Пространство столбцов

Вектор-строки матрицы. Пространство строк матрицы — это линейная оболочка вектор-строк.

Вектор-столбцы матрицы. Пространство столбцов матрицы — это линейная оболочка вектор-столбцов.

Пространство столбцов (также образ, область значений) матрицы $A$ — это линейная оболочка (множество всех возможных линейных комбинаций) её вектор-столбцов. Пространство столбцов матрицы также является образом или областью значений соответствующего ей отображения.

Пусть $\mathbb {F}$ — некоторое поле. Пространство столбцов матрицы размера $m\times n$ с компонентами из $\mathbb {F}$ является линейным подпространством координатного пространства $\mathbb {F} ^{m}$. Размерность пространства столбцов называется рангом матрицы и не превосходит $\min(m,n)$. Понятие также определено для матриц заданных над кольцом $\mathbb {K}$.

Пространство строк определяется аналогично.

В данной статье рассматриваются матрицы над вещественными числами, то есть, пространства строк и столбцов являются подпространствами $\mathbb {R} ^{n}$ и $\mathbb {R} ^{m}$ соответственно.

Обзор

Пусть $A$ — матрица размера $m\times n$.Тогда имеют место такие утверждения про её ранг $\operatorname {rank} A$, где $\operatorname {rowsp} A$ и $\operatorname {colsp} A$ — её пространства столбцов и строк соответственно:

1. $\operatorname {rank} A=\dim \operatorname {rowsp} A=\dim \operatorname {colsp} A$,
2. $\operatorname {rank} A$ равен числу опорных элементов в любом ступенчатом виде $A$,
3. $\operatorname {rank} A$ равен наибольшему числу линейно независимых строк или столбцов матрицы $A$.

Пространство столбцов матрицы $A$ совпадает с множеством линейных комбинаций столбцов $A$. То есть, если $A=[a_{1},\dots ,a_{n}]$, то $\operatorname {colsp} A=\operatorname {span} \{a_{1},\dots ,a_{n}\}$, где $\operatorname {span} S$ — линейная оболочка $S$.

Действие матрицы $A$ на некоторый вектор $x$ может быть представлено как линейная комбинация столбцов $A$ с коэффициентами, соответствующими координатам $x$. Значит, $Ax$ всегда лежит в $\operatorname {colsp} A$. Таким образом, если рассматривать матрицу как линейное отображение из $\mathbb {R} ^{n}$ в $\mathbb {R} ^{m}$, то пространство столбцов матрицы будет соответствовать образу данного отображения.

Концепция пространства столбцов может быть обобщена на матрицы, заданные над полем комплексных чисел $\mathbb {C}$ или, в общем случае, над произвольным полем $\mathbb {F}$.

Пример

Дана матрицы $J$:

$J={\begin{bmatrix}2&4&1&3&2\\-1&-2&1&0&5\\1&6&2&2&2\\3&6&2&5&1\end{bmatrix}}$

Её строки:

• $r_{1}=[2,4,1,3,2]$,
• $r_{2}=[-1,-2,1,0,5]$,
• $r_{3}=[1,6,2,2,2]$,
• $r_{4}=[3,6,2,5,1]$.

Следовательно, пространство строк матрицы $J$ это подпространство $\mathbb {R} ^{5}$, заданное как $\operatorname {span} \{r_{1},r_{2},r_{3},r_{4}\}$. Это пространство четырёхмерно в силу того, что эти четыре строки линейно независимы. Кроме того, в данном случае все строки ортогональны вектору $n=[6,-1,4,-4,0]$, из чего можно сделать вывод, что пространство строк состоит из всех векторов $\mathbb {R} ^{5}$, которые ортогональны вектору $n$.

Пространство столбцов

Определение

Пусть $\mathbb {K}$ — некоторое поле скаляров, над которым задана матрица $A$ размера $m\times n$ со столбцами $\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}$. Линейная комбинация этих векторов — это любой вектор вида:

$c_{1}\mathbf {v} _{1}+c_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n},$

Где $c_{1},c_{2},\dots ,c_{n}$ — скаляры. Множество всех возможных комбинаций $\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n}$ называется пространством столбцов $A$. То есть, пространство столбцов $A$ — это линейная оболочка векторов $\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n}$.

Любая линейная комбинация столбцов матрицы $A$ может быть записана как умножение матрицы $A$ на некоторый вектор-столбец:

${\begin{array}{rcl}A{\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}&=&{\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}a_{11}+&\cdots &+c_{n}a_{1n}\\\vdots &\vdots &\vdots \\c_{1}a_{m1}+&\cdots &+c_{n}a_{mn}\end{bmatrix}}=c_{1}{\begin{bmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end{bmatrix}}+\cdots +c_{n}{\begin{bmatrix}a_{1n}\\\vdots \\a_{mn}\end{bmatrix}}\\&=&c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n}\end{array}}$

Таким образом, пространство столбцов $A$ состоит из всех возможных произведений $Ax$, где $x\in \mathbb {K} ^{n}$, что то же самое, что образ (или область значений) соответствующего отображения.

Пример

Если $A={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\2&0\end{bmatrix}}$, то её столбцы это $v_{1}=[1,0,2]^{T}$ и $v_{2}=[0,1,0]^{T}$.

Линейная комбинация $v_{1}$ и $v_{2}$ — это любой вектор, имеющий следующий вид:

$c_{1}{\begin{bmatrix}1\\0\\2\end{bmatrix}}+c_{2}{\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\2c_{1}\end{bmatrix}}\,$ Множество всех таких векторов образует пространство столбцов $A$. В данном случае пространство столбцов это в точности множество векторов $[x,y,z]\in \mathbb {R} ^{3}$, удовлетворяющих уравнению $z=2x$.

В декартовой системе координат это множество соответствует некоторой плоскости, проходящей через начало отсчёт в трёхмерном пространстве.

Базис

Столбцы матрицы $A$ порождают пространство столбцов, но они могут не образовывать базис если столбцы не линейно независимы. К счастью, элементарные преобразования строк матрицы не меняют линейные зависимости между столбцами. Это позволяет находить базис в пространстве столбцов методом Гаусса.

Например, дана такая матрица:

$A={\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&3&9\\1&5&3&1\\1&2&0&8\end{bmatrix}}{\text{.}}$

Столбцы этой матрицы не линейно независимы, что значит, что базис образует некоторое подмножество столбцов. Чтобы найти его, приведём $A$ к ступенчатому виду по строкам:

${\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&3&9\\1&5&3&1\\1&2&0&8\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&3&1&4\\0&1&1&1\\0&2&2&-3\\0&-1&-1&4\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&0&-2&1\\0&1&1&1\\0&0&0&-5\\0&0&0&5\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&0&-2&0\\0&1&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}}$

Первый, второй и четвёртый столбцы линейно независимы, в то время как третий является линейной комбинацией первых двух (точнее, $v_{3}=-2v_{1}+v_{2}$). Поэтому первый, второй и четвёртый столбцы образуют базис в пространстве столбцов:

${\begin{bmatrix}1\\2\\1\\1\end{bmatrix}},\;\;{\begin{bmatrix}3\\7\\5\\2\end{bmatrix}},\;\;{\begin{bmatrix}4\\9\\1\\8\end{bmatrix}}{\text{.}}$

Стоит обратить внимание, что независимые столбцы это в точности столбцы, содержащие ведущие элементы, что позволяет сводить задачу поиска базиса в множестве столбцов к приведению матрицы к ступенчатому виду.

Алгоритм выше может быть использован для поиска зависимостей и нахождения базиса в любом множестве векторов. Также нахождение базиса пространства столбцов $A$ эквивалентно нахождению оного для пространства строк транспонированной матрицы $A^{T}$. На практике (например, при работе с большими матрицами) для нахождения базиса обычно используется сингулярное разложение.

Размерность

Основная статья: Ранг матрицы

Размерность пространства столбцов называется рангом матрицы. Ранг равен числу ведущих элементов в ступенчатом виде матрицы, а также наибольшему числу её линейно независимых столбцов. Например, ранг матрицы выше равен $3$.

Так как пространство столбцов это образ соответствующего отображения, ранг матрицы равен размерности образа. Например, для отображения $\mathbb {R} ^{4}\to \mathbb {R} ^{4}$ заданного матрицей выше отображает $\mathbb {R} ^{4}$ в некоторое трёхмерное подпространство.

Размерность ядра матрицы равна числу столбцов, которые не содержат ведущих элементов. Ранг и размерность ядра матрицы $A$ c $n$ столбцами связаны уравнением:

$\operatorname {rank} (A)+\dim \ker(A)=n.\,$

Связь с коядром

Коядро (левый аннулятор) матрицы $A$ это множество векторов $\mathbf {x}$ таких что $\mathbf {x} ^{T}A=0^{T}$. Коядро матрицы $A$ совпадает с ядром $A^{T}$. Произведение $A^{T}$ на $\mathbf {x}$ может быть записано в виде скалярных произведений векторов

$A^{T}\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {v} _{2}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {v} _{n}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}},$

Потому что строки $A^{T}$ являются транспонированными столбцами $\mathbf {v} _{k}$ матрицы $A$. Поэтому $A^{T}\mathbf {x} =0$ тогда и только тогда когда $\mathbf {x}$ ортогонален ко всем столбцам $A$.

Отсюда следует, что коядро $A$ (ядро $A^{T}$) — это ортогональное дополнение к пространству столбцов $A$.

Для матрицы над кольцами

Аналогичным образом пространство столбцов (иногда с уточнением как правое пространство столбцов) может быть определено для матриц над кольцом $\mathbb {K}$ как:

$\sum \limits _{k=1}^{n}\mathbf {v} _{k}c_{k}$

Где $c_{1},\dots ,c_{n}\in \mathbb {K}$. Координатное пространство при этом меняется на правый свободный модуль, что также меняет порядок в умножении на скаляр вектора $\mathbf {v} _{k}$ на скаляр $c_{k}$ таким образом, что они записываются в порядке вектор-скаляр.

См. также

• Евклидово пространство

Литература

См. также: Линейная алгебра § Литература

• Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra (5th ed.), New York: Wiley, ISBN 0-471-84819-0 
• Axler, Sheldon Jay (1997), Linear Algebra Done Right (2nd ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0 
• Banerjee, Sudipto & Roy, Anindya (June 6, 2014), Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics (1st ed.), CRC Press, ISBN 978-1-42-009538-8 
• Beauregard, Raymond A. & Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Company, ISBN 0-395-14017-X 
• Lay, David C. (August 22, 2005), Linear Algebra and Its Applications (3rd ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7 
• Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (7th ed.), Pearson Prentice Hall 
• Meyer, Carl D. (February 15, 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, <http://www.matrixanalysis.com/DownloadChapters.html>  Архивная копия от 31 октября 2009 на Wayback Machine
• Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction (2nd ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3 
• Strang, Gilbert (July 19, 2005), Linear Algebra and Its Applications (4th ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-010567-8 

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Row Space (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Column Space (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Гилберт Стрэнг, MIT Linear Algebra Lecture on the Four Fundamental Subspaces на Google Video от MIT OpenCourseWare
• Khan Academy video tutorial
• Lecture on column space and nullspace by Gilbert Strang of MIT
• Row Space and Column Space