Вычитание векторов

Вычитание векторов — математическая операция, обратная сложению, результатом которой является вектор (разность), такой, что его сумма с вычитаемым вектором равна уменьшаемому.

Разность двух векторов, отложенных от общей точки, представляет собой вектор, направленный от конца вычитаемого вектора к концу уменьшаемого. Операция всегда выполнима и однозначна; в параллелограмме одна диагональ является суммой векторов, а другая — их разностью.

Вектор, противоположный данному, равен ему по модулю и направлен противоположно; нулевой вектор противоположен сам себе. Обозначается он той же буквой со знаком минус.

Разность векторов a − b определяется как сумма a и вектора, противоположного b, то есть a + (−b).

Согласно теоремам, вычитание векторов обратно сложению: по сумме двух векторов и одному из слагаемых находится второе. Вектор-слагаемое можно переносить из одной части равенства в другую с противоположным знаком, поэтому свойства операций над векторами аналогичны арифметическим.

Модуль разности векторов удовлетворяет неравенству треугольника, а для сонаправленных коллинеарных векторов равен разности модулей при большем модуле уменьшаемого. Возможны три случая величины модуля разности. Сумма квадратов сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей (тождество параллелограмма).

Вычита́ние векторо́в, или геометри́ческое вычитание векторов, — операция, обратная сложению, ставящая в соответствие двум векторам третий вектор — разность векторов, другими словами, по сумме векторов и одному слагаемому определяется второе слагаемое этой суммы^[1]^[2]^[3]^[4]^[5]. При этом разность $\mathbf {a} -\mathbf {b}$ двух векторов $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ — это третий вектор $\mathbf {c} =\mathbf {a} -\mathbf {b}$ такой, что $\mathbf {c} +\mathbf {b} =\mathbf {a}$ (см. рисунок справа с треугольником вычитания векторов). Разность векторов определяется через сумму векторов либо с использованием противоположного вектора, либо без^[6]^[5]^[7]^[8]^[9]^[10]. Первый вектор разности называется уменьшаемым, а второй — вычитаемым^[3]^[4]^[5]^[11].

Вычита́ние векторо́в, или геометри́ческое вычита́ние векторо́в — операция, обратная сложению, ставящая в соответствие двум векторам третий вектор — разность векторов, другими словами, по сумме векторов и одному слагаемому определяется второе слагаемое этой суммы. Обозначается обычным знаком минус^[1]^[2]^[3]^[4]^[5]:

\mathbf {c} =\mathbf {a} -\mathbf {b} .

Определение без использования противоположного вектора

Следующее определение разности аналогично определению разности чисел^[12].

Разность $\mathbf {a} -\mathbf {b}$ двух векторов $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ — это третий вектор $\mathbf {c} =\mathbf {a} -\mathbf {b}$ такой, что $\mathbf {c} +\mathbf {b} =\mathbf {a}$ (см. рисунок в начале статьи с треугольником вычитания векторов)^[6]^[5]^[7]^[8]^[9]^[10]^[12].

Разность существует для любых двух векторов, что следует из следующего правила её построения^[12].

Правило построения разности векторов без обратного вектора состоит в следующем. Разность $\mathbf {a} -\mathbf {b}$ любых двух векторов $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ , отложенных от одной точки, — это третий вектор $\mathbf {c} =\mathbf {a} -\mathbf {b}$ , проведённый от конца вектора $\mathbf {b}$ к концу вектора $\mathbf {a}$ (см. рисунок в начале статьи с треугольником вычитания векторов)^[5]^[7]^[8]^[10]^[12].

Операция вычитания векторов обладает следующими определяющими свойствами^[12]:

всегда выполнима;
однозначна, то есть из $\mathbf {b} +\mathbf {x} =\mathbf {b} +\mathbf {y}$ следует $\mathbf {x} =\mathbf {y} .$

Если на двух неколлинеарных векторах построить параллелограмм, то тогда одна диагональ этого параллелограмма будет представлять сумму этих двух векторов. а другая — их разность (см. рисунок справа с параллелограммом сложения векторов)^[10].

Противоположный вектор

Вектор, противоположный данному вектору — вектор, равный по модулю данному и противоположно ему направленный. Вектор, противоположный нулевому вектору, определяется тоже как нулевой. Вектор, противоположный вектору $\mathbf {a}$ , обозначается той же буквой с поставленным перед ней обычным знаком минус (см. рисунок справа)^[6]^[9]^[10]^[11]^[12]^[13]^[14]^[15]: $-\mathbf {a} .$

Также противоположный вектор можно определить как вектор $\mathbf {0} -\mathbf {a}$ ^[12].

Из определения противоположного вектора следуют равенства^[11]^[14]^[15]^[16]:

-(-\mathbf {a} )=\mathbf {a} ,\quad |-\mathbf {a} |=|\mathbf {a} |,\quad \mathbf {a} +(-\mathbf {a} )=\mathbf {0} .

Определение с использованием противоположного вектора

Теорема 1.

\mathbf {a} -\mathbf {b} =\mathbf {a} +(-\mathbf {b} )

для любых векторов $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ (см. рисунок справа)^[14]^[16].

Доказательство. Из определения разности векторов получаем^[10]^[14]:

(\mathbf {a} -\mathbf {b} )+\mathbf {b} =\mathbf {a} ,

\quad (\mathbf {a} -\mathbf {b} )+\mathbf {0} =\mathbf {a} +(-\mathbf {b} ),

\quad (\mathbf {a} -\mathbf {b} )=\mathbf {a} +(-\mathbf {b} ).

На основании этой теоремы можно определить понятие разности следующим образом^[11]^[14]^[16].

Разность $\mathbf {a} -\mathbf {b}$ двух векторов $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ — это третий вектор $\mathbf {c} =\mathbf {a} +(-\mathbf {b} )$ (см. рисунки справа)^[5]^[11]^[16].

Правило построения разности векторов с использованием обратного вектора состоит в следующем. Разность $\mathbf {a} -\mathbf {b}$ любых двух векторов $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ — это третий вектор $\mathbf {c} =\mathbf {a} +(-\mathbf {b} )$ , проведённый от начала вектора $\mathbf {a}$ к концу вектора $-\mathbf {b}$ , причём конец первого вектора совпадает с началом второго (см. рисунки справа)^[14].

Если взять за исходное второе определение разности векторов, то первое определение можно сформулировать в виде теоремы^[17].

Теорема 2. Вычитание векторов — операция, обратная сложению векторов, то есть по сумме векторов и одному из слагаемых находится второе слагаемое — разность суммы и первого слагаемого:

\mathbf {b} +(\mathbf {a} -\mathbf {b} )=\mathbf {a}

для любых векторов $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ (см. рисунок в начале статьи и рисунок справа)^[17].

Доказательство. Вычислим^[1]:

\mathbf {b} +(\mathbf {a} -\mathbf {b} )=\mathbf {a} +(-\mathbf {b} )+\mathbf {b} =\mathbf {a} +\mathbf {0} =\mathbf {a} .

Теорема 3. Вектор-слагаемое можно переносить из одной части равенства в другую с противоположным знаком^[1]^[16]^[18].

Доказательство. Пусть

\mathbf {a} -\mathbf {b} =\mathbf {c} .

Тогда по теореме 2 получаем^[1]^[16]^[18]:

\mathbf {a} =\mathbf {b} +\mathbf {c} .

Итак, операции сложения и вычитания векторов имеют такие же свойства, какие известны в арифметике чисел^[16].

Теорема 4. Правило раскрытия скобок^[19].

(\mathbf {a} _{1}-\mathbf {b} _{1})+(\mathbf {a} _{2}-\mathbf {b} _{2})+\cdots +(\mathbf {a} _{n}-\mathbf {b} _{n})=

=(\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}+\cdots +\mathbf {a} _{n})-(\mathbf {b} _{1}+\mathbf {b} _{2}+\cdots +\mathbf {b} _{n}).

Доказательство^[19]

В силу определения разности двух векторов из исходного выражения получаем:

(\mathbf {a} _{1}-\mathbf {b} _{1})+(\mathbf {a} _{2}-\mathbf {b} _{2})+\cdots +(\mathbf {a} _{n}-\mathbf {b} _{n})=

=(\mathbf {a} _{1}+(-\mathbf {b} _{1}))+(\mathbf {a} _{2}+(-\mathbf {b} _{2}))+\cdots +(\mathbf {a} _{n}+(-\mathbf {b} _{n})).

Обозначим эту сумму через $\mathbf {x}$ и опустим внешние скобки по сочетательному закону сложения векторов:

\mathbf {x} =\mathbf {a} _{1}+(-\mathbf {b} _{1})+\mathbf {a} _{2}+(-\mathbf {b} _{2})+\cdots +\mathbf {a} _{n}+(-\mathbf {b} _{n}).

Несколько раз используем переместительный закон сложения векторов:

\mathbf {x} =(\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}+\cdots +\mathbf {a} _{n})+(-\mathbf {b} _{1})+(-\mathbf {b} _{2})+\cdots +(-\mathbf {b} _{n}).

Прибавим к обеим частям равенства сумму векторов

(\mathbf {b} _{1}+\mathbf {b} _{2}+\cdots +\mathbf {b} _{n})

и используем законы сложения векторов:

\mathbf {x} +(\mathbf {b} _{1}+\mathbf {b} _{2}+\cdots +\mathbf {b} _{n})=

=(\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}+\cdots +\mathbf {a} _{n})+{}

{}+(-\mathbf {b} _{1})+(-\mathbf {b} _{2})+\cdots +(-\mathbf {b} _{n})+\mathbf {b} _{1}+\mathbf {b} _{2}+\cdots +\mathbf {b} _{n}=

=(\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}+\cdots +\mathbf {a} _{n})+{}

{}+(\mathbf {b} _{1}+(-\mathbf {b} _{1}))+(\mathbf {b} _{2}+(-\mathbf {b} _{2}))+\cdots +(\mathbf {b} _{n}+(-\mathbf {b} _{n}))=

=(\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}+\cdots +\mathbf {a} _{n})+\mathbf {0} +\mathbf {0} +\cdots +\mathbf {0} =

=\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}+\cdots +\mathbf {a} _{n}.

По теореме 3 окончательно имеем:

\mathbf {x} =(\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}+\cdots +\mathbf {a} _{n})-(\mathbf {b} _{1}+\mathbf {b} _{2}+\cdots +\mathbf {b} _{n}).

Так как длина отрезка не превосходит длины ломаной, соединяющей его концы, то выполняются неравенство треугольника: модуль разности двух векторов не больше разности модулей этих векторов^[20]:

|\mathbf {a} -\mathbf {b} |\geqslant |\mathbf {a} |-|\mathbf {b} |,\quad |\mathbf {a} -\mathbf {b} |\geqslant |\mathbf {b} |-|\mathbf {a} |.

В случае коллинеарных векторов^[21]:

если два вектора направлены одинаково, то модуль разности двух векторов равен разности модулей уменьшаемого и вычитаемого, если модуль уменьшаемого больше модуля вычитаемого:

|\mathbf {a} -\mathbf {b} |=|\mathbf {a} |-|\mathbf {b} |,\quad |\mathbf {a} |\geqslant |\mathbf {b} |;

|\mathbf {a} -\mathbf {b} |=|\mathbf {b} |-|\mathbf {a} |,\quad |\mathbf {b} |\geqslant |\mathbf {a} |.

Для модуля разности векторов возможны три случая (см. рисунок ниже)^[5]:

$|\mathbf {a} -\mathbf {b} |<|\mathbf {a} |;$
$|\mathbf {a} -\mathbf {b} |=|\mathbf {a} |;$
$|\mathbf {a} -\mathbf {b} |>|\mathbf {a} |.$

Имеет место следующее тождество:

2|\mathbf {a} |^{2}+2|\mathbf {b} |^{2}=|\mathbf {a} +\mathbf {b} |^{2}+|\mathbf {a} -\mathbf {b} |^{2}

,

другими словами, сумма квадратов сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей (см. рисунок с параллелограммом сложения и вычитания векторов в разделе Определение без использования противоположного вектора)^[22].

↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава I. Линейные операции над векторами. § 3. Вычитание векторов, с. 22.
↑ ¹ ² Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов…, с. 8, 10.
↑ ¹ ² ³ Пытьев Ю. П. Вычитание, 1988.
↑ ¹ ² ³ Вычитание, 1977.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 88. Вычитание векторов, с. 122.
↑ ¹ ² ³ Пытьев Ю. П. Векторная алгебра', 1988, с. 108.
↑ ¹ ² ³ Воднев В. Т. Математический словарь высшей школы: Общая часть, 1984, Разность векторов, с. 369.
↑ ¹ ² ³ Атанасян Л. С. Геометрия. 7—9 классы, 2014, 85. Вычитание векторов, с. 198.
↑ ¹ ² ³ Пытьев Ю. П. Векторная алгебра, 1977, стб. 633.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов…, с. 10.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава I. Линейные операции над векторами. § 3. Вычитание векторов, с. 21.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ Болтянский В. Г., Яглом И. М. Векторы и их применения в геометрии, 1963, 2.4. Вычитание векторов, с. 304.
↑ Воднев В. Т. Математический словарь высшей школы: Общая часть, 1984, Противоположный вектор, с. 356.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ Атанасян Л. С. Геометрия. 7—9 классы, 2014, 85. Вычитание векторов, с. 199.
↑ ¹ ² Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 88. Противоположные векторы, с. 119.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ Болтянский В. Г., Яглом И. М. Векторы и их применения в геометрии, 1963, 2.4. Вычитание векторов, с. 305.
↑ ¹ ² Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава I. Линейные операции над векторами. § 3. Вычитание векторов, с. 21—22.
↑ ¹ ² Гусятников П. Б. Векторная алгебра в примерах и задачах, 1985, Глава 2. Векторы… § 2. Сумма векторов…, с. 22.
↑ ¹ ² Гусятников П. Б. Векторная алгебра в примерах и задачах, 1985, Глава 2. Векторы… § 2. Сумма векторов…, с. 23.
↑ Гусятников П. Б. Векторная алгебра в примерах и задачах, 1985, Глава 2. Векторы… § 2. Сумма векторов…, с. 24.
↑ Гусятников П. Б. Векторная алгебра в примерах и задачах, 1985, Глава 2. Векторы… § 2. Сумма векторов…, с. 25.
↑ Погорелов А. В. Аналитическая геометрия, 1968, Глава IV. Векторы. § 1. Сложение и вычитание векторов, с. 69.

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И. Геометрия. 7—9 классы : учеб. для общеобразоват. организаций (рус.) / под науч. рук. акад. А. Н. Тихонова. — 2-е изд. — М.: «Просвещение», 2014. — 383 с., ил. — Доп. тираж 50 000 экз. — ISBN 978-5-09-032008-5.
Болтянский В. Г., Яглом И. М. Векторы и их применения в геометрии // Энциклопедия элементарной математики (рус.) / гл. ред.: П. С. Александров, А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин; редакторы книги четвёртой: В. Г. Болтянский, И. М. Яглом. — М.: «Наука», 1963. — Т. 4 Геометрия. — С. 291—381. — 567 с., ил. — 20 000 экз.
Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Математический словарь высшей школы: Общая часть (рус.) / под. ред. проф. Ю. С. Богданова. — Минск: «Высшая школа», 1984. — 527 с., ил. — 41 000 экз.
Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике (рус.). — 12-е, стереотип. — М.: «Наука», 1977. — 871 с., ил. — 150 000 тыс. экз.
Вычитание // Математическая энциклопедия (рус.) / гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: «Советская энциклопедия», 1977. — Т. 1 А—Г. — Стб. 828. — 1152 стб., ил. — 150 000 экз.
Гусятников П. Б., Резниченко С. В. Векторная алгебра в примерах и задачах: Учеб. пособие для студентов инж.-тех. спец. вузов (рус.). — М.: «Высшая школа», 1985. — 232 с., ил. — 50 000 тыс. экз.
Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления (рус.). — 9-е изд. — М.: «Наука», 1965. — 426,[1] с., ил.
Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления (рус.). — М.: «Наука», 1975. — 336 с., ил. — 35 000 экз.
Погорелов А. В. Аналитическая геометрия (рус.). — 3-е изд. — М.: «Наука», 1968. — 176 с., ил. — 200 000 экз.
Противоположный вектор // Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Математический словарь высшей школы: Общая часть / Под. ред. Ю. С. Богданова. Минск: Высшая школа, 1984. 527 с., ил. С. 356.
Пытьев Ю. П. Векторная алгебра // Математическая энциклопедия (рус.) / гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: «Советская энциклопедия», 1977. — Т. 1 А—Г. — Стб. 632—636. — 1152 стб., ил. — 150 000 экз.
Пытьев Ю. П. Векторная алгебра // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. Ред. кол. С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. — М.: «Советская энциклопедия», 1988. — С. 107—109. — 847 с., ил. — 148 900 экз.
Пытьев Ю. П. Вычитание // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. Ред. кол. С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. — М.: «Советская энциклопедия», 1988. — С. 135. — 847 с., ил. — 148 900 экз.

Seymour Lipschutz, Marc Lars Lipson. Schaum's Outline of Linear Algebra (англ.). — Fourth edition. — New York: McGraw-Hill Book Company, 2009. — VI+425 p. — (Schaum’s Outline Series). — ISBN 978-0-07-154353-8.

[Лаптев22-1] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава I. Линейные операции над векторами. § 3. Вычитание векторов, с. 22.

[Кочин8-2] ¹ ² Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов…, с. 8, 10.

[Пытьев1988-3] ¹ ² ³ Пытьев Ю. П. Вычитание, 1988.

[Вычитание1977-4] ¹ ² ³ Вычитание, 1977.

[Выгодский122-5] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 88. Вычитание векторов, с. 122.

[Пытьев1988'-6] ¹ ² ³ Пытьев Ю. П. Векторная алгебра', 1988, с. 108.

[Воднев369-7] ¹ ² ³ Воднев В. Т. Математический словарь высшей школы: Общая часть, 1984, Разность векторов, с. 369.

[Атанасян198-8] ¹ ² ³ Атанасян Л. С. Геометрия. 7—9 классы, 2014, 85. Вычитание векторов, с. 198.

[Пытьев1977-9] ¹ ² ³ Пытьев Ю. П. Векторная алгебра, 1977, стб. 633.

[Кочин10-10] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов…, с. 10.

[Лаптев21-11] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава I. Линейные операции над векторами. § 3. Вычитание векторов, с. 21.

[Болтянский304-12] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ Болтянский В. Г., Яглом И. М. Векторы и их применения в геометрии, 1963, 2.4. Вычитание векторов, с. 304.

[Воднев356-13] Воднев В. Т. Математический словарь высшей школы: Общая часть, 1984, Противоположный вектор, с. 356.

[Атанасян199-14] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ Атанасян Л. С. Геометрия. 7—9 классы, 2014, 85. Вычитание векторов, с. 199.

[Выгодский119-15] ¹ ² Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 88. Противоположные векторы, с. 119.

[Болтянский305-16] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ Болтянский В. Г., Яглом И. М. Векторы и их применения в геометрии, 1963, 2.4. Вычитание векторов, с. 305.

[Лаптев21—22-17] ¹ ² Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава I. Линейные операции над векторами. § 3. Вычитание векторов, с. 21—22.

[Гусятников22-18] ¹ ² Гусятников П. Б. Векторная алгебра в примерах и задачах, 1985, Глава 2. Векторы… § 2. Сумма векторов…, с. 22.

[Гусятников23-19] ¹ ² Гусятников П. Б. Векторная алгебра в примерах и задачах, 1985, Глава 2. Векторы… § 2. Сумма векторов…, с. 23.

[Гусятников24-20] Гусятников П. Б. Векторная алгебра в примерах и задачах, 1985, Глава 2. Векторы… § 2. Сумма векторов…, с. 24.

[Гусятников25-21] Гусятников П. Б. Векторная алгебра в примерах и задачах, 1985, Глава 2. Векторы… § 2. Сумма векторов…, с. 25.

[Погорелов39-22] Погорелов А. В. Аналитическая геометрия, 1968, Глава IV. Векторы. § 1. Сложение и вычитание векторов, с. 69.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

Вычитание векторов

Определение

Определение без использования противоположного вектора

Противоположный вектор

Определение с использованием противоположного вектора

Правило раскрытия скобок

Модуль разности

Примечания

Литература

Литература

Дополнительно по теме

Категории