Квадрат

Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам и сами делят углы квадрата пополам (другими словами, являются биссектрисами внутренних углов квадрата). Длина каждой диагонали: ${\displaystyle d=a{\sqrt {2}}.}$

Периметр квадрата ${\displaystyle P}$ равен:

${\displaystyle P=4a=4{\sqrt {2}}R=8r}$.

Центр описанной и вписанной окружностей квадрата совпадает с точкой пересечения его диагоналей.

Радиус вписанной окружности квадрата равен половине стороны квадрата:

${\displaystyle r={\frac {a}{2}}.}$

Радиус описанной окружности квадрата равен половине диагонали квадрата:

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {2}}{2}}a.}$

Из этих формул следует, что площадь описанной окружности вдвое больше площади вписанной.

Площадь ${\displaystyle S}$ квадрата равна:

${\displaystyle S=a^{2}=2R^{2}=4r^{2}={1 \over 2}d^{2}}$.

Из формулы ${\displaystyle S=a^{2},}$ связывающей сторону квадрата с его площадью, видно, почему возведение числа во вторую степень традиционно называется «возведением в квадрат», а результаты такого возведения называются «квадратными числами» или просто квадратами. Аналогично корень 2-й степени называется квадратным корнем.

Квадрат имеет два замечательных свойства^[4]:

• из всех четырёхугольников с заданным периметром квадрат имеет наибольшую площадь;
• из всех четырёхугольников с заданной площадью квадрат имеет наименьший периметр.

В прямоугольной системе координат уравнение квадрата с центром в точке ${\displaystyle \{x_{0},y_{0}\}}$ и диагоналями, параллельными осям координат (см. рисунок), может быть записано в виде^[5]:

${\displaystyle |x-x_{0}|+|y-y_{0}|=R,}$

где ${\displaystyle R}$ — радиус описанной окружности, равный половине длины диагонали квадрата. Сторона квадрата тогда равна ${\displaystyle R{\sqrt {2}},}$ его диагональ равна ${\displaystyle 2R,}$ а площадь квадрата равна ${\displaystyle 2R^{2}.}$

Уравнение квадрата с центром в начале координат и сторонами, параллельными осям координат (см. рисунок), может быть представлено в одной из следующих форм:

1. ${\displaystyle |x-y|+|x+y|=a}$ (легко получается применением поворота на 45° к предыдущему уравнению);
2. ${\displaystyle \max(x^{2},y^{2})=r^{2}}$;
3. (в полярных координатах) ${\displaystyle \quad r(\varphi )=\min \left({\frac {r}{|\cos \varphi |}},{\frac {r}{|\sin \varphi |}}\right)}$.

С квадратами связаны ряд проблем, часть из которых до сих пор не имеет решения:

• квадратура круга — древняя проблема построения циркулем и линейкой квадрата, равновеликого по площади заданному кругу. В 1882 году Фердинанд Линдеман доказал, что это невозможно;

• квадрирование квадрата — задача о разбиении квадрата на конечное число меньших квадратов, без «дырок», причём длины сторон квадратов должны отличаться друг от друга (в идеале должны быть все различны). Найден ряд решений этой задачи;
• долгое время математики пытались доказать, что непрерывное отображение отрезка прямой в квадрат невозможно, пока Джузеппе Пеано не построил свой контрпример;
• гипотеза Тёплица: на всякой замкнутой плоской жордановой кривой можно отыскать четыре точки, образующие вершины квадрата. Не доказана и не опровергнута;
• разбиение квадрата сеткой одинаковых более мелких квадратов также приводит к множеству проблем, используемых, в частности, в теории латинских и греко-латинских квадратов, магических квадратов, в игре судоку.

Квадрат обладает наибольшей осевой симметрией среди всех четырёхугольников.

Он имеет:

• одну ось симметрии четвёртого порядка — ось, перпендикулярную плоскости квадрата и проходящую через его центр;
• четыре оси симметрии второго порядка (то есть относительно них квадрат отражается сам в себя), из которых две проходят вдоль диагоналей квадрата, а другие две — параллельно сторонам.

Единичный квадрат используется как эталон единицы измерения площади, а также в определении площади произвольных плоских фигур. Фигуры, у которых можно определить площадь, называются квадрируемыми.

Теорема Пифагора первоначально формулировалась геометрически: площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Квадратами являются грани куба — одного из пяти правильных многогранников.

В математической физике символ квадрата может означать «оператор Д’Аламбера» (даламбериан) — дифференциальный оператор второго порядка:

${\displaystyle \square u:={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}}$.

Из теоремы Бойяи — Гервина следует, что любой многоугольник равносоставлен квадрату, то есть его можно разрезать на конечное число частей, из которых составляется квадрат (и обратно)^[6].

Графы: K₄ полный граф часто изображается как квадрат с шестью рёбрами.

3-симплекс (3D)

Мозаики, включающие квадраты

Мозаики, орнаменты и паркеты, содержащие квадраты, широко распространены.

Шахматная доска имеет форму квадрата и поделена на 64 квадрата двух цветов. Квадратная доска для международных шашек поделена на 100 квадратов двух цветов. Квадратную форму имеет боксёрский ринг, площадка для игры в квадрат.

Квадратный флаг Лима поделён на два чёрных и два жёлтых квадрата, будучи поднятым на корабле в гавани, означает, что корабль находится на карантине.

Ряд символов имеют форму квадрата:

• символы Юникода U+25A0 — U+25CF;
• U+20DE ◌⃞ COMBINING ENCLOSING SQUARE;
• ロ (Японский иероглиф «Ро» (катакана));
• 口 (Китайский иероглиф «рот»);
• 囗 (Китайский иероглиф «ограда»).

В Latex для вставки символа квадрата служат конструкции \Box или \square.

В HTML, чтобы заключить произвольный текст в квадрат или прямоугольник, можно использовать конструкцию:

• <span style="border-style: solid; border-width: 1.5px 1.5px 1.5px 1.5px; padding-left: 4px; padding-right: 4px;">text</span>; результат: text.

Квадрат можно рассматривать как двумерный гиперкуб.

В неевклидовой геометрии квадрат (в более широком смысле) — многоугольник с четырьмя равными сторонами и равными углами. По величине этих углов можно судить о кривизне плоскости — в евклидовой геометрии и только в ней углы прямые, в сферической геометрии углы сферического квадрата больше прямого, в геометрии Лобачевского — меньше.