Характеристический многочлен матрицы

Характеристический многочлен матрицы — многочлен, определяющий её собственные значения.

Определение

Для данной матрицы $A$, $\chi (\lambda )=\det(A-\lambda E)$, где $E$ — единичная матрица, является многочленом от $\lambda$, который называется характеристическим многочленом матрицы $A$ (иногда также «вековым уравнением» (англ. secular equation)).

Ценность характеристического многочлена в том, что собственные значения матрицы являются его корнями. Действительно, если уравнение $Av=\lambda v$ имеет ненулевое решение, то $(A-\lambda E)v=0$, значит матрица $A-\lambda E$ вырождена и её определитель $\det(A-\lambda E)=\chi (\lambda )$ равен нулю.

Связанные определения

• Матрицу $A-\lambda E$ называют характеристической матрицей матрицы $A$.
• Уравнение $\chi (\lambda )=0$ называют характеристическим уравнением матрицы $A$.
• Характеристический многочлен графа — это характеристический многочлен его матрицы смежности.

Свойства

• Для матрицы $n\times n$ характеристический многочлен имеет степень $n$.
• Все корни характеристического многочлена матрицы являются её собственными значениями.
• Теорема Гамильтона — Кэли: если $\chi (\lambda )$ — характеристический многочлен матрицы $A$, то $\chi (A)=0$.
• Характеристические многочлены подобных матриц совпадают: $\chi _{ABA^{-1}}=\chi _{B}$.
• Характеристический многочлен обратной матрицы: $\chi _{A^{-1}}(\lambda )={\frac {(-\lambda )^{n}}{\det A}}\chi _{A}(1/\lambda )$.

Доказательство:

${\begin{aligned}{\det A}\cdot \chi _{A^{-1}}(\lambda )&={\det A}\cdot \det(A^{-1}-\lambda E)=\det(A(A^{-1}-\lambda E))\\&=\det(E-\lambda A)=(-1)^{n}\det(\lambda A-E)\\&=(-\lambda )^{n}\det(A-(1/\lambda )E)=(-\lambda )^{n}\chi _{A}(1/\lambda )\end{aligned}}$

• Если $A$ и $B$ — две матрицы $n\times n$, то $\chi _{AB}\,=\,\chi _{BA}$. В частности, отсюда вытекает, что след их произведения $\mathrm {tr} \,(AB)=\mathrm {tr} \,(BA)$ и $\det(AB)=\det(BA)$.
• В более общем виде, если $A$ — матрица $m\times n$, а $B$ — матрица $n\times m$, причем $m<n$, так, что $AB$ и $BA$ — квадратные матрицы размеров $m$ и $n$ соответственно, то:

$\chi _{BA}(\lambda )\,=\,\lambda ^{n-m}\,\chi _{AB}(\lambda )$.

Ссылки

• В. Ю. Киселёв, А. С. Пяртли, Т. Ф. Калугина. Высшая математика. Линейная алгебра. — Ивановский государственный энергетический университет. Архивная копия от 23 декабря 2008 на Wayback Machine