Пространство столбцов

Дана матрица ${\displaystyle J}$:

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}2&4&1&3&2\\-1&-2&1&0&5\\1&6&2&2&2\\3&6&2&5&1\end{bmatrix}}}$.

Её строки:

• ${\displaystyle r_{1}=[2,4,1,3,2]}$;
• ${\displaystyle r_{2}=[-1,-2,1,0,5]}$;
• ${\displaystyle r_{3}=[1,6,2,2,2]}$;
• ${\displaystyle r_{4}=[3,6,2,5,1]}$.

Следовательно, пространство строк матрицы ${\displaystyle J}$ — это подпространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{5}}$, заданное как ${\displaystyle \operatorname {span} \{r_{1},r_{2},r_{3},r_{4}\}}$. Это пространство четырёхмерно в силу того, что эти четыре строки линейно независимы. Кроме того, в данном случае все строки ортогональны вектору ${\displaystyle n=[6,-1,4,-4,0]}$, из чего можно сделать вывод, что пространство строк состоит из всех векторов ${\displaystyle \mathbb {R} ^{5}}$, которые ортогональны вектору ${\displaystyle n}$.

Пусть ${\displaystyle \mathbb {K} }$ — поле скаляров, над которым задана матрица ${\displaystyle A}$ размера ${\displaystyle m\times n}$ со столбцами ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}}$. Линейной комбинацией этих столбцов называется вектор вида

${\displaystyle c_{1}\mathbf {v} _{1}+c_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n},}$

где ${\displaystyle c_{1},c_{2},\dots ,c_{n}}$ — скаляры. Множество всех возможных комбинаций ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n}}$ называется пространством столбцов матрицы ${\displaystyle A}$, то есть пространство столбцов — это линейная оболочка столбцов ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n}}$^[10][11].

Любая линейная комбинация столбцов матрицы ${\displaystyle A}$ может быть записана как произведение матрицы ${\displaystyle A}$ на вектор-столбец:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}A{\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}&=&{\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}a_{11}+&\cdots &+c_{n}a_{1n}\\\vdots &\vdots &\vdots \\c_{1}a_{m1}+&\cdots &+c_{n}a_{mn}\end{bmatrix}}=c_{1}{\begin{bmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end{bmatrix}}+\cdots +c_{n}{\begin{bmatrix}a_{1n}\\\vdots \\a_{mn}\end{bmatrix}}\\&=&c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n}\end{array}}}$.

Таким образом, пространство столбцов ${\displaystyle A}$ состоит из всех векторов вида ${\displaystyle Ax}$, где ${\displaystyle x\in \mathbb {K} ^{n}}$; оно совпадает с образом (областью значений) соответствующего линейного отображения^[12].

Если ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\2&0\end{bmatrix}}}$, то её столбцы — ${\displaystyle v_{1}=[1,0,2]^{T}}$ и ${\displaystyle v_{2}=[0,1,0]^{T}}$.

Линейная комбинация ${\displaystyle v_{1}}$ и ${\displaystyle v_{2}}$ имеет вид

${\displaystyle c_{1}{\begin{bmatrix}1\\0\\2\end{bmatrix}}+c_{2}{\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\2c_{1}\end{bmatrix}}.}$

Множество всех таких векторов образует пространство столбцов ${\displaystyle A}$. В данном случае это в точности множество векторов ${\displaystyle [x,y,z]\in \mathbb {R} ^{3}}$, удовлетворяющих уравнению ${\displaystyle z=2x}$.

В декартовой системе координат это множество соответствует плоскости, проходящей через начало координат в трёхмерном пространстве^[13].

Столбцы матрицы ${\displaystyle A}$ порождают пространство столбцов, но могут не образовывать базис, если линейно зависимы. Элементарные преобразования строк не меняют линейных зависимостей между столбцами, что позволяет находить базис пространства столбцов методом Гаусса^[14].

Например, для матрицы

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&3&9\\1&5&3&1\\1&2&0&8\end{bmatrix}}}$

столбцы линейно зависимы, поэтому базис образует лишь некоторое подмножество столбцов. Чтобы найти его, приведём ${\displaystyle A}$ к ступенчатому виду:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&3&9\\1&5&3&1\\1&2&0&8\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&3&1&4\\0&1&1&1\\0&2&2&-3\\0&-1&-1&4\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&0&-2&1\\0&1&1&1\\0&0&0&-5\\0&0&0&5\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&0&-2&0\\0&1&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$.

Первый, второй и четвёртый столбцы линейно независимы, а третий является линейной комбинацией первых двух: ${\displaystyle v_{3}=-2v_{1}+v_{2}}$. Поэтому столбцы ${\displaystyle v_{1},v_{2},v_{4}}$ образуют базис пространства столбцов:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\2\\1\\1\end{bmatrix}},\;\;{\begin{bmatrix}3\\7\\5\\2\end{bmatrix}},\;\;{\begin{bmatrix}4\\9\\1\\8\end{bmatrix}}.}$

Линейно независимые столбцы — это в точности столбцы с ведущими элементами, что сводит задачу поиска базиса пространства столбцов к приведению матрицы к ступенчатому виду.

Описанный алгоритм применим для поиска линейных зависимостей и базиса в произвольном множестве векторов. Нахождение базиса пространства столбцов ${\displaystyle A}$ эквивалентно нахождению базиса пространства строк транспонированной матрицы ${\displaystyle A^{T}}$. На практике (в частности, при работе с большими матрицами) для отыскания базиса обычно используют сингулярное разложение^[15].

Размерность пространства столбцов называется рангом матрицы. Ранг равен числу ведущих элементов в ступенчатом виде матрицы и наибольшему числу её линейно независимых столбцов. В приведённом выше примере ранг матрицы равен ${\displaystyle 3}$^[16].

Поскольку пространство столбцов — образ соответствующего линейного отображения, ранг матрицы равен размерности образа. Так, отображение ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}\to \mathbb {R} ^{4}}$, заданное приведённой выше матрицей, отображает ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ в трёхмерное подпространство.

Размерность ядра матрицы равна числу столбцов без ведущих элементов^[17]. Ранг и размерность ядра матрицы ${\displaystyle A}$ с ${\displaystyle n}$ столбцами связаны соотношением

${\displaystyle \operatorname {rank} A+\dim \ker A=n}$^[18].

Коядро (левый аннулятор) матрицы ${\displaystyle A}$ — множество векторов ${\displaystyle \mathbf {x} }$ таких, что ${\displaystyle \mathbf {x} ^{T}A=0^{T}}$. Оно совпадает с ядром транспонированной матрицы ${\displaystyle A^{T}}$. Произведение ${\displaystyle A^{T}\mathbf {x} }$ можно записать как скалярные произведения векторов:

${\displaystyle A^{T}\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {v} _{2}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {v} _{n}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}},}$

поскольку строки ${\displaystyle A^{T}}$ — это транспонированные столбцы ${\displaystyle \mathbf {v} _{k}}$ матрицы ${\displaystyle A}$. Следовательно, ${\displaystyle A^{T}\mathbf {x} =0}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ортогонален всем столбцам ${\displaystyle A}$.

Отсюда следует, что коядро ${\displaystyle A}$ (ядро ${\displaystyle A^{T}}$) — ортогональное дополнение пространства столбцов ${\displaystyle A}$^[19].

Аналогично пространство столбцов (иногда — правое пространство столбцов) определяется для матриц над кольцом ${\displaystyle \mathbb {K} }$:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\mathbf {v} _{k}c_{k},\quad c_{1},\dots ,c_{n}\in \mathbb {K} }$.

Координатное пространство при этом заменяется на правый свободный модуль, что меняет порядок сомножителей в умножении вектора на скаляр: ${\displaystyle \mathbf {v} _{k}}$ умножается на ${\displaystyle c_{k}}$ справа. Это существенно лишь при некоммутативном кольце ${\displaystyle \mathbb {K} }$. Такая запись — не более чем результат умножения матрицы ${\displaystyle A}$ на столбец ${\displaystyle \mathbf {c} \in \mathbb {K} ^{n}}$, в котором порядок множителей сохранён, в отличие от формулы выше.