть аналогично, либо заменой символов $a$ на $b$, $b$ на $c$, $c$ на $a$, $x$ на $y$, то есть циклической перестановкой, получается уравнение для вектора ${\overrightarrow {BP}}$:

${\overrightarrow {BP}}=y(\mathbf {a} _{1}-\mathbf {c} _{1})=y\left({\frac {\mathbf {a} }{|\mathbf {a} |}}-{\frac {\mathbf {c} }{|\mathbf {c} |}}\right).$

Составим уравнение для нахождения $x$ и $y$:

${\overrightarrow {AP}}={\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BP}},$

$x\left({\frac {\mathbf {c} }{|\mathbf {c} |}}-{\frac {\mathbf {b} }{|\mathbf {b} |}}\right)=\mathbf {c} +y\left({\frac {\mathbf {a} }{|\mathbf {a} |}}-{\frac {\mathbf {c} }{|\mathbf {c} |}}\right).$

В последнем уравнении нельзя приравнять коэффициенты при $\mathbf {a}$, $\mathbf {b}$ и $\mathbf {c}$, поскольку эти векторы компланарны, то есть

$\mathbf {a} +\mathbf {b} +\mathbf {c} =\mathbf {0}$,

откуда выразим вектор $\mathbf {a}$:

$\mathbf {a} =-\mathbf {b} -\mathbf {c} =\mathbf {0}$.

Теперь можно сократить количество векторов в уравнении до двух, исключив вектор $\mathbf {a}$:

$x\left({\frac {\mathbf {c} }{|\mathbf {c} |}}-{\frac {\mathbf {b} }{|\mathbf {b} |}}\right)=\mathbf {c} +y\left(-{\frac {\mathbf {b} }{|\mathbf {a} |}}-{\frac {\mathbf {c} }{|\mathbf {a} |}}-{\frac {\mathbf {c} }{|\mathbf {c} |}}\right).$

Поскольку разложение вектора по двум не коллинеарным векторам единственно, приравняем в последнем уравнении по отдельности коэффициенты при векторах $\mathbf {b}$ и $\mathbf {c}$:

$-{\frac {x}{|\mathbf {b} |}}=-{\frac {y}{|\mathbf {a} |}},$

${\frac {x}{|\mathbf {c} |}}=1-{\frac {y}{|\mathbf {a} |}}-{\frac {y}{|\mathbf {c} |}},$

следовательно,

$y={\frac {|\mathbf {a} ||\mathbf {c} |}{|\mathbf {a} |+|\mathbf {b} |+|\mathbf {c} |}},\quad x={\frac {|\mathbf {b} ||\mathbf {c} |}{|\mathbf {a} |+|\mathbf {b} |+|\mathbf {c} |}},$

откуда

${\overrightarrow {AP}}={\frac {|\mathbf {b} |\mathbf {c} -|\mathbf {c} |\mathbf {b} }{|\mathbf {a} |+|\mathbf {b} |+|\mathbf {c} |}},\quad {\overrightarrow {BP}}={\frac {|\mathbf {c} |\mathbf {a} -|\mathbf {a} |\mathbf {c} }{|\mathbf {a} |+|\mathbf {b} |+|\mathbf {c} |}}.$

Аналогично, если $P'$ — точка пересечения биссектрис $BB'$ и $CC'$, то тогда

${\overrightarrow {BP'}}={\frac {|\mathbf {c} |\mathbf {a} -|\mathbf {a} |\mathbf {c} }{|\mathbf {a} |+|\mathbf {b} |+|\mathbf {c} |}},\quad {\overrightarrow {CP'}}={\frac {|\mathbf {a} |\mathbf {b} -|\mathbf {b} |\mathbf {a} }{|\mathbf {a} |+|\mathbf {b} |+|\mathbf {c} |}},$

следовательно, ${\overrightarrow {BP}}={\overrightarrow {BP'}}$, то есть точки $P$ и $P'$ совпадают и биссектрисы пересекаются в одной точке.

Пусть теперь $\mathbf {r} _{1}={\overrightarrow {OA}}$, $\mathbf {r} _{2}={\overrightarrow {OB}}$ и $\mathbf {r} _{3}={\overrightarrow {OC}}$ — радиус-векторы вершин соответственно $A$, $B$ и $C$ треугольника $ABC$, тогда радиус-вектор $\mathbf {r} ={\overrightarrow {OP}}$ точки пересечения биссектрис следующий:

$\mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}+{\overrightarrow {AP}}={\frac {(|\mathbf {a} |+|\mathbf {b} |+|\mathbf {c} |)\mathbf {r} _{1}}{|\mathbf {a} |+|\mathbf {b} |+|\mathbf {c} |}}+{\frac {|\mathbf {b} |(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})-|\mathbf {c} |(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{3})}{|\mathbf {a} |+|\mathbf {b} |+|\mathbf {c} |}}=$

$={\frac {|\mathbf {a} |\mathbf {r} _{1}+|\mathbf {b} |\mathbf {r} _{2}+|\mathbf {c} |\mathbf {r} _{3}}{|\mathbf {a} |+|\mathbf {b} |+|\mathbf {c} |}}.$

Задача 9. В треугольнике $ABC$ точки $A'$, $B'$ и $C'$ лежат произвольно на сторонах $BC$, $CA$ и $AB$ соответственно. Найти соотношение между шестью отрезками $AC'$, $C'B$, $BA'$, $A'C$, $CB'$ и $B'C$, при которых прямые $AA'$, $BB'$ и $CC'$ пересекаются в одной точке $P$.

Решение

Треугольник и три прямые, пересекающиеся в одной точке

Поместим точку $O$ вне плоскости треугольника $ABC$, и пусть $\mathbf {r} _{1}={\overrightarrow {OA}}$, $\mathbf {r} _{2}={\overrightarrow {OB}}$ и $\mathbf {r} _{3}={\overrightarrow {OC}}$ — радиус-векторы соответствующих вершин треугольника, а $\mathbf {r} ={\overrightarrow {P}}$ — радиус-вектор точки $P$ пересечения трёх прямых $AA'$, $BB'$ и $CC'$ (см. рисунок справа). Разложим вектор $\mathbf {r}$ по трём некомпланарным векторам $\mathbf {r} _{1}$, $\mathbf {r} _{2}$ и $\mathbf {r} _{3}$:

$\mathbf {r} =\alpha _{1}\mathbf {r} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {r} _{2}+\alpha _{3}\mathbf {r} _{3}$,

причём, по задаче 2,

$\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}=1$.

Примечания

Источники

• Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии, пополненные необходимыми сведениями из алгебры с приложением собрания задач, снабжённых решениями, составленного А. С, Пархоменко. 2-е изд. М.: Наука, 1968. 912 с., ил.
• Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И. Геометрия. 7—9 классы : учебник для общеобразовательных организаций. 2-е изд. М.: Просвещение, 2014. 383 с., ил.
• Болтянский В. Г., Яглом И. М. Векторы и их применения в геометрии // Энциклопедия элементарной математики, книга четвёртая — геометрия / Гл. ред. П. С. Александров, А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин. Ред. книги 4: В. Г. Болтянский, И. М. Яглом. М.: Физматгиз, 1963. 568 с., ил. С. 291—381.
• Векторное исчисление // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 109.
• Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. Изд-е 12-е, стереотип. М.: Наука, 1977. 871 с., ил.
• Вычитание // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 1 А—Г. М.: «Советская Энциклопедия», 1977. 1152 стб., ил. Стб. 828.
• Вычитание // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 135.
• Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. Изд-е 9-е. М.: Наука, 1965. 427 с., ил.
• Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления. М.: Наука, 1975. 336 с., ил.
• Линейные операции // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 320.
• Линейные операции над векторами // Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Математический словарь высшей школы: Общая часть / Под. ред. Ю. С. Богданова. Минск: Высшая школа, 1984. 527 с., ил. С. 186.
• Пытьев Ю. П. Векторная алгебра // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 1 А—Г. М.: «Советская Энциклопедия», 1977. 1152 стб., ил. Стб. 632—636.
• Разность векторов // Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Математический словарь высшей школы: Общая часть / Под. ред. Ю. С. Богданова. Минск: Высшая школа, 1984. 527 с., ил. С. 369.
• Сложение векторов // Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Математический словарь высшей школы: Общая часть / Под. ред. Ю. С. Богданова. Минск: Высшая школа, 1984. 527 с., ил. С. 412.
• Умножение вектора на число // Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Математический словарь высшей школы: Общая часть / Под. ред. Ю. С. Богданова. Минск: Высшая школа, 1984. 527 с., ил. С. 462.