Двойное векторное произведение

Двойно́е ве́кторное произведе́ние (другое название: тройное векторное произведение) $\left[{\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\right]$ векторов ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$ — векторное произведение вектора ${\vec {a}}$ на векторное произведение векторов ${\vec {b}}$ и ${\vec {c}}:$

$\left[{\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\right]=\left[{\vec {a}},\left[{\vec {b}},{\vec {c}}\right]\right].$

В литературе этот тип произведения трёх векторов называется как тройным (по числу векторов), так и двойным (по числу операций умножения).

Свойства

Формула Лагранжа

Для двойного векторного произведения справедлива формула Лагранжа:

${\Big [}{\vec {a}},{\big [}{\vec {b}},{\vec {c}}{\big ]}{\Big ]}={\vec {a}}\times {\big (}{\vec {b}}\times {\vec {c}}{\big )}={\vec {b}}{\big (}{\vec {a}}\cdot {\vec {c}}{\big )}-{\vec {c}}{\big (}{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}{\big )},$

которую можно запомнить по мнемоническому правилу «бац минус цаб».

Доказательство 1

Выберем правый ортонормированный базис ${\vec {e_{1}}},~{\vec {e_{2}}},~{\vec {e_{3}}}$ так, чтобы

${\vec {a}}=\alpha _{1}{\vec {e_{1}}}+\alpha _{2}{\vec {e_{2}}}+\alpha _{3}{\vec {e_{3}}},$

${\vec {b}}=\beta _{1}{\vec {e_{1}}}+\beta _{2}{\vec {e_{2}}},$

${\vec {c}}=\gamma _{1}{\vec {e_{1}}}.$

Тогда

$\left[{\vec {b}},{\vec {c}}\right]=\left(0,0,-\beta _{2}\gamma _{1}\right),$

$\left[{\vec {a}},\left[{\vec {b}},{\vec {c}}\right]\right]=\left(-\alpha _{2}\beta _{2}\gamma _{1},\alpha _{1}\beta _{2}\gamma _{1},0\right)$

и

${\vec {b}}\left({\vec {a}}\cdot {\vec {c}}\right)-{\vec {c}}\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\right)=\alpha _{1}\gamma _{1}{\vec {b}}-\left(\alpha _{1}\beta _{1}+\alpha _{2}\beta _{2}\right){\vec {c}}=\left(-\alpha _{2}\beta _{2}\gamma _{1},\alpha _{1}\beta _{2}\gamma _{1},0\right).$

Таким образом,

$\left[{\vec {a}},\left[{\vec {b}},{\vec {c}}\right]\right]={\vec {b}}\left({\vec {a}}\cdot {\vec {c}}\right)-{\vec {c}}\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\right).$

Доказательство 2 (с помощью тензора Леви-Чивиты)

Другой вариант доказательства использует разложение векторного произведения по компонентам с помощью тензора Леви-Чивиты $\varepsilon _{ijk}$:

$[{\vec {a}},\;{\vec {b}}]_{i}=\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}$

(здесь и ниже по повторяющимся индексам производится суммирование, т.е. $\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}=\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k},$ см. соглашение Эйнштейна о суммировании).

$\left[{\vec {a}},\left[{\vec {b}},{\vec {c}}\right]\right]_{i}=\varepsilon _{ijk}a_{j}(\varepsilon _{klm}b_{l}c_{m})=\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{klm}a_{j}b_{l}c_{m}=(\delta _{il}\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{jl})a_{j}b_{l}c_{m}.$

Использовано соотношение $\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{klm}=\delta _{il}\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{jl},$ где $\delta _{ij}$ — символ Кронекера. Далее,

$\left[{\vec {a}},\left[{\vec {b}},{\vec {c}}\right]\right]_{i}=\delta _{il}\delta _{jm}a_{j}b_{l}c_{m}-\delta _{im}\delta _{jl}a_{j}b_{l}c_{m}=\delta _{il}a_{m}b_{l}c_{m}-\delta _{im}a_{l}b_{l}c_{m}=a_{m}b_{i}c_{m}-a_{l}b_{l}c_{i}=b_{i}({\vec {a}}\cdot {\vec {c}})-c_{i}({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}).$

Здесь использовано свойство дельты Кронекера, позволяющее заменять индекс, по которому идет суммирование с дельтой: $\delta _{ij}a_{j}=a_{i}.$ Таким образом,

$\left[{\vec {a}},\left[{\vec {b}},{\vec {c}}\right]\right]_{i}=b_{i}({\vec {a}}\cdot {\vec {c}})-c_{i}({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}),$

и, переходя от компонентов ко всему вектору, получаем искомое соотношение.

Тождество Якоби

Для двойного векторного произведения выполняется тождество Якоби:

${\big [}{\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}{\big ]}+{\big [}{\vec {b}},{\vec {c}},{\vec {a}}{\big ]}+{\big [}{\vec {c}},{\vec {a}},{\vec {b}}{\big ]}={\vec {0}},$

которое доказывается раскрытием скобок по формуле Лагранжа:

${\vec {0}}={\vec {b}}{\big (}{\vec {a}}\cdot {\vec {c}}{\big )}-{\vec {c}}{\big (}{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}{\big )}+{\vec {c}}{\big (}{\vec {b}}\cdot {\vec {a}}{\big )}-{\vec {a}}{\big (}{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}{\big )}+{\vec {a}}{\big (}{\vec {c}}\cdot {\vec {b}}{\big )}-{\vec {b}}{\big (}{\vec {c}}\cdot {\vec {a}}{\big )}.$

См. также

• Смешанное произведение
• Векторное произведение
• Скалярное произведение