Лямбда-матрица

Ля́мбда-ма́трица (λ-матрица, матрица многочленов) — квадратная матрица, элементами которой являются многочлены над некоторым числовым полем^[1]:

A\left(\lambda \right)={\begin{bmatrix}a_{11}(\lambda )&a_{12}(\lambda )&\cdots &a_{1n}(\lambda )\\a_{21}(\lambda )&a_{22}(\lambda )&\cdots &a_{2n}(\lambda )\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}(\lambda )&a_{n2}(\lambda )&\cdots &a_{nn}(\lambda )\end{bmatrix}},\qquad a_{ij}(\lambda )=a_{ij}^{(l)}\lambda ^{l}+a_{ij}^{(l-1)}\lambda ^{l-1}+\cdots +a_{ij}^{(1)}\lambda +a_{ij}^{(0)}.

Если имеется некоторый элемент матрицы, который является многочленом степени $l$ , и нет элементов матрицы степени большей чем $l$ , то $l$ — степень λ-матрицы. Используя обычные операции над матрицами, любую λ-матрицу можно представить в виде:

A\left(\lambda \right)=A_{l}\lambda ^{l}+A_{l-1}\lambda ^{l-1}+\cdots +A_{1}\lambda +A_{0},

где все $A_{j}$ — матрицы. В случае если определитель матрицы $A_{l}$ отличен от нуля, λ-матрица называется регулярной^[2]. Пример нерегулярной λ-матрицы:

A\left(\lambda \right)={\begin{bmatrix}\lambda ^{4}+\lambda ^{2}+\lambda -1&\lambda ^{3}+\lambda ^{2}+\lambda +2\\2\lambda ^{3}-\lambda &2\lambda ^{2}+2\lambda \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}\lambda ^{4}+{\begin{bmatrix}0&1\\2&0\end{bmatrix}}\lambda ^{3}+{\begin{bmatrix}1&1\\0&2\end{bmatrix}}\lambda ^{2}+{\begin{bmatrix}1&1\\-1&2\end{bmatrix}}\lambda +{\begin{bmatrix}-1&2\\0&0\end{bmatrix}}.

Сложение и умножение

λ-матрицы одного и того же порядка можно складывать и перемножать между собой обычным образом и в результате получится другая λ-матрица. Пусть $A\left(\lambda \right)$ и $B\left(\lambda \right)$ — λ-матрицы одного и того же порядка, имеющие степени $l$ и $m$ соответственно, и $k=\max \left\lbrace l,m\right\rbrace$ .

Тогда можно записать, что:

A\left(\lambda \right)=A_{k}\lambda ^{k}+A_{k-1}\lambda ^{k-1}+\cdots +A_{1}\lambda +A_{0},

B\left(\lambda \right)=B_{k}\lambda ^{k}+B_{k-1}\lambda ^{k-1}+\cdots +B_{1}\lambda +B_{0},

где хотя бы одна из матриц $A_{k}$ и $B_{k}$ — ненулевая.

Отсюда^[3]:

A\left(\lambda \right)+B\left(\lambda \right)=(A_{k}+B_{k})\lambda ^{k}+(A_{k-1}+B_{k-1})\lambda ^{k-1}+\cdots +(A_{1}+B_{1})\lambda +(A_{0}+B_{0}),

A\left(\lambda \right)B\left(\lambda \right)=A_{k}B_{k}\lambda ^{2k}+(A_{k}B_{k-1}+A_{k-1}B_{k})\lambda ^{2k-1}+\cdots +(A_{1}B_{0}+A_{0}B_{1})\lambda +(A_{0}B_{0}).

Деление

Предположим, что $B(\lambda )$ — регулярная λ-матрица и что существуют такие λ-матрицы $Q(\lambda )$ и $R(\lambda )$ с $R(\lambda )\equiv 0$ или со степенью $R(\lambda )$ , меньшей степени $B(\lambda )$ , что:

A(\lambda )=Q(\lambda )B(\lambda )+R(\lambda )

.

В этом случае $Q(\lambda )$ называется правым частным $A(\lambda )$ при делении на $B(\lambda )$ , а $R(\lambda )$ — правым остатком. Подобно этому ${\hat {Q}}(\lambda )$ и ${\hat {R}}(\lambda )$ — левое частное и левый остаток при делении $A(\lambda )$ на $B(\lambda )$ , если

A(\lambda )=B(\lambda ){\hat {Q}}(\lambda )+{\hat {R}}(\lambda )

и ${\hat {R}}(\lambda )\equiv 0$ или степень ${\hat {R}}(\lambda )$ меньше степени $B(\lambda )$ .

Если правый (левый) остаток равен 0, то $Q(\lambda )$ $({\hat {Q}}(\lambda ))$ называется правым (левым) делителем $A(\lambda )$ при делении на $B(\lambda )$ ^[4].

Если $B(\lambda )$ — регулярная, то правое (левое) частное и правый (левый) остаток при делении $A(\lambda )$ на $B(\lambda )$ существуют и единственны^[5].

Вследствие некоммутативности умножения матриц, в отличие от свойств обычного многочлена, для λ-матрицы нельзя записать равенство, аналогичное:

a_{l}\lambda ^{l}+a_{l-1}\lambda ^{l-1}+\cdots +a_{1}\lambda +a_{0}=\lambda ^{l}a_{l}+\lambda ^{l-1}a_{l-1}+\cdots +\lambda a_{1}+a_{0},

поэтому мы определяем правое значение $A(B)$ λ-матрицы $A(\lambda )$ в матрице $B$ как:

A\left(B\right)=A_{l}B^{l}+A_{l-1}B^{l-1}+\cdots +A_{1}B+A_{0}

, если

A\left(\lambda \right)=A_{l}\lambda ^{l}+A_{l-1}\lambda ^{l-1}+\cdots +A_{1}\lambda +A_{0}

и левое значение ${\hat {A}}(B)$ как:

{\hat {A}}\left(B\right)=B^{l}A_{l}+B^{l-1}A_{l-1}+\cdots +BA_{1}+A_{0}

,

а в общем случае: $A(B)\neq {\hat {A}}(B)$ ^[6].

Теорема Безу для λ-матриц

Для λ-матриц существует свойство, аналогичное теореме Безу для многочленов: правым и левым остатком от деления λ-матрицы $A(\lambda )$ на $\lambda E-B$ , где $E$ — единичная матрица, является $A(B)$ и ${\hat {A}}(B)$ соответственно^[7].

Свойство доказывается через следующее разложение на множители:

\lambda ^{j}E-B^{j}=(\lambda ^{j-1}E+\lambda ^{j-2}B+\cdots +\lambda B^{j-2}+B^{j-1})(\lambda E-B).

При умножении обеих частей этого равенства на $A_{j}$ слева и сложении всех полученных равенств при $j=1,\cdots ,l$ правая часть будет иметь вид $C(\lambda )(\lambda E-B)$ , где $\ C(\lambda )$ — некоторая λ-матрица. Левая часть равенства, в свою очередь, будет равна:

\sum _{j=1}^{l}\lambda ^{j}A_{j}-\sum _{j=1}^{l}A_{j}B^{j}=\sum _{j=0}^{l}\lambda ^{j}A_{j}-\sum _{j=0}^{l}A_{j}B^{j}=A(\lambda )-A(B).

Таким образом,

A(\lambda )=C(\lambda )(\lambda E-B)+A(B)

.

Результат теперь следует из единственности правого остатка. Утверждение для левого остатка получается обращением множителей в исходном разложении, умножением полученного выражения на $A_{j}$ справа и суммированием.

Следствие: чтобы λ-матрица $A(\lambda )$ делилась без остатка на $\lambda E-B$ справа (слева), необходимо и достаточно, чтобы $A(B)=0$ $\left({\hat {A}}(B)=0\right)$ ^[7].

λ-матрицы применяются в следующих задачах линейной алгебры и её приложениях:

Спектральная теория матриц. Характеристическая матрица $A-\lambda E$ является частным случаем λ-матрицы; её элементарные делители и каноническая форма Смита определяют жорданову структуру оператора^[8].

Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами. λ-матрицы используются при решении систем линейных обыкновенных дифференциальных и разностных уравнений, где спектральная структура λ-матрицы задаёт вид общего решения^[9]^[10].

Аналитические функции от матриц. С помощью λ-матриц строятся определения и вычислительные схемы для функций вида $e^{At}$ , $\sin A$ , $\cos A$ ^[11].

↑ Гантмахер, 1966, с. 135.
↑ Ланкастер, 1982, с. 116.
↑ Ланкастер, 1982, с. 116—117.
↑ Ланкастер, 1982, с. 117.
↑ Ланкастер, 1982, с. 117—118.
↑ Ланкастер, 1982, с. 119.
↑ ¹ ² Гантмахер, 1966, с. 92.
↑ Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е изд. — М.: Физматлит, 2010. — С. 105–118, 132–145. — ISBN 978-5-9221-0524-8.
↑ Курош А. Г. Основы линейной алгебры. — 3-е изд. — М.: Наука, 1968. — С. 215–224.
↑ Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. — 2-е изд. — М.: Физматгиз, 1963. — С. 183–192.
↑ Беллман Р. Введение в теорию матриц. — М.: Наука, 1976. — С. 195–208.

Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц. — 2-е изд.. — М.: Наука, 1966.
Ланкастер, П. Теория матриц. — 2-е изд.. — М.: Наука, 1982.

[_a96a1962d9039103-1] Гантмахер, 1966, с. 135.

[_0cfc492cf76ee976-2] Ланкастер, 1982, с. 116.

[_0a00ea7f4afcb8c5-3] Ланкастер, 1982, с. 116—117.

[_0cfc492cf76ee977-4] Ланкастер, 1982, с. 117.

[_5797993a02d30cab-5] Ланкастер, 1982, с. 117—118.

[_0cfc492cf76ee979-6] Ланкастер, 1982, с. 119.

[_8551e5d8cc1f251b-7] ¹ ² Гантмахер, 1966, с. 92.

[8] Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е изд. — М.: Физматлит, 2010. — С. 105–118, 132–145. — ISBN 978-5-9221-0524-8.

[9] Курош А. Г. Основы линейной алгебры. — 3-е изд. — М.: Наука, 1968. — С. 215–224.

[10] Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. — 2-е изд. — М.: Физматгиз, 1963. — С. 183–192.

[11] Беллман Р. Введение в теорию матриц. — М.: Наука, 1976. — С. 195–208.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

Лямбда-матрица

Связанные определения

Алгебра λ-матриц

Сложение и умножение

Деление

λ-матрицы с матричными аргументами

Теорема Безу для λ-матриц

Применение

Примечания

Литература

Дополнительно по теме

Категории