Правильный 65537-угольник

Отличительная особенность правильного 65537-угольника — это тот факт, что его возможно построить, используя только циркуль и линейку.

Число 65 537 — это самое большое известное простое число Ферма:

${\displaystyle 65~537=2^{2^{4}}+1}$.

Гаусс в 1796 году доказал, что правильный n-угольник можно построить циркулем и линейкой, если нечётные простые делители числа n являются различными числами Ферма. В 1836 году П. Ванцель доказал исключительность этого условия для таких многоугольников. Ныне это утверждение известно как теорема Гаусса — Ванцеля.

В 1894 году Иоганн Густав Гермес после более чем десятилетних исследований нашёл способ построения правильного 65537-угольника и описал его в рукописи размером более 200 страниц^[2] (оригинал рукописи хранится в библиотеке Гёттингенского университета).

Центральный угол равен ${\displaystyle {\frac {360^{\circ }}{65~537}}\approx 0{,}0054930802447472424^{\circ }\approx 0^{\circ }0'19{,}77508888''}$.

Внутренний угол равен ${\displaystyle {\frac {65~537-2}{65~537}}\cdot 180^{\circ }\approx 179{,}99450691975525^{\circ }=180^{\circ }-0{,}054930802447472424^{\circ }}$.

Для иллюстрации пропорций практически непредставимой фигуры могут служить следующие соображения:

• Отклонение центрального угла от 0°, а также отклонение внутреннего угла от 180° составляет всего лишь примерно 0,005°. Если приподнять за один конец лежащую на земле жердь длиной 104,3 метра только на один сантиметр, то она образует с землёй примерно этот угол.

• Если нарисовать 65537-угольник с длиной одной стороны 1 см, то его наибольшая диагональ будет больше 200 м.
• Если нарисовать 65537-угольник с длиной одной стороны 1 м, то разница между радиусами его вписанной и описанной окружностей, каждый из которых будет около 10 км, составит всего лишь около 0,024 мм.
• Если нарисовать 65537-угольник диаметром 20 см, то длина одной его стороны окажется менее одной десятой толщины самого тонкого человеческого волоса.