Соты (геометрия)

Существует бесконечно много сот и они могут быть классифицированы лишь частично. Наиболее правильные мозаики получают наибольший интерес, хотя богатый и широкий набор других мозаик открывается вновь и вновь.

Простейшие соты формируются из слоёв призм, построенных из паркетов на плоскости. В частности, копии любого параллелепипеда могут заполнить пространство, при этом кубические соты являются специальным случаем, поскольку только они образуют правильные соты в обычном (евклидовом) пространстве. Другим интересным примером служит тетраэдр Хилла и его обобщения, которые также образуют мозаику в пространстве.

Трёхмерные однородные соты — это соты в трёхмерном пространстве, составленные из однородных многогранников имеющих одинаковые вершины (то есть группа изометрий трёхмерного пространства, сохраняющая мозаику, является транзитивной на вершинах). Существует 28 примеров выпуклых мозаик в трёхмерном евклидовом пространстве^[1], называемых также архимедовыми сотами.

Соты называются правильными, если группа изометрий, сохраняющая мозаику, действует транзитивно на флаги, где флаг — это вершина, лежащая на ребре, которое принадлежит грани (всё вместе). Любые правильные соты являются автоматически однородными. Однако существует всего один вид правильных сот в евклидовом трёхмерном пространстве — кубические соты. Двое сот являются квазиправильными (сделанными из двух типов правильных ячеек):

Тип	Кубические соты	Квазиправильные соты
Ячейки	Кубические	Октаэдральные и тетраэдральные
Слой

Тетраэдрально-октаэдральные соты и повёрнутые тетраэдрально-октаэдральные соты состоят из слоёв, образованных 3-я или 2-я положениями тетраэдров и октаэдров. Бесконечное число уникальных сот можно получить путём разного чередования этих слоёв.

О трёхмерных сотах, имеющих все ячейки идентичными, включая симметрию, говорят как о ячеечно-транзитивных или изохорных. Об ячейке таких сот говорят как о заполняющих пространство многогранниках^[2].

Только пять заполняющих пространство многогранников могут заполнить 3-мерное евклидово пространство с использованием только параллельного переноса. Их называют параллелогранниками:

1. Кубические соты (или вариации: прямоугольный параллелепипед, ромбический шестигранник или параллелепипед);
2. Шестиугольные призматические соты^[3];
3. Ромбододекаэдральные соты;
4. Удлинённые додекаэдральные соты^[4];
5. Соты из глубокоусечённых кубов^[5].

Кубические соты	Шестиугольные призматические соты	Ромбододекаэдр	Удлинённый ромбододекаэдр	Усечённый октаэдр
Куб (параллелепипед)	Шестиугольная призма	Ромбододекаэдр	Удлинённый додекаэдр	Усечённый октаэдр
3 длины рёбер	3+1 длины рёбер	4 длины рёбер	4+1 длины рёбер	6 длины рёбер

Другие известные примеры:

• Треугольные призматические соты.
• Однородные повёрнутые треугольные призматические соты
• Усечённые триакистетраэдральные соты. Ячейки мозаики Вороного атомов углерода в алмазе имеют такой вид^[6].
• Трапецеидально-ромбические додекаэдральные соты^[7].
• Простые изоэдричечкие мозаики^[8].

Иногда два^[9] и более различных многогранника можно скомбинировать, чтобы заполнить пространство. Хорошо известным примером служит структура Уэйра-Фелана, заимствованная из структуры кристаллов клатратного гидрата^[10].

Структура Уэйра-Фелана (с двумя типами ячеек)

Документированные примеры редки. Можно различить два класса:

• невыпуклые ячейки, упакованные без наложения, аналогично мозаикам из вогнутых многоугольников; они включают упаковку малые звёздчатые ромбические додекаэдры как в кубе Ёсимото;
• мозаики с наложением ячеек, при котором положительные и отрицательные плотности «уничтожаются» с образованием однородного по плотности континуума, аналогично мозаикам с наложением на плоскости.

В трёхмерном гиперболическом пространстве двугранный угол многогранника зависит от размера многогранника. Правильные гиперболические соты включают два вида с четырьмя или пятью додекаэдрами, имеющими общие рёбра. Их двугранные углы тогда будут π/2 и 2π/5, оба меньше, чем у евклидова додекаэдра. За исключением этого эффекта гиперболические соты удовлетворяют тем же ограничениям, что и евклидовы соты и многогранники.

Исследованы 4 вида компактных правильных гиперболических сот и много однородных гиперболических сот.

Для любых сот имеются двойственные соты, которые могут быть получены обменом:

ячеек на вершины.

граней на рёбра.

Для правильных сот:

• Кубические соты самодвойственны.
• Соты, состоящие из октаэдров и тетраэдров, дуальны сотам из ромбических додекаэдров.
• Слоистые соты, полученные из однородных плоских мозаик, дуальны таким же, полученным из двойственных мозаик.
• Двойственные соты к остальным архимедовым сотам являются ячейно-транзитивными и описаны в статье Инчбальда^[11].

Соты могут быть самодвойственными. Все n-мерные гиперкубические соты с символами Шлефли {4,3ⁿ⁻²,4} самодвойственны.