Линейная операция над векторами

1. Необходимость. Пусть три точки ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ лежат на одной прямой (см. рисунок справа вверху). Тогда векторы ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}=\mathbf {b} -\mathbf {a} }$ и ${\displaystyle {\overrightarrow {AC}}=\mathbf {c} -\mathbf {a} }$ коллинеарны, то есть

${\displaystyle \mathbf {c} -\mathbf {a} =\mu (\mathbf {b} -\mathbf {a} )}$,

следовательно,

${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} +\mu (\mathbf {b} -\mathbf {a} )=(1-\mu )\mathbf {a} +\mu \mathbf {b} }$,

но разложение вектора ${\displaystyle \mathbf {c} }$ по векторам ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$ единственно при их неколлинеарности, поэтому окончательно получаем^[28]:

${\displaystyle \lambda =1-\mu }$, ${\displaystyle \quad \lambda +\mu =1}$.

2. Достаточность. Обратно, пусть ${\displaystyle \lambda +\mu =1}$, тогда

${\displaystyle \mathbf {c} -\mathbf {a} =\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} -\mathbf {a} =\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} -(\lambda +\mu )\mathbf {a} =\mu (\mathbf {b} -\mathbf {a} )}$,

поэтому векторы ${\displaystyle {\overrightarrow {AC}}=\mathbf {c} -\mathbf {a} }$ и ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}=\mathbf {b} -\mathbf {a} }$ коллинеарны и отложены от одной и той же точки ${\displaystyle A}$, следовательно, три точки ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ лежат на одной прямой^[29].

1. Необходимость. Пусть четыре точки ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle D}$ лежат в одной плоскости. Тогда векторы ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}=\mathbf {b} -\mathbf {a} }$, ${\displaystyle {\overrightarrow {AC}}=\mathbf {c} -\mathbf {a} }$ и ${\displaystyle {\overrightarrow {AF}}=\mathbf {d} -\mathbf {a} }$ компланарны, то есть

${\displaystyle \mathbf {d} -\mathbf {a} =\mu (\mathbf {b} -\mathbf {a} )+\nu (\mathbf {c} -\mathbf {a} )}$,

следовательно,

${\displaystyle \mathbf {d} =\mathbf {a} +\mu (\mathbf {b} -\mathbf {a} )+\nu (\mathbf {c} -\mathbf {a} )=(1-\mu -\nu )\mathbf {a} +\mu \mathbf {b} +\nu \mathbf {c} }$,

но разложение вектора ${\displaystyle \mathbf {d} }$ по векторам ${\displaystyle \mathbf {a} }$, ${\displaystyle \mathbf {b} }$ и ${\displaystyle \mathbf {c} }$ единственно при их некомпланарности, поэтому окончательно получаем^[31]:

${\displaystyle \lambda =1-\mu -\nu }$, ${\displaystyle \quad \lambda +\mu +\nu =1}$.

2. Достаточность. Обратно, пусть ${\displaystyle \lambda +\mu +\nu =1}$, тогда

${\displaystyle \mathbf {d} -\mathbf {a} =\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} +\nu \mathbf {c} -\mathbf {a} =\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} +\nu \mathbf {c} -(\lambda +\mu +\nu )\mathbf {a} =\mu (\mathbf {b} -\mathbf {a} )+\nu (\mathbf {c} -\mathbf {a} )}$,

поэтому векторы ${\displaystyle {\overrightarrow {AD}}=\mathbf {d} -\mathbf {a} }$, ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}=\mathbf {b} -\mathbf {a} }$ и ${\displaystyle {\overrightarrow {AC}}=\mathbf {c} -\mathbf {a} }$ компланарны и отложены от одной и той же точки ${\displaystyle A}$, следовательно, четыре точки ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle D}$ лежат в одной плоскости^[32].

Пусть вершины произвольного треугольника ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ имеют радиус-векторы соответственно ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}={\overrightarrow {OA}}}$, ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}={\overrightarrow {OB}}}$ и ${\displaystyle \mathbf {r} _{3}={\overrightarrow {OC}}}$. Обозначим через ${\displaystyle A'}$, ${\displaystyle B'}$ и ${\displaystyle C'}$ середины сторон соответственно ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle CA}$ и ${\displaystyle AB}$ (см. рисунок к задаче 4). Тогда, по задаче 5, радиус-вектор

${\displaystyle \mathbf {r} '={\overrightarrow {OA'}}={\frac {1}{2}}(\mathbf {r} _{2}+\mathbf {r} _{2}),}$

следовательно, по задаче задаче 1, уравнение прямой, проходящей серз две точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle A'}$, то есть уравнение медианы ${\displaystyle AA'}$,

${\displaystyle \mathbf {r} =\lambda \mathbf {r} _{1}+(1-\lambda ){\frac {1}{2}}(\mathbf {r} _{1}+\mathbf {r} _{3})=\lambda \mathbf {r} _{1}+{\frac {1-\lambda }{2}}(\mathbf {r} _{2}+\mathbf {r} _{3}),}$

где ${\displaystyle \mathbf {r} }$ — произвольный радиус-вектор. Аналогично уравнение медианы ${\displaystyle BB'}$ следующее^[32]:

${\displaystyle \mathbf {r} =\mu \mathbf {r} _{2}+{\frac {1-\mu }{2}}(\mathbf {r} _{3}+\mathbf {r} _{1}).}$

Приравняем оба выражения и получим уравнение точки пересечения медиан ${\displaystyle AA'}$ и ${\displaystyle BB'}$^[32]:

${\displaystyle \lambda \mathbf {r} _{1}+{\frac {1-\lambda }{2}}(\mathbf {r} _{2}+\mathbf {r} _{3})=\mu \mathbf {r} _{2}+{\frac {1-\mu }{2}}(\mathbf {r} _{3}+\mathbf {r} _{1}).}$

Теперь приравняем коэффициенты при ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$, ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$ и ${\displaystyle \mathbf {r} _{3}}$^[32]:

${\displaystyle \lambda ={\frac {1-\mu }{2}},\quad \mu ={\frac {1-\lambda }{2}},\quad {\frac {1-\lambda }{2}}={\frac {1-\mu }{2}},}$

откуда

${\displaystyle \lambda =\mu ={\frac {1}{3}},}$

и уравнение точки пересечения медиан ${\displaystyle AA'}$ и ${\displaystyle BB'}$

${\displaystyle \mathbf {r} =\lambda \mathbf {r} _{1}+{\frac {1-\lambda }{2}}(\mathbf {r} _{2}+\mathbf {r} _{3})={\frac {1}{3}}(\mathbf {r} _{1}+\mathbf {r} _{2}+\mathbf {r} _{3}).}$

При определении точки пересечения медиан ${\displaystyle BB'}$ и ${\displaystyle CC'}$ будет получен тот же результат по причине симметрии полученного выражения, поэтому третья медиана проходит через ту же точку^[37].

Треугольник из векторов и биссектрисы

Пусть биссектрисы ${\displaystyle AA'}$ и ${\displaystyle BB'}$ треугольника ${\displaystyle ABC}$ пересекаются в точке ${\displaystyle P}$ (см. рисунок справа), и пусть

${\displaystyle \mathbf {a} _{1}={\frac {\mathbf {a} }{|\mathbf {a} |}},\quad \mathbf {b} _{1}={\frac {\mathbf {b} }{|\mathbf {b} |}},\quad \mathbf {c} _{1}={\frac {\mathbf {c} }{|\mathbf {c} |}}}$ —

орты векторов

${\displaystyle \mathbf {a} ={\overrightarrow {BC}},\quad \mathbf {b} ={\overrightarrow {CA}},\quad \mathbf {c} ={\overrightarrow {AB}}}$

соответственно. Отложим единичные векторы ${\displaystyle {\overrightarrow {AK}}=\mathbf {c} _{1}}$ и ${\displaystyle {\overrightarrow {AL}}=\mathbf {b} _{1}}$ на сторонах ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle AC}$ соответственно и построим на этих ортах ромб ${\displaystyle AKML}$ (см. рисунок справа)^[37].

Диагональ ${\displaystyle AM}$ этого ромба — биссектриса угла ${\displaystyle A}$. Вектор ${\displaystyle {\overrightarrow {AP}}}$, направленный по биссектрисе угла ${\displaystyle A}$, коллинеарен вектору ${\displaystyle \mathbf {c} _{1}+(-\mathbf {b} _{1})}$:

${\displaystyle {\overrightarrow {AP}}=x(\mathbf {c} _{1}-\mathbf {b} _{1})=x\left({\frac {\mathbf {c} }{|\mathbf {c} |}}-{\frac {\mathbf {b} }{|\mathbf {b} |}}\right),}$

где ${\displaystyle x}$ пока не определён^[37].

Либо таким же способом, то есть аналогично, либо заменой символов ${\displaystyle a}$ на ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle b}$ на ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle c}$ на ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle x}$ на ${\displaystyle y}$, то есть циклической перестановкой, получается уравнение для вектора ${\displaystyle {\overrightarrow {BP}}}$^[37]:

${\displaystyle {\overrightarrow {BP}}=y(\mathbf {a} _{1}-\mathbf {c} _{1})=y\left({\frac {\mathbf {a} }{|\mathbf {a} |}}-{\frac {\mathbf {c} }{|\mathbf {c} |}}\right).}$

Составим уравнение для нахождения ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$^[37]:

${\displaystyle {\overrightarrow {AP}}={\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BP}},}$

${\displaystyle x\left({\frac {\mathbf {c} }{|\mathbf {c} |}}-{\frac {\mathbf {b} }{|\mathbf {b} |}}\right)=\mathbf {c} +y\left({\frac {\mathbf {a} }{|\mathbf {a} |}}-{\frac {\mathbf {c} }{|\mathbf {c} |}}\right).}$

В последнем уравнении нельзя приравнять коэффициенты при ${\displaystyle \mathbf {a} }$, ${\displaystyle \mathbf {b} }$ и ${\displaystyle \mathbf {c} }$, поскольку эти векторы компланарны, то есть

${\displaystyle \mathbf {a} +\mathbf {b} +\mathbf {c} =\mathbf {0} }$,

откуда выразим вектор ${\displaystyle \mathbf {a} }$^[37]:

${\displaystyle \mathbf {a} =-\mathbf {b} -\mathbf {c} =\mathbf {0} }$.

Теперь можно сократить количество векторов в уравнении до двух, исключив вектор ${\displaystyle \mathbf {a} }$^[37]:

${\displaystyle x\left({\frac {\mathbf {c} }{|\mathbf {c} |}}-{\frac {\mathbf {b} }{|\mathbf {b} |}}\right)=\mathbf {c} +y\left(-{\frac {\mathbf {b} }{|\mathbf {a} |}}-{\frac {\mathbf {c} }{|\mathbf {a} |}}-{\frac {\mathbf {c} }{|\mathbf {c} |}}\right).}$

Поскольку разложение вектора по двум не коллинеарным векторам единственно, приравняем в последнем уравнении по отдельности коэффициенты при векторах ${\displaystyle \mathbf {b} }$ и ${\displaystyle \mathbf {c} }$^[39]:

${\displaystyle -{\frac {x}{|\mathbf {b} |}}=-{\frac {y}{|\mathbf {a} |}},}$

${\displaystyle {\frac {x}{|\mathbf {c} |}}=1-{\frac {y}{|\mathbf {a} |}}-{\frac {y}{|\mathbf {c} |}},}$

следовательно,

${\displaystyle y={\frac {|\mathbf {a} ||\mathbf {c} |}{|\mathbf {a} |+|\mathbf {b} |+|\mathbf {c} |}},\quad x={\frac {|\mathbf {b} ||\mathbf {c} |}{|\mathbf {a} |+|\mathbf {b} |+|\mathbf {c} |}},}$

откуда

${\displaystyle {\overrightarrow {AP}}={\frac {|\mathbf {b} |\mathbf {c} -|\mathbf {c} |\mathbf {b} }{|\mathbf {a} |+|\mathbf {b} |+|\mathbf {c} |}},\quad {\overrightarrow {BP}}={\frac {|\mathbf {c} |\mathbf {a} -|\mathbf {a} |\mathbf {c} }{|\mathbf {a} |+|\mathbf {b} |+|\mathbf {c} |}}.}$

Аналогично, если ${\displaystyle P'}$ — точка пересечения биссектрис ${\displaystyle BB'}$ и ${\displaystyle CC'}$, то тогда

${\displaystyle {\overrightarrow {BP'}}={\frac {|\mathbf {c} |\mathbf {a} -|\mathbf {a} |\mathbf {c} }{|\mathbf {a} |+|\mathbf {b} |+|\mathbf {c} |}},\quad {\overrightarrow {CP'}}={\frac {|\mathbf {a} |\mathbf {b} -|\mathbf {b} |\mathbf {a} }{|\mathbf {a} |+|\mathbf {b} |+|\mathbf {c} |}},}$

следовательно, ${\displaystyle {\overrightarrow {BP}}={\overrightarrow {BP'}}}$, то есть точки ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle P'}$ совпадают и биссектрисы пересекаются в одной точке^[39].

Пусть теперь ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}={\overrightarrow {OA}}}$, ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}={\overrightarrow {OB}}}$ и ${\displaystyle \mathbf {r} _{3}={\overrightarrow {OC}}}$ — радиус-векторы вершин соответственно ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ треугольника ${\displaystyle ABC}$, тогда радиус-вектор ${\displaystyle \mathbf {r} ={\overrightarrow {OP}}}$ точки пересечения биссектрис следующий^[39]:

${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}+{\overrightarrow {AP}}={\frac {(|\mathbf {a} |+|\mathbf {b} |+|\mathbf {c} |)\mathbf {r} _{1}}{|\mathbf {a} |+|\mathbf {b} |+|\mathbf {c} |}}+{\frac {|\mathbf {b} |(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})-|\mathbf {c} |(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{3})}{|\mathbf {a} |+|\mathbf {b} |+|\mathbf {c} |}}=}$

${\displaystyle ={\frac {|\mathbf {a} |\mathbf {r} _{1}+|\mathbf {b} |\mathbf {r} _{2}+|\mathbf {c} |\mathbf {r} _{3}}{|\mathbf {a} |+|\mathbf {b} |+|\mathbf {c} |}}.}$

Треугольник и три прямые, пересекающиеся в одной точке

Поместим точку ${\displaystyle O}$ вне плоскости треугольника ${\displaystyle ABC}$, и пусть ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}={\overrightarrow {OA}}}$, ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}={\overrightarrow {OB}}}$ и ${\displaystyle \mathbf {r} _{3}={\overrightarrow {OC}}}$ — радиус-векторы соответствующих вершин треугольника, а ${\displaystyle \mathbf {r} ={\overrightarrow {P}}}$ — радиус-вектор точки ${\displaystyle P}$ пересечения трёх прямых ${\displaystyle AA'}$, ${\displaystyle BB'}$ и ${\displaystyle CC'}$ (см. рисунок справа). Разложим вектор ${\displaystyle \mathbf {r} }$ по трём некомпланарным векторам ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$, ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$ и ${\displaystyle \mathbf {r} _{3}}$^[41]:

${\displaystyle \mathbf {r} =\alpha _{1}\mathbf {r} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {r} _{2}+\alpha _{3}\mathbf {r} _{3}}$,

причём, по задаче 2,

${\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}=1}$.