Лямбда-матрица

Ля́мбда-ма́трица (λ-матрица, матрица многочленов) — квадратная матрица, элементами которой являются многочлены над некоторым числовым полем:

$A\left(\lambda \right)={\begin{bmatrix}a_{11}(\lambda )&a_{12}(\lambda )&\cdots &a_{1n}(\lambda )\\a_{21}(\lambda )&a_{22}(\lambda )&\cdots &a_{2n}(\lambda )\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}(\lambda )&a_{n2}(\lambda )&\cdots &a_{nn}(\lambda )\end{bmatrix}},\qquad a_{ij}(\lambda )=a_{ij}^{(l)}\lambda ^{l}+a_{ij}^{(l-1)}\lambda ^{l-1}+\cdots +a_{ij}^{(1)}\lambda +a_{ij}^{(0)}.$

Связанные определения

Если имеется некоторый элемент матрицы, который является многочленом степени $l$ и нет элементов матрицы степени большей чем $l$, то $l$ — степень λ-матрицы. Используя обычные операции над матрицами любую λ-матрицу можно представить в виде

$A\left(\lambda \right)=A_{l}\lambda ^{l}+A_{l-1}\lambda ^{l-1}+\cdots +A_{1}\lambda +A_{0},$

где все $A_{j}$ — матрицы. В случае если определитель матрицы $A_{l}$ отличен от нуля, λ-матрица называется регулярной. Пример нерегулярной λ-матрицы:

$A\left(\lambda \right)={\begin{bmatrix}\lambda ^{4}+\lambda ^{2}+\lambda -1&\lambda ^{3}+\lambda ^{2}+\lambda +2\\2\lambda ^{3}-\lambda &2\lambda ^{2}+2\lambda \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}\lambda ^{4}+{\begin{bmatrix}0&1\\2&0\end{bmatrix}}\lambda ^{3}+{\begin{bmatrix}1&1\\0&2\end{bmatrix}}\lambda ^{2}+{\begin{bmatrix}1&1\\-1&2\end{bmatrix}}\lambda +{\begin{bmatrix}-1&2\\0&0\end{bmatrix}}.$

Алгебра λ-матриц

Сложение и умножение

λ-матрицы одного и того же порядка можно складывать и перемножать между собой обычным образом и в результате получится другая λ-матрица. Пусть $A\left(\lambda \right)$ и $B\left(\lambda \right)$ — λ-матрицы одного и того же порядка, имеющие степени $l$ и $m$ соответственно, и $k=\max \left\lbrace l,m\right\rbrace$. Тогда можно записать, что

$A\left(\lambda \right)=A_{k}\lambda ^{k}+A_{k-1}\lambda ^{k-1}+\cdots +A_{1}\lambda +A_{0},$

$B\left(\lambda \right)=B_{k}\lambda ^{k}+B_{k-1}\lambda ^{k-1}+\cdots +B_{1}\lambda +B_{0},$

где хотя бы одна из матриц $A_{k}$ и $B_{k}$ — ненулевая. Отсюда

$A\left(\lambda \right)+B\left(\lambda \right)=(A_{k}+B_{k})\lambda ^{k}+(A_{k-1}+B_{k-1})\lambda ^{k-1}+\cdots +(A_{1}+B_{1})\lambda +(A_{0}+B_{0}),$

$A\left(\lambda \right)B\left(\lambda \right)=A_{k}B_{k}\lambda ^{2k}+(A_{k}B_{k-1}+A_{k-1}B_{k})\lambda ^{2k-1}+\cdots +(A_{1}B_{0}+A_{0}B_{1})\lambda +(A_{0}B_{0}).$

Деление

Предположим, что $B(\lambda )$ — регулярная λ-матрица и что существуют такие λ-матрицы $Q(\lambda )$ и $R(\lambda )$ с $R(\lambda )\equiv 0$ или со степенью $R(\lambda )$, меньшей степени $B(\lambda )$, что

$A(\lambda )=Q(\lambda )B(\lambda )+R(\lambda )$.

В этом случае $Q(\lambda )$ называется правым частным $A(\lambda )$ при делении на $B(\lambda )$, а $R(\lambda )$ — правым остатком. Подобно этому ${\hat {Q}}(\lambda )$ и ${\hat {R}}(\lambda )$ — левое частное и левый остаток при делении $A(\lambda )$ на $B(\lambda )$, если

$A(\lambda )=B(\lambda ){\hat {Q}}(\lambda )+{\hat {R}}(\lambda )$

и ${\hat {R}}(\lambda )\equiv 0$ или степень ${\hat {R}}(\lambda )$ меньше степени $B(\lambda )$.

Если правый (левый) остаток равен 0, то $Q(\lambda )$ $({\hat {Q}}(\lambda ))$ называется правым (левым) делителем $A(\lambda )$ при делении на $B(\lambda )$.

Если $B(\lambda )$ — регулярная, то правое (левое) частное и правый (левый) остаток при делении $A(\lambda )$ на $B(\lambda )$ существуют и единственны.

λ-матрицы с матричными аргументами

Вследствие некоммутативности умножения матриц, в отличие от свойств обычного многочлена для λ-матрицы нельзя записать равенство, аналогичное

$a_{l}\lambda ^{l}+a_{l-1}\lambda ^{l-1}+\cdots +a_{1}\lambda +a_{0}=\lambda ^{l}a_{l}+\lambda ^{l-1}a_{l-1}+\cdots +\lambda a_{1}+a_{0},$

поэтому мы определяем правое значение $A(B)$ λ-матрицы $A(\lambda )$ в матрице $B$ как

$A\left(B\right)=A_{l}B^{l}+A_{l-1}B^{l-1}+\cdots +A_{1}B+A_{0}$, если $A\left(\lambda \right)=A_{l}\lambda ^{l}+A_{l-1}\lambda ^{l-1}+\cdots +A_{1}\lambda +A_{0}$

и левое значение ${\hat {A}}(B)$ как:

${\hat {A}}\left(B\right)=B^{l}A_{l}+B^{l-1}A_{l-1}+\cdots +BA_{1}+A_{0}$,

и в общем случае $A(B)\neq {\hat {A}}(B)$.

Теорема Безу для λ-матриц

Для λ-матриц существует свойство, аналогичное теореме Безу для многочленов: правым и левым остатком от деления λ-матрицы $A(\lambda )$ на $\lambda E-B$, где $E$ — единичная матрица, является $A(B)$ и ${\hat {A}}(B)$ соответственно.

Свойство доказывается через следующее разложение на множители:

$\lambda ^{j}E-B^{j}=(\lambda ^{j-1}E+\lambda ^{j-2}B+\cdots +\lambda B^{j-2}+B^{j-1})(\lambda E-B).$

При умножении обеих частей этого равенства на $A_{j}$ слева и сложении всех полученных равенств при $j=1,\cdots ,l$ правая часть будет иметь вид $C(\lambda )(\lambda E-B)$, где $\ C(\lambda )$ — некоторая λ-матрица. Левая часть равенства, в свою очередь, будет равна

$\sum _{j=1}^{l}\lambda ^{j}A_{j}-\sum _{j=1}^{l}A_{j}B^{j}=\sum _{j=0}^{l}\lambda ^{j}A_{j}-\sum _{j=0}^{l}A_{j}B^{j}=A(\lambda )-A(B).$

Таким образом,

$A(\lambda )=C(\lambda )(\lambda E-B)+A(B)$.

Результат теперь следует из единственности правого остатка. Утверждение для левого остатка получается обращением множителей в исходном разложении, умножением полученного выражения на $A_{j}$ справа и суммированием.

Следствие: чтобы λ-матрица $A(\lambda )$ делилась без остатка на $\lambda E-B$ справа (слева) необходимо и достаточно, чтобы $A(B)=0$ $\left({\hat {A}}(B)=0\right)$.

Литература

• Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц. — 2-е изд.. — М.: Наука, 1966.
• Ланкастер, П. Теория матриц. — 2-е изд.. — М.: Наука, 1982.