Материал из РУВИКИ — свободной энциклопедии

Транспонированная матрица

Транспонированная матрица — матрица , полученная из исходной матрицы заменой строк на столбцы.

Формально, транспонированная матрица для матрицы размеров  — матрица размеров , определённая как .

Например,

и

То есть для получения транспонированной матрицы из исходной нужно каждую строчку исходной матрицы записать в виде столбца в том же порядке.

Свойства транспонированных матриц[править | править код]

  • Дважды транспонированная матрица А равна исходной матрице А.
  • Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц.
  • Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке.
  • При транспонировании можно выносить скаляр.
  • Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

Связанные определения[править | править код]

Симметричная матрица (симметрическая матрица) — матрица, удовлетворяющая соотношению .

Для того чтобы матрица была симметричной, необходимо и достаточно, чтобы:

Антисимметричная (кососимметричная) матрица (антисимметрическая, кососимметрическая) — матрица, удовлетворяющая соотношению .

Для того чтобы матрица была антисимметричной, необходимо и достаточно, чтобы:

  • матрица была квадратной;
  • элементы, симметричные относительно главной диагонали, были равны по модулю и противоположны по знаку, то есть .

Отсюда следует, что элементы главной диагонали антисимметричной матрицы равняются нулю: .

Для любой квадратной матрицы имеется представление ,

где  — симметричная часть,  — антисимметричная часть.

См. также[править | править код]